フリードマン方程式

フリードマン方程式は、フリードマン・ルメートル（FL）方程式とも呼ばれ、一般相対性理論の文脈における均質および等方性宇宙モデルにおける宇宙膨張を支配する物理宇宙論の方程式の集合である。この方程式は、1922年にアレクサンダー・フリードマンによって、フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量と、与えられた質量密度ρと圧力pを持つ完全流体に対するアインシュタインの重力場の方程式から初めて導かれた。[ ^1]負の空間曲率に関する方程式は、1924年にフリードマンによって与えられた。^[2]

フリードマン方程式は、宇宙が空間的に均質かつ等方性であるという単純化された仮定、すなわち宇宙論的原理から始まります。経験的には、これは 100 Mpcのオーダーよりも大きいスケールで正当化されます。宇宙論的原理は、宇宙の計量が 次の形式でなければならないことを示唆しています。 ここで、d s ₃ ²は、 (a)平坦な空間、(b)一定の正の曲率を持つ球、または(c)一定の負の曲率を持つ双曲空間のいずれかである 3 次元計量です。この計量は、フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー (FLRW) 計量と呼ばれます。以下で説明するパラメーターk は、これら 3 つのケースでそれぞれ 0、1、-1、またはガウス曲率の値を取ります。この事実により、「スケール係数」a ( t )について合理的に話すことができます。 $${\displaystyle -\mathrm {d} s^{2}=a(t)^{2}\,{\mathrm {d} s_{3}}^{2}-c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}}$$

アインシュタインの方程式は、このスケール係数の変化を宇宙の物質の圧力とエネルギーに関連付けます。FLRW 計量から、クリストッフェル記号を計算し、次にリッチテンソル を計算します。完全流体の応力エネルギーテンソルを使用して、それらをアインシュタインの場の方程式に代入すると、結果として得られる方程式が以下で説明されます。

均質で等方的な宇宙をモデル化するための独立したフリードマン方程式が 2 つあります。1 つ目は、 アインシュタインの場の方程式 の 00 成分から導出されたものです。2 つ目は、 最初の方程式とアインシュタインの場の方程式のトレース を組み合わせて導出されたものです(2 つの方程式の次元は時間^-2です)。 $${\displaystyle {\frac {{\dot {a}}^{2}+kc^{2}}{a^{2}}}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda c^{2}}{3}},}$$$${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}$$

aはスケール係数、G、Λ、c は普遍定数です（Gはニュートンの万有引力定数、Λは次元の長さが^-2の宇宙定数、c は真空中の光速です）。ρ とp はそれぞれ体積質量密度（体積エネルギー密度ではありません）と圧力です。k は特定のソリューション全体で一定ですが、ソリューションごとに異なる場合があります。

前の式では、a、ρ、pは時間の関数です。け/2^つ⁠ は宇宙の任意の時間スライスにおける空間曲率です フリードマンモデルでは 、空間リッチ曲率スカラーRの 6 分の 1 に等しいです。H ≡ ⁠$${\displaystyle R={\frac {6}{c^{2}a^{2}}}({\ddot {a}}a+{\dot {a}}^{2}+kc^{2})}$$ȧ/1つの⁠ はハッブルパラメータです。

フリードマン方程式では、a ( t ) は空間スライスにどの座標系を選択したかに依存しないことがわかります。同じ物理特性を記述する aとkの一般的な選択肢は 2 つあります。

• k = +1、0、または-1であり、宇宙の形状がそれぞれ閉じた3次元球面、平坦（ユークリッド空間）、または開いた3次元双曲面であるかどうかによって異なります^{。 [3]} k = +1の場合、 aは宇宙の曲率半径です。 k = 0の場合、 aは特定の時点で任意の正の数に固定される場合があります。 k = -1の場合、（大まかに言えば） i · aは宇宙の曲率半径であると言えます
• a はスケール係数で、現時点では 1 とみなされます。kは現在の空間曲率です ( a = 1の場合)。宇宙の形状が超球形で、R _{t が}曲率半径 (現時点ではR _{0 ) である場合、} a = ⁠RT _{t ...}/0 _...⁠。kが正の場合、宇宙は超球状です。k = 0の場合、宇宙は平坦です。k が負の場合、宇宙は双曲状です。

最初の方程式を使用すると、2番目の方程式は次のように表現でき 、 Λを 消去して質量エネルギー保存則を表現します。 $${\displaystyle {\dot {\rho }}=-3H\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right),}$$$${\displaystyle T^{\alpha \beta }{}_{;\beta }=0.}$$

これらの方程式は、次のように置き換えることで簡略化されることがあります 。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &\to \rho -{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}&p&\to p+{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}H^{2}=\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}&={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}\\{\dot {H}}+H^{2}={\frac {\ddot {a}}{a}}&=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

2 番目の方程式の簡略化された形式は、この変換に対して不変です。

ハッブルパラメータは、方程式の他の部分が時間に依存する場合（特に、質量密度、真空エネルギー、または空間曲率）、時間の経過とともに変化する可能性があります。現時点でのハッブルパラメータを評価すると、ハッブルの法則の比例定数であるハッブル定数が得られます。フリードマン方程式を、与えられた状態方程式を持つ流体に適用すると、流体密度の関数として、宇宙の時間発展と形状が得られます。

一部の宇宙学者は、これら 2 つの方程式のうち 2 番目の方程式をフリードマン加速方程式と呼び、フリードマン方程式という用語を最初の方程式のみに使用します。

密度パラメータ Ωは、フリードマン宇宙の実際の（または観測された）密度ρと臨界密度ρ _cの比として定義されます。実際の密度と臨界密度の関係によって、宇宙の全体的な形状が決まります。これらが等しい場合、宇宙の形状は平坦（ユークリッド）になります。宇宙定数項を含まない初期のモデルでは、臨界密度は当初、膨張宇宙と収縮宇宙の分岐点として定義されていました。

現在までに、臨界密度は1立方メートルあたり約5原子（水素 原子）と推定されているが、宇宙の通常の物質の平均密度は1立方メートルあたり0.2～0.25原子であると考えられている。 ^{[4] [5]}

通常の物質と暗黒物質の両方が宇宙の収縮に寄与しているが、それよりもはるかに大きな密度は未確認の暗黒物質から来ている。しかし、最も大きな部分は、宇宙定数項を説明するいわゆる暗黒エネルギーから来ている。総密度は臨界密度に等しいが（測定誤差を除けば正確には）、暗黒エネルギーは宇宙の収縮にはつながらず、むしろ宇宙の膨張を加速させる可能性がある。

臨界密度の式は、Λをゼロ（すべての基本的なフリードマン宇宙の場合と同様）と仮定し、正規化された空間曲率kをゼロに設定することによって得られます。置換を最初のフリードマン方程式に適用すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle \rho _{\mathrm {c} }={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}=1.8788\times 10^{-26}h^{2}{\rm {kg}}\,{\rm {m}}^{-3}=2.7754\times 10^{11}h^{2}M_{\odot }\,{\rm {Mpc}}^{-3},}$$

密度パラメータ（異なる宇宙論モデルを比較するのに便利）は次のように定義されます。 $${\displaystyle \Omega :={\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G\rho }{3H^{2}}}.}$$

この項はもともと、宇宙の空間形状を決定するための手段として使用されていました。ここで、 ρ _{c は}、空間形状が平坦（またはユークリッド）になる臨界密度です。真空エネルギー密度がゼロであると仮定すると、Ωが 1 より大きい場合、宇宙の空間セクションは閉じています。宇宙は最終的に膨張を停止し、その後収縮します。Ωが1より小さい場合、それらは開いており、宇宙は永久に膨張します。ただし、空間曲率と真空エネルギー項をΩのより一般的な式に含めることもできます。その場合、この密度パラメーターは正確に 1 に等しくなります。次に、通常は下付き文字で指定されるさまざまなコンポーネントを測定する問題になります。ΛCDMモデルによると、重粒子、冷たい暗黒物質、および暗黒エネルギーによるΩの重要なコンポーネントがあります。宇宙の空間形状は、WMAP宇宙船によってほぼ平坦であることが測定されています。しかし、これは必ずしも宇宙が無限であることを意味するわけではありません。単に宇宙は私たちが見ている部分よりもはるかに大きいだけかもしれません。

^{最初のフリードマン方程式は、密度パラメータの現在の値、すなわち[6]の} 観点から見られることが多い。 ここで、Ω _0,Rは現在の放射線密度（a = 1の場合）、Ω _0,Mは現在の物質（暗黒プラスバリオン）密度、Ω _{0, k} = 1 − Ω ₀は現在の「空間曲率密度」、Ω _0,Λは現在の宇宙定数または真空密度である。 $${\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }.}$$

フリードマン方程式は、状態方程式を持つ 完全流体の存在下で正確に解くことができます。 ここで、 pは圧力、ρは共動フレームにおける流体の質量密度、wは定数です。 $${\displaystyle p=w\rho c^{2},}$$

空間的に平坦な場合 ( k = 0 )、スケール係数の解は、 0_は初期条件の選択によって固定される積分定数です。 w でラベル付けされたこの解の族は、 宇宙論にとって極めて重要です。たとえば、w = 0 は、圧力が質量密度に対して無視できるほど小さい、 物質優位の宇宙を表します。一般的な解から、物質優位の宇宙ではスケール係数が物質優位になることが簡単にわかります。もう 1 つの重要な例は、放射優位の宇宙の場合です。つまり、 w = ⁠のときです。$${\displaystyle a(t)=a_{0}\,t^{\frac {2}{3(w+1)}}}$$$${\displaystyle a(t)\propto t^{2/3}}$$1/3⁠。これにより、 放射線が支配的な $${\displaystyle a(t)\propto t^{1/2}}$$

この解は、 w = −1に対応する宇宙定数の優位性には有効ではないことに注意してください。この場合、エネルギー密度は一定で、スケール係数は指数関数的に増加します。

kの他の値に対する解については、 Tersic, Balsa. "Lecture Notes on Astrophysics"を参照してください。2022年2 月 24 日取得。

物質が2つ以上の相互作用しない流体の混合物であり、それぞれがこのような状態方程式を持つ場合、 各流体fに対して個別に成立します。それぞれの場合、 そこから次の式が得られます 。$${\displaystyle {\dot {\rho }}_{f}=-3H\left(\rho _{f}+{\frac {p_{f}}{c^{2}}}\right)\,}$$$${\displaystyle {\dot {\rho }}_{f}=-3H\left(\rho _{f}+w_{f}\rho _{f}\right)\,}$$$${\displaystyle {\rho }_{f}\propto a^{-3\left(1+w_{f}\right)}\,.}$$

たとえば、 A が「塵」（通常の物質、 w = 0）の密度（ a = 1の場合）であるとき、B が放射線の密度（w = ⁠）である とき、このような項の線形結合 を形成することができる。$${\displaystyle \rho =Aa^{-3}+Ba^{-4}+Ca^{0}\,}$$1/3⁠）であり、 Cは「ダークエネルギー」の密度（ w = −1）です。次にこれを に代入し 、時間の関数として a を解きます。$${\displaystyle \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}\,}$$

解をより明確にするために、最初のフリードマン方程式から完全な関係を導くことができる 。 $${\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {\dot {a}}{a}}\\[6px]H^{2}&=H_{0}^{2}\left(\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }\right)\\[6pt]H&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}}\\[6pt]{\frac {\dot {a}}{a}}&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}}\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} t}}&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a^{2}}}\\[6pt]\mathrm {d} a&=\mathrm {d} tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a^{2}}}\\[6pt]\end{aligned}}}$$

積分に 変数a ′とt ′を使用するように並べ替えて変更する$${\displaystyle tH_{0}=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a'^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a'^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a'^{2}}}}}$$

各成分が支配的な宇宙について、時間に対するスケール係数の依存性の解が見つかります。また、それぞれにおいて、Ω _{0, k} ≈ 0と仮定しましたが、これはエネルギー密度の支配的な源がおよそ 1 であると仮定するのと同じです。

物質優位の宇宙では、Ω _0,M ≫ Ω _0,RかつΩ _{0, Λ}、またΩ _0,M ≈ 1であり、 前述のa ∝ t ^{2/3が回復される。}$${\displaystyle {\begin{aligned}tH_{0}&=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }a'^{-1}}}}\\[6px]tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }}}&=\left.\left({\tfrac {2}{3}}{a'}^{3/2}\right)\,\right|_{0}^{a}\\[6px]\left({\tfrac {3}{2}}tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }}}\right)^{2/3}&=a(t)\end{aligned}}}$$

放射線優勢宇宙の場合、Ω _0,R ≫ Ω _0,MかつΩ _0,Λ、またΩ _0,R ≈ 1である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}tH_{0}&=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a'^{-2}}}}\\[6px]tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }}}&=\left.{\frac {a'^{2}}{2}}\,\right|_{0}^{a}\\[6px]\left(2tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }}}\right)^{1/2}&=a(t)\end{aligned}}}$$

Λ が支配的な宇宙の場合、 Ω _{0, Λ} ≫ Ω _0,RかつΩ _0,M、またΩ _{0, Λ} ≈ 1であり、ここで積分範囲をt _iからtに、同様にa _iからaに変更します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(t-t_{i}\right)H_{0}&=\int _{a_{i}}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {(\Omega _{0,\Lambda }a'^{2})}}}\\[6px]\left(t-t_{i}\right)H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}&={\bigl .}\ln |a'|\,{\bigr |}_{a_{i}}^{a}\\[6px]a_{i}\exp \left((t-t_{i})H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)&=a(t)\end{aligned}}}$$

Λが支配的な宇宙の解は、時間に関する2番目の導関数が正でゼロではないため、特に興味深い。言い換えれば、宇宙の加速膨張を意味し、ρ _{Λ は}ダークエネルギーの候補となる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}a(t)&=a_{i}\exp \left((t-t_{i})H_{0}\textstyle {\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)\\[6px]{\frac {\mathrm {d} ^{2}a(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}&=a_{i}{H_{0}}^{2}\,\Omega _{0,\Lambda }\exp \left((t-t_{i})H_{0}\textstyle {\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)\end{aligned}}}$$

ここで、 a _i > 0とすると、 Ω _0、Λ ≈ 1と仮定し、H _{0 は}正であると測定され、加速度はゼロより大きくなることが求められます。

2022年に中国で行われたCOVID-19抗議活動に参加した清華大学（中国共産党 指導者 習近平の母校）の学生数名は、フリードマン方程式が走り書きされたプラカードを掲げていたが、これは「自由人」という言葉をもじったものだと解釈する者もいる。また、フリードマン方程式は宇宙の膨張、つまり「開放」に関係しているため、この方程式の使用は中国を「開放」し、ゼロコロナ政策をやめるよう呼びかけるものだと解釈する者もいる。^[7]

• 一般相対性理論の数学
• アインシュタイン場の方程式の解
• 温暖なインフレ

• リープシャー、ディールク＝エッケハルト (2005)。 "拡大"。宇宙論。ベルリン：シュプリンガー。 53–77ページ。ISBN 3-540-23261-3。