フリードマン方程式

フリードマン方程式（フリードマン・ルメートル（FL）方程式とも呼ばれる）は、一般相対性理論の枠組みの中で、均質かつ等方的な宇宙モデルにおける宇宙膨張を支配する物理宇宙論の方程式群である。これらは、1922年にアレクサンダー・フリードマンによって、アインシュタインの重力場方程式から、フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量と、与えられた質量密度ρと圧力pを持つ完全流体に対して初めて導出された。^{[ 1 ]}負の空間曲率の方程式は、1924年にフリードマンによって与えられた。^{[ 2 ]} フリードマン方程式に基づいて構築された物理モデルは、FRWモデルまたはFLRWモデルと呼ばれ、現代宇宙論の標準モデルを形成するが、このような記述は、さらに発展したラムダCDMモデルにも関連付けられている。 FLRWモデルは、1920年代から1930年代にかけて、上記著者らによってそれぞれ独自に開発された。

フリードマン方程式は3つの仮定に基づいています。^{[ 3 ]： 22.1.3}

1. フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量、
2. アインシュタインの一般相対性理論の方程式、そして
3. 完璧な流体源。

この計量は、宇宙が空間的に均質かつ等方的であるという単純化された仮定、すなわち宇宙原理から始まります。経験的には、これは100 Mpcのオーダーよりも大きなスケールで正当化されます。

この指標は次のように表すことができます。^{[ 4 ]： 65}$${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-R^{2}(t)\left(dr^{2}+S_{k}^{2}(r)d\psi ^{2}\right)}$$ どこ $${\displaystyle S_{-1}(r)=\sinh(r),S_{0}=1,S_{1}=\sin(r).}$$ これら３つの可能性は、(0)平坦な空間、(+1)一定の正の曲率を持つ球、または(−1)一定の負の曲率を持つ双曲空間のパラメータkに対応します。ここで、半径方向の位置は時間依存のスケール係数に分解されています。${\displaystyle R(t)}$、共動座標、${\displaystyle r}$この計量をアインシュタインの場の方程式に代入すると、このスケール因子の進化が宇宙の物質の圧力とエネルギーに関係することがわかる。完全流体の応力エネルギーテンソルを用いると、方程式の結果は以下のようになる。^{[ 4 ]： 73}

均質で等方的な宇宙をモデル化するための独立したフリードマン方程式が 2 つあります。1 つ目は次のとおりです。^{[ 3 ]}$${\displaystyle H^{2}\equiv {\left({\frac {\dot {R}}{R}}\right)}^{2}={\frac {8\pi G\rho }{3}}-{\frac {k}{R^{2}}}+{\frac {\Lambda }{3}},}$$そして2つ目は： $${\displaystyle {\frac {\ddot {R}}{R}}={\frac {\Lambda }{3}}-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +3p\right).}$$フリードマン方程式 という用語は、最初の方程式のみに使用される場合がある。^{[ 3 ]} これらの方程式では、 Hはハッブルパラメータ、R(t)は宇宙論的スケール因子である。${\displaystyle G}$はニュートンの重力定数、 Λは次元が長さ^{− 2の}宇宙定数、ρはエネルギー密度、pは等方性圧力です。kは特定の解の中では一定ですが、解によって異なる場合があります。単位は真空中の光速を1としています。 

前述の式では、R、ρ、pは時間の関数です。宇宙定数Λを無視すると、項${\displaystyle -k/R^{2}}$最初のフリードマン方程式はニュートンの全エネルギーとして解釈できるため、宇宙の進化は重力ポテンシャルエネルギーと対立する。${\displaystyle 8\pi G\rho /3}$運動エネルギーに逆らって、${\displaystyle {\dot {R}}/R}$勝者は全エネルギーのk値に依存します。kが+1の場合、重力は最終的に宇宙を収縮させます。Λがゼロでない場合、これらの結論は変わります。 ^{[ 3 ]}

最初の式を用いると、2番目の式は次のように書き換えられる。^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\dot {\rho }}=-3H\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right),}$$ これによりΛが消去される。あるいは、質量エネルギー保存則： $${\displaystyle T^{\alpha \beta }{}_{;\beta }=0}$$ 同じ結果につながる。^{[ 3 ]}

無次元スケールファクターを定義できる。 $${\displaystyle a(t)\equiv {\frac {R(t)}{R_{0}}}}$$ 現在価値を使用する $${\displaystyle R_{0}=R({\text{now}}).}$$ フリードマン方程式は、この無次元スケールファクターを用いて次のように表すことができる。 $${\displaystyle H^{2}(t)=\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\left[\rho (t)+{\frac {\rho _{c}-\rho _{0}}{a^{2}(t)}}\right]}$$ どこ${\displaystyle {\dot {a}}=da/dt}$、${\displaystyle \rho _{c}=3H_{0}^{2}/8\pi G}$、 そして${\displaystyle \rho _{0}=\rho (t={\text{now}})}$[ ^{7 ]： 3​}

質量エネルギー密度の値、${\displaystyle \rho }$それは${\displaystyle k=0}$いつ${\displaystyle \Lambda =0}$これは臨界密度と呼ばれます。 $${\displaystyle \rho _{c}\equiv {\frac {3H^{2}}{8\pi G}}.}$$ 宇宙の密度が高い場合、${\displaystyle \rho \geq \rho _{c}}$の場合、それは「空間的に閉じている」と呼ばれ、この単純な近似では、宇宙は最終的に収縮します。一方、密度が低い場合、${\displaystyle \rho \leq \rho _{c}}$するとそれは「空間的に開いている」と呼ばれ、永遠に膨張し続ける。したがって、宇宙の幾何学はその密度に直接関係している。^{[ 4 ]： 73}

密度パラメータΩは_、実際の（または観測された）密度ρとフリードマン宇宙の臨界密度ρcの比として定義される。 ^{[ 4 ]： 74}$${\displaystyle \Omega$$ :={\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G\rho }{3H^{2}}}.} 密度${\displaystyle \rho (t)}$ハッブルパラメータ${\displaystyle H(t)}$時間に依存するため、密度パラメータは時間とともに変化する。^{[ 4 ]： 74}

臨界密度は、1立方メートルあたり約5個の原子（単原子水素）に相当するが、宇宙の通常の物質の平均密度は1立方メートルあたり0.2～0.25個の原子であると考えられている。 ^{[ 8 ] [ 9 ]}

宇宙の収縮には、正体不明の暗黒物質がはるかに大きな密度をもたらしているが、通常の物質と暗黒物質の両方が宇宙の収縮に寄与している。しかし、最も大きな割合を占めるのは、宇宙定数項を構成するいわゆるダークエネルギーである。全密度は臨界密度とほぼ等しい（測定誤差を除けば正確に等しい）ものの、ダークエネルギーは宇宙の収縮にはつながらず、むしろ膨張を加速させる可能性がある。

臨界密度の式は、Λをゼロと仮定し（すべての基本フリードマン宇宙の場合と同様）、正規化された空間曲率kをゼロに設定することによって得られる。新しいフリードマン方程式の最初の式に置換を適用すると、${\displaystyle H_{0}}$我々が見つけた値：^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ={\frac {3H_{0}^{2}}{8\pi G}}&\approx 1.10\times 10^{-26}\mathrm {kg\,m^{-3}} \\&\approx 1.88\times 10^{-26}h^{2}\,{\rm {kg}}\,{\rm {m}}^{-3}\\&\approx 2.78\times 10^{11}h^{2}M_{\odot }\,{\rm {Mpc}}^{-3}\end{aligned}}}$$ どこ：

• ${\textstyle H_{0}=76.5\pm 2.2\,\mathrm {km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}} \approx 2.48\times 10^{-18}\mathrm {s^{-1}} }$
• ${\textstyle h={\frac {H_{0}}{100\,\mathrm {(km/s)/Mpc} }}}$
• ${\displaystyle \rho _{c}=8.5\times 10^{-27}\mathrm {kg/m^{3}} }$

ダークエネルギーの値が${\displaystyle \Omega _{\Lambda }=0.647}$この用語は元々 、宇宙の空間幾何学 を決定する手段として使用されていました。ここで、 ρ _cは空間幾何学が平坦（またはユークリッド）になる臨界密度です。真空エネルギー密度がゼロであると仮定すると、Ω が1 より大きい場合、宇宙の空間セクションは閉じています。宇宙は最終的に膨張を停止し、その後収縮します。Ω が 1 より小さい場合、それらは開いており、宇宙は永遠に膨張します。ただし、空間曲率と真空エネルギーの項をΩのより一般的な表現に含めることもできます。この場合、この密度パラメータは正確に 1 になります。次に、通常は添え字で指定されるさまざまなコンポーネントを測定することになります。ΛCDMモデルによると、バリオン、冷たい暗黒物質、および暗黒エネルギーによるΩの重要なコンポーネントがあります。宇宙の空間幾何学は、WMAP宇宙船によってほぼ平坦であることが測定されています。これは、宇宙は空間曲率パラメータkがゼロであるモデルでよく近似できることを意味します。しかし、これは必ずしも宇宙が無限であることを意味するわけではない。単に、宇宙は私たちが見ている部分よりもはるかに大きいだけかもしれない。

最初のフリードマン方程式は、密度パラメータの現在の値の観点からよく見られる。すなわち^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }.}$$ ここで、Ω _0,Rは今日の放射密度 ( a = 1の場合)、Ω _0,Mは今日の物質 (ダーク+バリオン) 密度、Ω _{0, k} = 1 − Ω ₀は今日の「空間曲率密度」、Ω _0,Λは今日の宇宙定数または真空密度です。

FLRW計量に基づき、フリードマン方程式に従う相対論的宇宙論モデルはFRWモデルと呼ばれます。^{[ 4 ] : 73} 恒星の直接観測により、恒星の速度は半径方向の後退によって支配されていることが示され、宇宙論モデルにおけるこれらの仮定が検証されています。^{[ 4 ] : 65}これらのモデルは、現在のΛCDMモデルを含むビッグバン宇宙論の標準モデル^{[ 12 ]} の基礎となっています。^{[ 3 ] : 25.1.3}

この計量を宇宙論に適用し、スケールファクターを介してその時間発展を予測する。${\displaystyle a(t)}$アインシュタインの場の方程式と密度を計算する方法が必要です。${\displaystyle \rho (t),}$例えば、宇宙論的状態方程式など。このプロセスにより、アインシュタイン場の方程式の近似解析解が得られます。${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$エネルギー・運動量テンソルが同様に等方的かつ均質であると仮定すると、フリードマン方程式が得られます。結果として得られる方程式は次のとおりです。 ^{[ 13 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)}^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}&={\frac {\kappa c^{4}}{3}}\rho \\[4pt]2{\frac {\ddot {a}}{a}}+{\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)}^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-\Lambda c^{2}&=-\kappa c^{2}p.\end{aligned}}}$$

FLRWモデルは均質性を仮定しているため、一部の一般的な説明では、ビッグバンモデルでは観測された宇宙の不均一性を説明できないと誤って主張されています。厳密なFLRWモデルでは、銀河や星の集団は存在しません。なぜなら、これらは宇宙の典型的な部分よりもはるかに密度の高い天体だからです。それでも、FLRWモデルは計算が容易であるため、実際の不均一な宇宙の進化の第一近似として使用され、宇宙の不均一性を計算するモデルはFLRWモデルの拡張として追加されます。ほとんどの宇宙論者は、観測可能な宇宙はほぼFLRWモデル、つまり原始密度ゆらぎを除いてFLRW計量に従うモデルによってよく近似されることに同意しています。2003年現在FLRWモデルの様々な拡張の理論的意味は十分に理解されているようで、目標はこれらをCOBEとWMAPの観測結果と整合させることである。

フリードマン方程式は、状態方程式を持つ 完全流体の存在下で厳密に解くことができる。$${\displaystyle p=w\rho c^{2},}$$ ここで、 pは圧力、ρは共動座標系における流体の質量密度、wは定数である。

空間的に平坦な場合（k = 0）では、スケールファクターの解は次のようになります。 $${\displaystyle a(t)=a_{0}\,t^{\frac {2}{3(w+1)}}}$$ ここで、a ₀は初期条件の選択によって決定される積分定数です。w でラベル付けされたこの解の族は、宇宙論にとって非常に重要です。たとえば、w = 0 は物質優勢宇宙を表し、圧力は質量密度に比べて無視できます。一般的な解から、物質優勢宇宙ではスケールファクターが次のようになることが容易にわかります。 $${\displaystyle a(t)\propto t^{2/3}\qquad {\text{matter-dominated}}}$$

もう1つの重要な例は、放射優勢宇宙の場合、すなわちw = 1/3の場合である。これは、 $${\displaystyle a(t)\propto t^{1/2}\qquad {\text{radiation-dominated}}}$$

この解は、宇宙定数が支配的な場合（w = −1の場合）には有効ではないことに注意してください。この場合、エネルギー密度は一定であり、スケールファクターは指数関数的に増加します。

kの他の値に対する解は、Tersic, Balsa. "Lecture Notes on Astrophysics" （2022年2月24日取得）で見つけることができます。

フリードマンは1922年から1923年にかけて2つの宇宙論論文を発表した。彼は、アルベルト・アインシュタインとウィレム・ド・ジッターが1917年に発表した論文で用いたのと同じ均質性と等方性の仮定を採用した。この2つの初期の研究もまた、宇宙は静的で永遠に変化しないと仮定していた。アインシュタインはこの安定性を保証するために、一般相対性理論の方程式に項を追加した。ド・ジッターは論文の中で、物質が存在しない場合でも時空に曲率があることを示した。新しい一般相対性理論の方程式は、真空が時空を変化させる性質を持つことを示唆していた。^{[ 16 ]： 152}

宇宙が静的であるという考えは、哲学と科学の根本的な前提であった。しかし、フリードマンは最初の論文「空間の曲率について」でこの考えを放棄した。アインシュタインの相対性理論の10個の方程式を出発点として、フリードマンは等方的な宇宙の対称性と質量エネルギー密度の単純なモデルを適用し、その密度と時空の曲率との関係を導き出した。彼は、単一の静的解に加えて、多くの時間依存解も存在することを実証した。^{[ 16 ]： 157}

フリードマンの2番目の論文「一定の負の曲率を持つ世界の可能性について」（1924年発表）は、より複雑な幾何学的概念を探求した。この論文は、時空の有限性は一般相対性理論の方程式のみに基づいて確立できる性質ではないという考えを確立した。つまり、有限幾何学と無限幾何学の両方を用いて解を与えることができるということである。フリードマンは、3次元球体の2つの概念を類推として用いた。すなわち、一定の緯度での旅は出発点に戻るか、あるいは球体が無限の数のシートを持ち、旅は決して繰り返されない可能性があるということである。^{[ 16 ]： 167}

フリードマンの論文は、当初は積極的に否定していたアインシュタインを除いて、ほとんど無視されていた。しかし、エドウィン・ハッブルが宇宙が膨張しているという天文学的証拠を発表すると、アインシュタインは納得した。フリードマンとは独立して、ジョルジュ・ルメートルは同じ解決策のいくつかの側面を発見し、「原始原子」から生まれた宇宙の概念について説得力のある文章を書いた。ビッグバン概念はルメートルの功績とされているが、フリードマンの考えはより深く、最終的には科学者にとってより大きな影響力を持った。^{[ 17 ]}

清華大学（中国共産党指導者習近平の母校）の学生数名が、2022年に中国で行われたCOVID-19抗議デモに参加し、フリードマン方程式が走り書きされたプラカードを掲げた。一部の人々はこれを「自由な人」という言葉遊びだと解釈した。^{[ 18 ] [ 19 ]}また、フリードマン方程式は宇宙の膨張、つまり「開放」に関係しているため、方程式の使用は中国を「開放」し、ゼロコロナ政策を中止するよう求める呼びかけだと解釈する人もいる。

• 一般相対性理論の数学
• アインシュタイン場の方程式の解

• リープシャー、ディールク＝エッケハルト (2005)。"拡大"。宇宙論。ベルリン：シュプリンガー。53 ～ 77ページ。ISBN  3-540-23261-3。