意味 させてM {\displaystyle M} 滑らかな多様体 である。上のシンプレクティック形式 M {\displaystyle M} 2形式である ω {\displaystyle \omega } 4 ] [ 5 ] について p ∈ M {\displaystyle p\in M} 接空間 上の歪対称ペアリングT p M {\displaystyle T_{p}M} ω {\displaystyle \omega } X ∈ T p M {\displaystyle X\in T_{p}M} ω （ X 、 Y ） = 0 {\displaystyle \omega (X,Y)=0} Y ∈ T p M {\displaystyle Y\in T_{p}M} X = 0 {\displaystyle X=0} 閉じ た条件とは、ω {\displaystyle \omega } [ 4 ] [ 5 ]
シンプレクティック多様 体は、（ M 、 ω ） {\displaystyle (M,\omega )} M {\displaystyle M} ω {\displaystyle \omega } M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} プレクティック構造 。奇数次元では、歪対称行列は 常に特異行列であるため、非退化は、薄暗い M {\displaystyle \dim M} [ 6 ]
非退化性により、ω {\displaystyle \omega } 音楽的同型関係 ω ♭ : T M → T * M 、 ω ♯ : T * M → T M {\displaystyle \omega ^{\flat }:TM\rightarrow T^{*}M,\omega ^{\sharp }:T^{*}M\rightarrow TM} ω （ X 、 Y ） = ω ♭ （ X ） （ Y ） {\displaystyle \omega (X,Y)=\omega ^{\ flat }(X)(Y)} X 、 Y {\displaystyle X,Y} ω ♯ ∘ ω ♭ = ID {\displaystyle \omega ^{\sharp }\circ \omega ^{\flat }=\operatorname {Id} }
シンプレクティック多様体（ M 、 ω ） {\displaystyle (M,\omega )} 正確で ある場合に限り、ω {\displaystyle \omega } 、 つまり等しいω = − d θ {\displaystyle \omega =-d\theta } θ {\displaystyle \theta } ストークスの定理 により不完全である。[ 7 ]
ダルブーの定理 によれば、任意の点の周りではp {\displaystyle p} ω = Σ 私 d p 私 ∧ d q 私 {\displaystyle \omega =\Sigma _{i}dp_{i}\wedge dq^{i}} 外微分 、∧ は外積 を表す。[ 8 ] この形式はポアンカレ 2 形式 または標準 2 形式 と呼ばれる。したがって、 M を局所的に 余接束 と考えることができる。T * R n {\displaystyle T^{*}\mathbb {R} ^{n}} トートロジー1形式によって生成される θ = Σ 私 p 私 d q 私 、 ω = d θ {\displaystyle \theta =\Sigma _{i}p_{i}dq^{i},\;\omega =d\theta }
（ローカルな）リウヴィル形式 とは、（ローカルに定義された）λ {\displaystyle \lambda } ω = d λ {\displaystyle \omega =d\lambda } X {\displaystyle X} リウヴィル であるのは、L X ω = ω \displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =\omega } カルタンの魔法の公式 によれば、これは以下と同等である。d （ ω （ X 、 ⋅ ） ） = ω {\displaystyle d(\omega (X,\cdot ))=\omega }
シンプレクティック多様体上のすべての滑らかな関数H : M → R {\displaystyle H:M\to \mathbb {R} } ハミルトニアンベクトル場 を決定するX H {\displaystyle X_{H}} 私 X H ω = d H {\displaystyle \iota _{X_{H}}\omega =dH} [ 9 ] X H {\displaystyle X_{H}} H {\displaystyle H} H {\displaystyle H} リー代数 を構成し、次のように記述される。（ ハム （ M ） 、 [ ⋅ 、 ⋅ ] ） {\displaystyle (\operatorname {Ham} (M),[\cdot ,\cdot ])} [ ⋅ 、 ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} はリー括弧 です。
任意の2つの滑らかな関数が与えられた場合f 、 g : M → R {\displaystyle f,g:M\to \mathbb {R} } ポアソン括弧は { f 、 g } = ω （ X g 、 X f ） {\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{g},X_{f})} 10 ] ポアソン多様 体となる。[ 11 ] 双ベクトルは 双ベクトル 場である。 π {\displaystyle \pi } { f 、 g } = π （ d f ∧ d g ） {\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg)} π := ω − 1 {\displaystyle \pi :=\omega ^{-1}} X { f 、 g } = [ X f 、 X g ] {\textstyle X_{\{f,g\}}=[X_{f},X_{g}]}
基本特性 もし（ M 、 ω ） {\displaystyle (M,\omega )} 2 n {\displaystyle 2n} ω n {\displaystyle \omega ^{n}} [ 6 ]
リーマン計量とは異なり、シンプレクティック形式は長さや角度を定義しません。ダルブーの定理 によれば、同じ次元のすべてのシンプレクティック多様体は局所的にシンプレクティック同型です。したがって、シンプレクティック幾何学にはリーマン曲率テンソルに類似した局所曲率不変量はありません。その主な問題の多くはグローバルなものです。[ 2 ] [ 8 ]
ラグランジュ部分多様体 ラグランジュ部分多様体は最も重要な部分多様体です。ワインシュタインは 「シンプレクティック信条」を提唱しました。すなわち、すべてはラグランジュ部分多様体である、ということです。 これは、シンプレクティック幾何学におけるすべてのものは、ラグランジュ部分多様体の観点から最も自然に表現されるという意味です。[ 13 ]
シンプレクティック多様体M のラグランジュファイブレーション とは、すべてのファイバーがラグランジュ部分多様体である ファイブレーションの ことである。
部分多様体が与えられた場合N ⊂ M {\displaystyle N\subset M} 特性線分布は 、その接空間の双対である。T p N ω {\displaystyle T_{p}N^{\omega }} X {\displaystyle X} それと直交する 近傍において。この場合、α := ω （ X 、 ⋅ ） | N {\displaystyle \alpha :=\omega (X,\cdot )|_{N}} （ N 、 α ） {\displaystyle (N,\alpha )} これは接触多様体 であり、接触型部分 多様体であると言います。この場合、リープベクトル場は 特性線分布に接しています。
n次元部分多様体は、滑らかな関数によって局所的に指定される。 u : R n → M {\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\to M} ω （ ∂ 私 、 ∂ j ） = 0 {\displaystyle \omega (\partial _{i},\partial _{j})=0} 私 、 j ∈ 1 : n {\displaystyle i,j\in 1:n} （ q 、 p ） {\displaystyle (q,p)} [ u 、 v ] p 、 q = ∑ 私 = 1 n （ ∂ q 私 ∂ u ∂ p 私 ∂ v − ∂ p 私 ∂ u ∂ q 私 ∂ v ） = 0 、 ∀ 私 、 j ∈ 1 : n {\displaystyle [u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right)=0,\quad \forall i,j\in 1:n} [ ⋅ 、 ⋅ ] p 、 q {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{p,q}} ラグランジュ括弧 です。
閉形式のグラフM {\displaystyle M} T * M {\displaystyle T^{*}M} d f {\displaystyle df} L ⊂ T * M {\displaystyle L\subset T^{*}M} M {\displaystyle M} [ 12 ] d f {\displaystyle df}
ラグランジュ写像 L をシンプレクティック多様体 ( K ,ω )のラグランジュ部分多様体とし、埋め込み i : L ↪ K iは ラグランジュ埋め込み と呼ばれる)によって与えられるとする。 π : K ↠ B はK のラグランジュファイブレーションを与えるとする。 合成写像( π i ) : L ↪ K ↠ B はラグランジュ写像で ある。π ∘ i の臨界値集合は 焦線と 呼ばれる。[ 14 ]
2 つのラグランジュ写像( π 1 ∘ i 1 ) : L 1 ↪ K 1 ↠ B 1 および( π 2 ∘ i 2 ) : L 2 ↪ K 2 ↠ B 2 は、右図の両側が可 換であり、かつτ がシンプレクティック形式を保存するような微分 同相写像 σ 、τ およびν が存在する場合、ラグランジュ同値であると呼ばれる。 [ 5 ]
τ ∘ 私 1 = 私 2 ∘ σ 、 ν ∘ π 1 = π 2 ∘ τ 、 τ * ω 2 = ω 1 、 {\displaystyle \tau \circ i_{1}=i_{2}\circ \sigma ,\ \nu \circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ \tau ,\ \tau ^{*}\omega _{2}=\omega _{1}\,,} ここで、τ ∗ ω 2 は、 τ によるω 2 の引き戻し を示します。
対称性 地図f : （ M 、 ω ） → （ M ′ 、 ω ′ ） {\displaystyle f:(M,\omega )\to (M',\omega ')} すなわち引き戻し が同じである場合にシンプレクティック同相写像である。 f * ω ′ = ω {\displaystyle f^{*}\omega '=\omega } （ M 、 ω ） {\displaystyle (M,\omega )}
ベクトル場が与えられた場合X {\displaystyle X} （ M 、 ω ） {\displaystyle (M,\omega )} L X ω = 0 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =0} このようなベクトル場はシンプレクティックベクトル 場と呼ばれます。任意のハミルトンベクトル場はシンプレクティックであり、逆に、任意のシンプレクティックベクトル場は局所的に ハミルトンです。
すべてのシンプレクティック同相写像の下で保存される性質をシンプレクティック不変量という。 エルランゲン・プログラム の精神に則り、シンプレクティック幾何学はシンプレクティック不変量の研究である。
例
表面 面積形式を持つ向き付けられた滑らかな曲面はすべてシンプレクティック多様体である。2次元の場合、任意の2形式に対して閉性条件は自動的に満たされる。
一般化 前シンプレクティック多様体 は、シンプレクティック多様体を一般化して、ω {\displaystyle \omega } ポアソン多様体は、 シンプレクティック多様体の微分代数 構造のみを保持することによって、シンプレクティック多様体を一般化する。ディラック多様体は 、ポアソン多様体やプレシンプレクティック多様体よりもさらに構造を保持しないという点で、それらを一般化したものです。その定義は、ポアソン多様体の任意の部分多様体がディラック多様体を誘導するように設計されています。これらは「プレポアソン」多様体とも呼ばれます。次数k の多重シンプレクティック多様体 は、閉じた非退化k 形式を備えた多様体である。[ 18 ] 多重シンプレクティック多様体 は、多重シンプレクティックな接線値を持つルジャンドル束である。（ n + 2 ） {\displaystyle (n+2)} -形式。ハミルトニアン場理論 で利用される。[ 19 ]
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