共動性と適切な距離

観測者から遠方の天体（例えば銀河）までの共動距離は、次の式（フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量を用いて導出されたもの）によって計算できる。 $${\displaystyle \chi =\int _{t_{e}}^{t}c\;{\frac {\mathrm {d} t'}{a(t')}}}$$ ここで、a ( t ′ )はスケールファクター、te_は観測者によって検出された光子の放出時間、tは現在時刻、cは真空中の光速である。

時間積分であるにもかかわらず、この式は、固定時刻tにおいて共動する一連の局所定規によって測定される正しい距離、すなわち逆スケール係数項を介して時間依存の共動光速を考慮した後の「固有距離」（下記で定義）を与える。${\displaystyle 1/a(t')}$被積分関数において。「共動光速」とは、共動座標を通る光の速度を意味します。${\displaystyle c/a(t')}$]局所的には、光粒子のヌル測地線に沿った任意の点で、慣性系内の観測者は常に光速を次のように測定しますが、これは時間依存です。${\displaystyle c}$特殊相対性理論に従って。導出については、Davis & Lineweaver 2004 の「付録 A: 膨張と地平線の標準的な一般相対論的定義」を参照。^{[ 3 ]}特に、参照した 2004 年の論文の式16～22 を参照。[注: その論文ではスケールファクターは${\displaystyle R(t')}$は距離の次元を持つ量として定義され、動径座標は${\displaystyle \chi }$（無次元）

多くの教科書ではこの記号が使われています${\displaystyle \chi }$共動距離については、${\displaystyle \chi }$座標距離とは区別されなければならない${\displaystyle r}$FLRW宇宙で一般的に使用される共動座標系では、計量は次の形式をとります（球状宇宙の半周分しか機能しない縮約円周極座標の場合）。 $${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}\,d\tau ^{2}=-c^{2}\,dt^{2}+a(t)^{2}\left({\frac {dr^{2}}{1-\kappa r^{2}}}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)\right).}$$

この場合、共動座標距離${\displaystyle r}$は${\displaystyle \chi }$作成者: ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}$${\displaystyle \chi ={\begin{cases}|\kappa |^{-1/2}\sinh ^{-1}{\sqrt {|\kappa |}}r,&{\text{if }}\kappa <0\ {\text{(負の曲率を持つ「双曲型」宇宙)}}\\r,&{\text{if }}\kappa =0\ {\text{(空間的に平坦な宇宙)}}\\|\kappa |^{-1/2}\sin ^{-1}{\sqrt {|\kappa |}}r,&{\text{if }}\kappa >0\ {\text{(正の曲率を持つ「球面型」宇宙)}}\end{cases}}}$$

ほとんどの教科書や研究論文では、共動する観測者間の共動距離を時間に依存しない固定された不変量と定義し、それらの間の動的で変化する距離を「固有距離」と呼んでいます。この用法では、共動距離と固有距離は宇宙の現在の年齢では数値的に等しくなりますが、過去と未来では異なります。銀河への共動距離を とすると、${\displaystyle \chi }$適切な距離$d(t)$任意の時間に${\displaystyle t}$単純に次のように与えられる $${\displaystyle d(t)=a(t)\chi }$$ どこ${\displaystyle a(t)}$はスケールファクターである（例：Davis & Lineweaver 2004）。^{[ 3 ]}適切な距離$d(t)$時刻tにおける 2 つの銀河間の距離は、その時刻に定規で測定されるそれらの間の距離に等しい。^{[ 6 ]}

宇宙論的時間は、固定された共動空間位置、すなわち局所共動座標系における観測者にとっての局所的に測定された時間と同一である。固有距離もまた、近傍の物体に対する共動座標系における局所的に測定された距離と等しい。2つの遠方の物体間の固有距離を測定するには、2つの物体の間に直線上に多数の共動観測者がいると想像する。これにより、すべての観測者が互いに近くなり、2つの遠方の物体の間に鎖が形成される。これらの観測者はすべて同じ宇宙論的時間を持たなければならない。各観測者は鎖の中で最も近い観測者までの距離を測定し、鎖の長さ、つまり近傍の観測者間の距離の合計が全体の固有距離となる。^{[ 10 ]}

共動距離と宇宙論的意味での固有距離（特殊相対性理論における固有長とは対照的に）の定義において重要なのは、すべての観測者が同じ宇宙年齢を持つことです。例えば、2点間の直線または空間的測地線に沿って距離を測定する場合、測地線がそれぞれの世界線と交差する時点で、2点間に位置する観測者は異なる宇宙年齢を持つため、この測地線に沿った距離を計算しても、共動距離や宇宙論的固有距離を正しく測定しているとは言えません。共動距離と固有距離は、特殊相対性理論における距離の概念とは異なります。これは、質量のない宇宙という仮想的なケースを考えてみると分かります。このような場合、両方の種類の距離を測定できます。FLRW計量の質量密度をゼロに設定すると（空の「ミルン宇宙」）、この計量を記述するために使用される宇宙論的座標系は、慣性系の視点から見るとミンコフスキー図において一定のミンコフスキー固有時間τの面が双曲線として現れる特殊相対性理論のミンコフスキー時空における非慣性座標系になります。^{[ 11 ]}この場合、宇宙論的時間座標に従って同時である2つのイベントについて、宇宙論的固有距離の値は、これらの同じイベント間の固有長さの値とは等しくありません。^{[ 12 ]}これは、ミンコフスキー図におけるイベント間の直線に沿った距離（直線は平坦なミンコフスキー時空における測地線です）または、それらが同時である慣性系におけるイベント間の座標距離になります。

固有距離の変化を、その変化が測定された宇宙時間間隔で割る（あるいは固有距離を宇宙時間で微分する）とすれば、これを「速度」と呼ぶと、銀河やクエーサーの「速度」は光速cを超える可能性がある。このような超光速膨張は、特殊相対性理論や一般相対性理論、あるいは物理宇宙論で用いられる定義と矛盾しない。光自体もこの意味ではcの「速度」を持たない。あらゆる物体の全速度は、以下の合計として表すことができる。${\displaystyle v_{\text{tot}}=v_{\text{rec}}+v_{\text{pec}}}$どこ${\displaystyle v_{\text{rec}}}$は宇宙の膨張による後退速度（ハッブルの法則で与えられる速度）であり、${\displaystyle v_{\text{pec}}}$は、地元の観測者によって測定された「固有速度」です（${\displaystyle v_{\text{rec}}={\dot {a}}(t)\chi (t)}$そして${\displaystyle v_{\text{pec}}=a(t){\dot {\chi }}(t)}$（ドットは1階微分を表す）なので、光の場合${\displaystyle v_{\text{pec}}}$光が原点にある我々の位置に向かって放出される場合は − c、我々から遠ざかる方向に放出される場合は + cに等しいが、全速度は${\displaystyle v_{\text{tot}}}$一般的にはcとは異なります。^{[ 3 ]}特殊相対性理論においても、座標光速は慣性系でのみcであることが保証されています。非慣性系では、座標速度はcと異なる場合があります。^{[ 13 ]}一般相対性理論では、曲がった時空の広い領域上の座標系は「慣性」ではありませんが、曲がった時空の任意の点の局所的な近傍では、「局所慣性系」を定義することができ、その局所光速はc ^{[ 14 ]}であり、星や銀河などの質量のある物体は常にcより小さい局所速度を持ちます。遠方の物体の速度を定義するために使用される宇宙論的定義は座標に依存します。一般相対性理論では、遠方の物体間の速度の一般的な座標に依存しない定義はありません。^{[ 15 ]}宇宙の膨張が、最大規模では光速を超える速度で進行している（または少なくとも進行していた）可能性が非常に高いことをどのように最もよく説明し、普及させるかについては、わずかな論争が生じています。一つの見解は、DavisとLineweaver（2004）によって提示されている。^{[ 3 ]} 

距離が短く、移動距離も短い場合、移動中の宇宙の膨張は無視できる。これは、非相対論的な運動をする粒子の場合、任意の2点間の移動時間は、その2点間の固有距離（つまり、移動時の宇宙のスケールファクターを用いて測定した共動距離であり、「現在」のスケールファクターを用いたものではない）を粒子の速度で割った値になるからである。粒子が相対論的な速度で移動している場合は、通常の相対論的な時間膨張補正を行う必要がある。