Line (geometry)

3次元空間では、変数x、y、zに関する1次方程式は平面を定義するため、そのような2つの方程式は、それらが生成する平面が平行でない限り、それらの平面の交線である直線を定義する。より一般的には、n次元空間では、適切な条件下で、 n個の座標変数に関するn -1個の1次方程式が直線を定義する。

より一般的なユークリッド空間では、$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$（そして他のすべてのアフィン空間でも同様に）2つの異なる点aとbを通る直線Lは部分集合である $${\displaystyle L=\left\{(1-t)\,a+tb\mid t\in \mathbb {R} \right\}.}$$上記の方向付けられた線（または有向線）の向きまたは方向は、基準点a ( t = 0 ) から目標点b ( t = 1 ) まで、言い換えれば、相対ベクトルb − aの方向です。有向線は、特に特徴的な役割 (例えば、回転軸)を果たす場合は、軸とも呼ばれます。 ^{[ 3 ]}点aとbを入れ替えると、反対の方向付けられた線が得られます。

ユークリッド幾何学では、すべての直線は合同であり、つまり、特定の直線を移動させることで、すべての直線を得ることができます。しかし、直線は他の幾何学的対象との関係において特別な役割を果たすことがあり、その関係に基づいて分類することができます。

例えば、円錐曲線（円、楕円、放物線、双曲線）に関して、直線は次のようになります。

• 接線とは、円錐曲線に一点で接する線である。
• 円錐曲線と2点で交わり、その内部を通る割線。^{[ 6 ]}
• ユークリッド平面上のどの点においても円錐曲線と交わらない外側の線。または
• 準線。ある点からその準線までの距離によって、その点が円錐曲線上にあるかどうかを判断するのに役立つ。
• 座標線、線形座標寸法

ユークリッド幾何学における平行性の判定において、横断線とは、互いに平行である場合もそうでない場合もある2つの直線と交わる直線のことである。

より一般的な代数曲線の場合、直線は次のように表すこともできます。

• i個の割線で、重複なくi点で曲線と交わる、または
• 漸近線とは、曲線が触れることなく限りなく近づく点のことである。^{[ 7 ]}

三角形に関しては、次のようになります。

• オイラー線、
• シムソン線、そして
• 中心路線。

平行な辺が最大で 2 つある凸四角形の場合、ニュートン線は2 つの対角線の中点を結ぶ線である。^{[ 8 ]}

頂点が円錐曲線上にある六角形の場合、パスカル線があり、円錐曲線が2本の直線である特殊な場合には、パップス線があります。

平行線とは、同一平面上にあり、決して交わらない線のことです。交差する線は、一点で共通しています。一致する線とは、互いに完全に一致する線であり、一方の線上にあるすべての点は、もう一方の線上にもあります。

垂直線とは、直角に交わる線のことである。^{[ 9 ]}

三次元空間において、ねじれ線とは同一平面上にない線、つまり互いに交わらない線のことである。

総合幾何学では、直線の概念はしばしば原始概念とみなされます^{[ 1 ] : 95。}これは、直線が他の概念を用いて定義されるのではなく、直線が満たさなければならない公理と呼ばれる性質によって定義されることを意味します ^{[ 10 ] 。}

しかし、直線の公理的定義は概念の関連性を説明しておらず、初心者には抽象的すぎる場合が多い。そのため、定義はしばしば直線とは何かを理解できるような心象風景や直感的な説明に置き換えられたり、補完されたりする。このような説明は定義と呼ばれることもあるが、数学的証明には使用できないため、真の定義ではない。ユークリッドの『原論』における直線の「定義」はこの範疇に属し、^{[ 1 ] : 95}定理の証明には決して使用されない。

デカルト座標系、あるいはより一般的にはアフィン座標系における直線は、線形方程式によって特徴付けられます。より正確には、すべての直線L (垂直線を含む) は、座標( x、y )が線形方程式を満たすすべての点の集合です。つまり、 $${\displaystyle L=\{(x,y)\mid ax+by=c\},}$$ ここで、 a、b、cは固定された実数（係数と呼ばれる）であり、aとb は両方ともゼロではない。この形式を使用すると、縦線はb = 0の方程式に対応する。

ゼロでない場合はすべてをcで割ることにより、c = 1またはc = 0のいずれかを仮定することもできます。

直線の式を表す方法は数多くあり、それらはすべて代数的な操作によって相互に変換できます。上記の形式は標準形と呼ばれることもあります。定数項を左辺に置くと、式は次のようになります。 $${\displaystyle ax+by-c=0,}$$ そしてこれは、方程式の一般形と呼ばれることもある。しかし、この用語は普遍的に受け入れられているわけではなく、多くの著者はこれら2つの形式を区別していない。

これらの形式は一般的に、その形式を作成するために必要な直線に関する情報（データ）の種類によって命名されます。直線の重要なデータには、傾き、x切片、直線上の既知の点、y切片などがあります。

2つの異なる点P ₀ ( x ₀ , y ₀ )とP ₁ ( x ₁ , y ₁ )を通る直線の式は次のように表すことができます。 $${\displaystyle (y-y_{0})(x_{1}-x_{0})=(y_{1}-y_{0})(x-x_{0}).}$$x ₀ ≠ x ₁ の場合、この方程式は次のように書き換えることができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(x-x_{0}){\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+y_{0}\\[4pt]&=x{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {x_{1}y_{0}-x_{0}y_{1}}{x_{1}-x_{0}}}\end{aligned}}}$$2次元空間 では、垂直でない直線の式は、しばしば傾き切片形式で表されます。

$${\displaystyle y=mx+b}$$ どこ

mは直線の傾き、または勾配を表します。

bは直線のy切片です。

xは関数y = f ( x )の独立変数です。

x _a ≠ x _bの場合、点A ( x _a , y _a )と点B ( x _b , y _b )を通る直線の傾きは次のように与えられる。 $${\displaystyle m={\frac {y_{b}-y_{a}}{x_{b}-x_{a}}}}$$そしてこの直線の式は次のように書ける。 $${\displaystyle y=m(x-x_{a})+y_{a}.}$$

なお、3次元空間における直線は、2つの線形方程式の同時解として表すこともできます。$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z-d_{1}&=0\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z-d_{2}&=0\end{aligned}}}$$ つまり、( a ₁ , b ₁ , c ₁ )と( a ₂ , b ₂ , c ₂ )は比例関係にない（関係式a ₁ = ta ₂ , b ₁ = tb ₂ , c ₁ = tc _2はt = 0を意味する）。これは、3 次元では単一の線形方程式が通常平面を記述し、直線が 2 つの異なる交差する平面に共通するものであるという事実から導かれる。

媒介変数方程式は、特に3次元以上の空間における直線を指定するためにも使用されます。なぜなら、2次元を超える空間では、直線を単一の線形方程式で記述することはできないからです。

3次元空間では、直線はしばしば媒介変数表示によって記述される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+at\\y&=y_{0}+bt\\z&=z_{0}+ct\end{aligned}}}$$ どこ：

• x、y、zはすべて、実数の範囲をとる独立変数tの関数である。
• ( x ₀ , y ₀ , z ₀ )は直線上の任意の点です。
• a、b、cは直線の傾きに関係しており、方向ベクトル( a、b、c )は直線に平行です。

高次元における直線の媒介変数表示は、直線上の1点と方向ベクトルを指定することに基づいているという点で類似している。

正規形（ドイツの数学者ルートヴィヒ・オットー・ヘッセにちなんでヘッセ正規形とも呼ばれる^{[ 11 ]} ）は、与えられた直線の正規線分に基づいており、これは原点から直線に垂直に引かれた線分として定義されます。この線分は、原点と、直線上で原点に最も近い点を結びます。平面上の直線の方程式の正規形は、次のように表されます。 $${\displaystyle x\cos \varphi +y\sin \varphi -p=0,}$$ where φ is the angle of inclination of the normal segment (the oriented angle from the unit vector of the x-axis to this segment), and p is the (positive) length of the normal segment. The normal form can be derived from the standard form ${\displaystyle ax+by=c}$ by dividing all of the coefficients by $${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$$ and also multiplying through by –1 if c < 0.

Unlike the slope-intercept and intercept forms, this form can represent any line but also requires only two finite parameters, φ and p, to be specified. If p > 0, then φ is uniquely defined modulo 2π. On the other hand, if the line is through the origin (c = p = 0), one drops the c/|c| term to compute sin φ and cos φ, and it follows that φ is only defined modulo π.

The vector equation of the line through points A and B is given by ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {OA} +\lambda \,\mathbf {AB} }$ (where λ is a scalar).

If a is vector OA and b is vector OB, then the equation of the line can be written: $${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a} +\lambda (\mathbf {b} -\mathbf {a} )}$$

A ray starting at point A is described by limiting λ. One ray is obtained if λ ≥ 0, and the opposite ray comes from λ ≤ 0.

In a Cartesian plane, polar coordinates(r, θ) are related to Cartesian coordinates by the parametric equations:^[12]$${\displaystyle x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta .}$$

In polar coordinates, the equation of a line not passing through the origin—the point with coordinates (0, 0)—can be written $${\displaystyle r={\frac {p}{\cos(\theta -\varphi )}},}$$ with r > 0 and ${\displaystyle \varphi -\pi /2<\theta <\varphi +\pi /2.}$ Here, p is the (positive) length of the line segment perpendicular to the line and delimited by the origin and the line, and φ is the (oriented) angle from the x-axis to this segment.

It may be useful to express the equation in terms of the angle ${\displaystyle \alpha =\varphi +\pi /2}$x軸と直線の間にある。この場合、方程式は次のようになる。 $${\displaystyle r={\frac {p}{\sin(\theta -\alpha )}},}$$r > 0および0 < θ < α + π です。

これらの式は、直線の方程式の 標準形から、次のように設定することで導出できます。$${\displaystyle x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta ,}$$ そして、正弦または余弦の角度差の公式を適用する。

これらの式は、直線上の点と原点を頂点とし、直線とその原点を通る垂線を辺とする直角三角形に、正弦と余弦の直角三角形の定義を適用することによって、幾何学的に証明することもできます。

前述の形式は原点を通る直線には適用されませんが、より簡単な式を書くことができます。原点を通り角度をなす直線上の点の極座標( r , θ )${\displaystyle \alpha }$x軸と、ペアは${\displaystyle (r,\theta )}$そのため $${\displaystyle r\geq 0,\qquad {\text{and}}\quad \theta =\alpha \quad {\text{or}}\quad \theta =\alpha +\pi .}$$

射影幾何学の多くのモデルでは、直線の表現は、ユークリッド幾何学で視覚化される「直線曲線」の概念にほとんど適合しません。楕円幾何学では、その典型的な例が見られます。^{[ 1 ]： 108}楕円幾何学の球面表現では、直線は、直径方向に対向する点が同一視された球面の大円によって表現されます。楕円幾何学の別のモデルでは、直線は原点を通るユークリッド平面によって表現されます。これらの表現は視覚的には異なりますが、この幾何学における直線の適切な表現となるすべての特性（例えば、2点が一意の直線を決定するなど）を満たしています。

直線の「短さ」と「直線性」は、その直線上の任意の2点間の距離が最小になるという性質として解釈され（三角形の不等式を参照）、これを一般化すると、距離空間における測地線の概念につながります。

直線と、その直線上の任意の点Aが与えられたとき、 A はこの直線を 2 つの部分に分解するものと考えることができます。このような各部分は、光線(または半直線) と呼ばれ、点Aはその始点と呼ばれます。座標軸の正と負の半軸のように、明確な役割を果たす場合は、半軸と呼ばれることもあります。これは 1 次元の半空間です。点 A は光線の要素であると考えられます。^{[ a ]}直感的には、光線は、 Aを通り、 Aから出発して直線に沿って一方向にのみ無限に進む直線上の点から構成されます。ただし、証明でこの光線の概念を使用するには、より正確な定義が必要です。

異なる点AとBが与えられた場合、それらは始点Aを持つ一意の光線を決定します。 2 つの点が一意の直線を定義するため、この光線は、 AとBの間のすべての点( AとBを含む) と、 AとBを通る直線上のすべての点Cから構成され、 BはAとCの間にあります。[ ^{13 ]これ}は、AとBによって決定される直線上のすべての点Cの集合として表現されることもありますが、AはBとCの間にありません。 [ ^{14 ] A}とBによって決定される直線上にあるが、 Bによって決定される始点Aを持つ光線には含まれない点Dは、始点Aを持つ別の光線を決定します。AB 光線に関して、AD光線は反対の光線と呼ばれます。

したがって、2つの異なる点AとBが直線を定義し、この直線は開線分( A , B )と2つの半直線BCとADの非交和に分解されると言えるでしょう（点Dは図には描かれていませんが、直線AB上でAの左側にあります）。これらは始点が異なるため、反対方向の半直線ではありません。

ユークリッド幾何学では、共通の端点を持つ2つの光線は角度を形成する。^{[ 15 ]}

光線の定義は、直線上の点間の境界関係という概念に基づいています。したがって、光線は、この概念が存在する幾何学、典型的にはユークリッド幾何学や順序付き体上のアフィン幾何学においてのみ存在します。一方、射影幾何学や、複素数や任意の有限体のような非順序体上の幾何学では、光線は存在しません。

線分とは、2つの異なる端点によって区切られた直線の一部であり、その端点間の直線上のすべての点を含みます。線分の定義方法によっては、2つの端点のいずれかが線分に含まれる場合と含まれない場合があります。2つ以上の線分は、平行、交差、ねじれなど、直線と同様の関係を持つ場合がありますが、直線とは異なり、同一平面上にあり、交差しないか、または同一直線上にある場合は、これらの関係のいずれにも該当しない場合があります。

数直線上の点は実数に対応し、その逆もまた然りです。^{[ 16 ]}通常、整数は数直線上に等間隔に配置され、正の数は右側に、負の数は左側に配置されます。この概念の拡張として、虚数を表す仮想線をゼロで数直線に垂直に引くことができます。^{[ 17 ]} 2 つの線は複素平面を形成し、これは複素数の集合の幾何学的表現です。