シムソン線

幾何学では、三角形 ABCとその外接円上の点 Pが与えられたとき、直線AB、AC、BC上のPに最も近い 3 つの点は同一線上にあります。^[1]これらの点を通る直線はPのシムソン線であり、ロバート・シムソンにちなんで名付けられました。^[2]ただし、この概念は1799 年にウィリアム・ウォレスによって初めて発表され、 ^[3]ウォレス線と呼ばれることもあります。^[4]

逆もまた真です。3 本の直線上でPに最も近い 3 つの点が同一直線上にあり、かつ 2 本の直線が平行でない場合、P は3 本の直線によって形成される三角形の外接円上にあります。言い換えると、三角形ABCと点Pのシムソン線は、 ABCとPのペダル三角形が直線に縮退したものにすぎず、この条件によりPの軌跡は三角形ABCの外接円をトレースするように制約されます。

三角形を複素平面上に置き、単位外接円を持つ三角形ABCの​​頂点の位置が複素座標a、b、cであるとし、複素座標pを持つPを外接円上の点とする。シムソン線は^[5]を満たす点zの集合である^:命題4

${\displaystyle 2abc{\bar {z}}-2pz+p^{2}+(a+b+c)p-(bc+ca+ab)-{\frac {abc}{p}}=0, }$

ここで、上線は複雑な活用を表します。

• 三角形の頂点のシムソン線は、その頂点から下ろした三角形の高さであり、頂点の正反対の点のシムソン線は、その頂点と反対側の三角形の辺です。
• PとQ が外接円上の点である場合、 PとQのシムソン線の間の角度は、円弧PQの角度の半分になります。特に、点が正反対にある場合、それらのシムソン線は垂直になり、この場合、線の交点は9 点円上にあります。
• H を三角形ABCの垂心とすると、 Pのシムソン線は、9 点円上にある点で線分PH を二等分します。
• 同じ外接円を持つ 2 つの三角形がある場合、両方の三角形の外接円上の点Pのシムソン線間の角度はPに依存しません。
• すべてのシムソン線の集合を描くと、基準三角形のシュタイナー三角筋として知られる三角筋の形状のエンベロープが形成されます。
• 基準三角形の辺と一致するシムソン線を描くと (上記の最初の特性を参照)、この辺の線上に重要な点が生まれます。この点は、構築されている辺の中点を中心とする高度の足 (辺の線上に落とされたもの) の反射です。さらに、この点は基準三角形の辺とそのシュタイナー三角筋の間の接点です。
• 平行四辺形ではない四辺形には、シムソン点と呼ばれる唯一のペダル点があり、四辺形の足はこの点を基準に一直線になります。^[6]台形のシムソン点は、2つの非平行な辺の交点です。^{[7] : p. 186}
• 5辺以上の凸多角形にはシムソン線は存在しない。 ^[8]

を示すだけで十分です。 ${\displaystyle \angle NMP+\angle PML=180^{\circ}}$

${\displaystyle PCAB}$は巡回四辺形なので、 です。は巡回四辺形なので ( なので)、 です。したがって です。 は巡回なので、 です。 ${\displaystyle \angle PBA+\angle ACP=\angle PBN+\angle ACP=180^{\circ}}$${\displaystyle PMNB}$${\displaystyle \angle PMB=\angle PNB=90^{\circ}}$${\displaystyle \angle PBN+\angle NMP=180^{\circ}}$${\displaystyle \angle NMP=\angle ACP}$${\displaystyle PLCM}$${\displaystyle \angle PML=\​​angle PCL=180^{\circ }-\angle ACP}$

したがって。 ${\displaystyle \angle NMP+\angle PML=\​​angle ACP+(180^{\circ }-\angle ACP)=180^{\circ }}$

• 三角形ABC 、線分 ℓ が外心Oを通り、点P が外接円上にあるとする。AP、 BP、 CP がℓ とそれぞれA _p、 B _p、 C _pで交わるものとする。A ₀、B ₀、C _{0 をそれぞれ}A _p、 B _p、 C _pのBC、 CA、 ABへの投影とする。するとA ₀、B ₀、C _{0は同一線上にある。さらに、新しい線分は}PHの中点を通り、Hは Δ ABCの垂心である。 ℓ がPを通る場合、その線分はシムソン線と一致する。^{[9] [10] [11]}

• 三角形ABCの頂点が円錐Γ上にあり、 平面上の 2 点をQ、Pとする。PA 、PB、PC はそれぞれ円錐とA ₁、B ₁、C _{1で交差する。QA 1 は}BCとA ₂で交差し、QB _{1 は}ACとB ₂で交差し、QC _{1 は}ABとC ₂で交差する。すると、4 つの点A ₂、B ₂、C ₂、P は、 Q が円錐 Γ 上にある場合にのみ、同一線上にある。 ^[12]

• RFシスターは『円周四辺形のシムソン線』でこの定理を円周四辺形に一般化した。

• ペダルトライアングル
• ロバート・シムソン

ウィキメディア・コモンズには、シムソン線に関連するメディアがあります。

• Simson Line at cut-the-knot.orgより
• FM Jackson およびWeisstein, Eric W.「Simson Line」。MathWorld。
• インタラクティブな動的ジオメトリ スケッチである Dynamic Geometry Sketches における、Neuberg の定理と Simson-Wallace 線の一般化。
• geogebra.org の Simson 線 (インタラクティブなイラスト)
• インタラクティブジオメトリのシムソンライン