2本の平行線間の距離

平面上の2本の平行線間の距離は、任意の2点間の最小距離である。

2本の直線は平行なので、それらの間の垂直距離は一定であり、距離を測定するためにどの点を選択しても問題ありません。2本の非垂直な平行線の式が与えられています。

${\displaystyle y=mx+b_{1}\,}$

${\displaystyle y=mx+b_{2}\,,}$

2本の線の間の距離は、これらの線と垂直線との2つの交点間の距離である。

${\displaystyle y=-x/m\,.}$

この距離は、まず連立一次方程式を解くことで求めることができます。

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\,,\end{cases}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\,,\end{cases}}}$

交点の座標を取得する。線形システムの解は点である。

${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,,}$

そして

${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right)\,.}$

点間の距離は

${\displaystyle d={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,}$

これは以下になります

${\displaystyle d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.}$

線が与えられている場合

${\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,}$

${\displaystyle ax+by+c_{2}=0,\,}$

両者間の距離は次のように表すことができます。

${\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

より一般的には、係数が${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$異なる、つまり平行線は${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0}$そして${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0}$方程式${\displaystyle (a_{1},b_{1})\ ||\ (a_{2},b_{2})}$距離は次のように表すことができます。

${\displaystyle d={\frac {\sqrt {(a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1})^{2}+(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})^{2}}}{|a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}|}}}$

• 点から線までの距離

• 欠席: Schülerduden – Mathematik II。 Bibliographisches Institut & FA Brockhaus、2004、ISBN 3-411-04275-3、17-19ページ（ドイツ語）
• Hardt Krämer、Rolf Höwelmann、Ingo Klemisch:幾何学解析と線形代数。ディースターウェグ、1988、ISBN 3-425-05301-9、298ページ（ドイツ語）

• Florian Modler: Vektorprodukte、Abstandsaufgaben、Lagebeziehungen、Winkelberechnung – Wann welche Formel?、44-59 ページ (ドイツ語)
• AJ Hobson著「数学入門」－ユニット番号8.5－ベクトル5（直線のベクトル方程式）、8-9ページ