垂直

幾何学において、2つの幾何学的図形が直角、すなわち90度またはπ/2ラジアンの角度で交わる場合、それらは垂直であると言います。垂直性の条件は、垂直記号⟂を用いて図式的に表すことができます。垂直な交点は、2つの直線（または2つの線分）、直線と平面、そして2つの平面の間で発生します。

垂直は名詞としても使われます。垂直とは、与えられた直線または平面に垂直な線のことです。

垂直性は、より一般的な数学的概念である直交性の具体的な例の一つです。垂直性とは、古典的な幾何学的対象間の直交性を指します。したがって、高度な数学においては、「垂直」という言葉は、曲面とその法線ベクトル間の直交性など、より複雑な幾何学的直交性条件を記述するために用いられることがあります。

2 つの線が直角に交わる場合、その線は別の線に垂直であると言われます。^{[ 2 ]} 具体的には、(1) 2 つの線が交わり、(2) 交点において、最初の線の一方の側の直線が、2 番目の線によって 2 つの合同な角に分割される場合、最初の線は 2 番目の線に垂直です。垂直性は対称であることが示されており、最初の線が 2 番目の線に垂直であれば、2 番目の線も最初の線に垂直です。このため、順序を指定せずに 2 つの線が (互いに) 垂直であると言うことができます。垂直性の素晴らしい例は、どのコンパスでも見ることができます。方位、つまり北、東、南、西 (NESW) に注目してください。線 NS は線 WE に垂直で、角 NE、ES、SW、WN はすべて互いに 90° です。

垂直性は線分や半直線にも容易に拡張できます。例えば、線分${\displaystyle {\overline {AB}}}$線分に垂直である${\displaystyle {\overline {CD}}}$それぞれを両方向に延長して無限線を形成したとき、結果として得られる2つの線は上記の意味で垂直である。記号で表すと、${\displaystyle {\overline {AB}}\perp {\overline {CD}}}$これは、線分 AB が線分 CD に垂直であることを意味します。^{[ 3 ]}

ある直線が平面に垂直であるとは、その直線が平面上の交わるすべての直線に垂直である場合をいう。この定義は、直線間の垂直性の定義に基づいている。

空間内の2つの平面は、それらが交わる二面角が直角である場合に、垂直であると言われる。

「脚」という言葉は、垂直線に関連してよく用いられます。この用法は、上の図とその説明文に示されています。図の向きは問いません。脚は必ずしも下側にあるとは限りません。

より正確に言うと、Aを点、mを直線とする。Bがmと、Aを通りmに垂直な唯一の直線との交点である場合、BはAを通るこの垂直線の足と呼ばれる。

点Pを通る直線ABへの垂線（青色）の作図

点Pから半直線hへの垂線を作図します（終点Aだけでなく、Mも自由に選択可能）。最後に10秒間の一時停止を伴うアニメーションが表示されます。

コンパスと定規を使った作図で、点Pを通る線分ABへの垂線を引くには、次の手順に従ってください（左図参照）。

• ステップ 1 (赤):点 P を中心とする円を描き、直線 AB 上に点 A' と B' を作成します。これらの点はP から等距離にあります。
• ステップ2（緑色）：点A'と点B'を中心とする、半径が等しい円をそれぞれ作成します。QとPを、これら2つの円の交点とします。
• ステップ3（青）：QとPを結んで、目的の垂直線PQを作成します。

PQがABに垂直であることを証明するには、QPA'とQPB'のSSS合同定理を用いて、角OPA'と角OPB'が等しいと結論付けます。次に、三角形OPA'とOPB'のSAS合同定理を用いて、角POAと角POBが等しいと結論付けます。根軸も参照してください。

タレスの定理を用いて、点Pを通る、または点Pにおいて直線gに垂直な線を引く方法については、右側のアニメーションを参照してください。

ピタゴラスの定理は、直角を作図する方法の基礎として利用できます。例えば、鎖の輪の数を数えることで、長さの比が3:4:5の3本の鎖を作ることができます。これらを並べると三角形ができ、その三角形の最長辺の反対側に直角ができます。この方法は、寸法が大きく、高い精度が求められない庭や畑のレイアウトに役立ちます。鎖は必要に応じて何度でも使用できます。

2つの直線（aとb）が両方とも3つ目の直線（c）に垂直である場合、3つ目の直線に沿って形成されるすべての角は直角になります。したがって、ユークリッド幾何学では、平行線公準により、3つ目の直線に垂直な2つの直線は互いに平行になります。逆に、ある直線が別の直線に垂直である場合、その直線は、その別の直線に平行な任意の直線にも垂直になります。

右の図では、対頂角は合同であり、平行線を横切る横断線によって形成される錯角は合同であるため、オレンジ色で網掛けされたすべての角は互いに合同であり、緑色で網掛けされたすべての角も互いに合同です。したがって、直線 a と直線 b が平行である場合、以下のいずれかの結論から他のすべての結論が導かれます。

• 図中の角度の一つは直角です。
• オレンジ色で塗りつぶされた角のうちの1つは、緑色で塗りつぶされた角のうちの1つと合同である。
• 直線cは直線aに垂直である。
• 直線cは直線bに垂直である。
• 4つの角はすべて等しい。

2次元平面では、2つの直線の傾きの積が-1に等しい場合、2つの交差する直線によって直角が形成される。したがって、2つの線形関数については、${\displaystyle y_{1}(x)=m_{1}x+b_{1}}$そして${\displaystyle y_{2}(x)=m_{2}x+b_{2}}$関数のグラフは、${\displaystyle m_{1}m_{2}=-1.}$

ベクトルの内積を使っても同じ結果が得られます。まず、原点が線が交差する位置になるように座標を移動します。次に、各線に沿って 2 つの変位を定義します。${\displaystyle {\vec {r}}_{j}}$、 のために${\displaystyle (j=1,2).}$ここで、垂直なベクトルに対しては内積がゼロになるという事実を利用します。

${\displaystyle {\vec {r}}_{1}=x_{1}{\hat {x}}+y_{1}{\hat {y}}=x_{1}{\hat {x}}+m_{1}x_{1}{\hat {y}}}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{2}=x_{2}{\hat {x}}+y_{2}{\hat {y}}=x_{2}{\hat {x}}+m_{2}x_{2}{\hat {y}}}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2}=\left(1+m_{1}m_{2}\right)x_{1}x_{2}=0}$

${\displaystyle \therefore m_{1}m_{2}=-1}$（ない限り ${\displaystyle x_{1}}$または${\displaystyle x_{2}}$（消える。）

どちらの証明も、1 つの傾きを${\displaystyle \varepsilon }$、そして極限をとる${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0.}$ 一方の傾きがゼロになると、もう一方の傾きは無限大になる。

3次元空間では、最大3本の線が互いに直交する可能性があり、これは3次元直交座標系のx、y、z軸によって例示されます。

• 直交投影
• 接線成分と法線成分

• アルトシラー＝コート、ネイサン（1952）[初版1925年]、『大学幾何学：三角形と円の現代幾何学入門』（第2 版）、ニューヨーク：バーンズ＆ノーブル
• ケイ、デイビッド・C. (1969)、『大学幾何学』、ニューヨーク：ホルト・ラインハート・アンド・ウィンストン、LCCN 69-12075 

• 定義：インタラクティブなアニメーションを備えた垂直方向のアニメーション。
• コンパスと定規を使って直線の垂直二等分線を描く方法（アニメーションによる解説）。
• コンパスと定規を使って、光線の終点に垂線を引く方法（アニメーションによる解説）。