フォノン

フォノンは準粒子であり、凝縮物質、特に固体および一部の液体中の原子または分子の周期的かつ弾性的な配列における集団励起です。光トラップされた物体の文脈では、振動のモード波長が物体のサイズよりも小さい限り、量子化された振動モードはフォノンとして定義できます。物理学における準粒子の一種であるフォノン^{[ 1 ]}は、相互作用する粒子の弾性構造の振動モードの量子力学的量子化における励起状態です。フォノンは、量子化された光波である光子と同様に、量子化された音波と考えることができます。^{[ 2 ]}

フォノンの研究は、凝縮系物理学の重要な分野である。フォノンは、熱伝導率や電気伝導率といった凝縮系物質の多くの物理的性質、さらには中性子散乱や関連効果のモデルにおいて重要な役割を果たしている。

フォノンの概念は、1930 年にソビエトの物理学者イゴール・タムによって導入されました。フォノンという名前はヤコフ・フレンケルによって提案されました。^{[ 3 ]}これはギリシャ語のφωνή ( phonē ) に由来し、音または声を意味します。これは、長波長のフォノンが音を生じるためです。この名前は、フォノンが光波の波動粒子二重性を表すのと同様に、光子という言葉との類似性を強調しています。最小単位セルに複数の原子を持つ固体は、音響フォノンと光学フォノンの両方を示します。

フォノンは、原子または分子の格子が単一の周波数で均一に振動する基本的な振動運動の量子力学的記述である。^{[ 4 ]}古典力学では、これは振動の基準モードを指す。基準モードは、任意の格子振動がこれらの基本振動モードの重ね合わせであると考えられるため重要である（フーリエ解析を参照）。基準モードは古典力学では波動のような現象であるが、フォノンは量子力学の波動-粒子二重性に関連する形で粒子のような性質も持っている。

この節の式は量子力学の公理を用いず、代わりに古典力学に直接対応する関係式を用いている。

例えば、剛性のある規則的な結晶格子（非晶質ではない）は、N個の粒子から構成されます。これらの粒子は、原子または分子です。Nは大きな数で、例えば 10 ²³のオーダー、または典型的な固体サンプルのアボガドロ数のオーダーです。格子は剛性であるため、各原子を平衡位置の近くに維持するために、原子は互いに力を及ぼしている必要があります。これらの力は、ファンデルワールス力、共有結合、静電引力などであり、これらはすべて最終的には電気力によるものです。磁力と重力は一般的に無視できます。各原子対間の力は、原子間の距離に依存するポテンシャルエネルギー関数Vによって特徴付けられます。格子全体のポテンシャルエネルギーは、すべてのペアワイズポテンシャルエネルギーの合計に、二重カウントを補正するために係数 1/2 を掛けたものです。^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}V\left(r_{i}-r_{j}\right)}$

ここで、r _{i は}i番目の原子の位置であり、Vは 2 つの原子間のポテンシャルエネルギーである。

この多体問題を古典力学でも量子力学でも明示的に解くのは困難です。問題を簡略化するために、通常、2つの重要な近似が用いられます。まず、和は隣接する原子のみについて取られます。実際の固体では電気力は無限遠まで及びますが、遠方の原子によって生成される電場は効果的に遮蔽されるため、この近似は依然として有効です。次に、ポテンシャルVは調和ポテンシャルとして扱われます。これは、原子が平衡位置に近い限り許容されます。形式的には、これはVを平衡値の周りで2次までテイラー展開することで実現され、 Vは変位x²に比例し、弾性力は単純にxに比例します^。xが平衡位置に近い限り、高次の項を無視することによる誤差は小さくなります。

結果として得られる格子は、バネでつながれた球体のシステムとして視覚化できます。次の図は立方格子を示しており、これは多くの種類の結晶性固体の良いモデルとなります。その他の格子には、線状鎖があり、これは非常に単純な格子で、後ほどフォノンのモデリングに使用します。（その他の一般的な格子については、「結晶構造」を参照してください。）

格子のポテンシャルエネルギーは次のように表すことができます。

${\displaystyle \sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(R_{i}-R_{j}\right)^{2}.}$

ここで、ωは調和ポテンシャルの固有振動数であり、格子が規則的であるため、それらは同じであると仮定します。R _iはi番目の原子の位置座標であり、ここでは平衡位置から測定します。最近接原子間の和は(nn)で表されます。

ここで示されている数学的処理は、専門家以外の人にも理解しやすいように非常に簡略化されていることに注意することが重要です。この簡略化は、結晶の全ポテンシャルエネルギーの式において、2 つの基本的な仮定を置くことによって達成されています。これらの仮定は、(i) 全ポテンシャルエネルギーはペアワイズ相互作用の和として記述できること、および (ii) 各原子は最も近い隣接原子とのみ相互作用することです。これらは、現代の格子力学ではごくまれにしか使用されていません。^{[ 6 ]}より一般的なアプローチは、ポテンシャルエネルギーを力定数で表すことです。^{[ 6 ]}例えば、マルチスケールグリーン関数に関する Wiki の記事を参照してください。

格子波

原子間の結合により、1つまたは複数の原子が平衡位置からずれると、格子内を伝播する一連の振動波が発生します。右の図は、そのような波の一例を示しています。波の振幅は、原子の平衡位置からのずれによって決まります。波長λは図中に示されています。

原子間の平衡距離a の2 倍によって決まる最小波長が存在する。格子周期性により、これより短い波長は 2 aより長い波長にマッピングできる。これは、格子点を連続波の「サンプリング点」とみなすナイキスト・シャノン標本化定理の結果と考えることができる。

すべての格子振動が明確な波長と周波数を持つわけではない。しかし、基準振動モードは明確な波長と周波数を持つ。

一次元格子

原子の3次元格子に必要な解析を簡略化するために、1次元格子または線状鎖をモデル化するのが便利である。このモデルは、フォノンの顕著な特徴を示すのに十分な複雑さを備えている。

古典的な治療法

原子間の力は線形かつ最近接であると仮定し、弾性ばねで表す。各原子は点粒子であると仮定し、原子核と電子は同期して運動する（断熱定理）。

n − 1 n n + 1 ← a →     

···o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o · ·

→→  →  →→→

u _{n − 1} u _n u _{n + 1}  

ここで、nは全N個の原子のうちn番目の原子を表し、aは鎖が平衡状態にあるときの原子間の距離、u _nはn番目の原子が平衡位置からどれだけずれているかを表す。

Cがばねの弾性定数、mが原子の質量である場合、 n番目の原子の運動方程式は次のようになる。

${\displaystyle -2Cu_{n}+C\left(u_{n+1}+u_{n-1}\right)=m{\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}.}$

これは連立方程式のセットです。

解は振動的であると予想されるため、それらを分離するために、離散フーリエ変換によって新しい座標が定義されます。 ^{[ 7 ]}

置く

${\displaystyle u_{n}=\sum _{Nak/2\pi =1}^{N}Q_{k}e^{ikna}.}$

ここで、naはスカラー場理論の連続変数xに対応し、それに帰着する。Qkは連続場モードの正規座標として知られている_。${\displaystyle \phi _{k}=e^{ikna}}$と${\displaystyle k=2\pi j/(Na)}$のために${\displaystyle j=1\dots N}$。

運動方程式に代入すると、次の分離方程式が得られます（これには、離散フーリエ変換の直交性と完全性の関係を使用した大幅な操作が必要です）、^{[ 8 ]}

${\displaystyle 2C(\cos {ka-1})Q_{k}=m{\frac {d^{2}Q_{k}}{dt^{2}}}.}$

これらは、 解が

${\displaystyle Q_{k}=A_{k}e^{i\omega _{k}t};\qquad \omega _{k}={\sqrt {{\frac {2C}{m}}(1-\cos {ka})}}.}$

各基準座標Q _{k は、}波数kを持つ格子の独立した振動モードを表し、これは基準モードとして知られています。

2 番目の式は、ω _kについて、角周波数と波数の間の分散関係として知られています。

連続極限では、a →0、 N →∞、Naは固定され、u _n → φ ( x )、スカラー場、 ${\displaystyle \omega (k)\propto ka}$これは、独立した振動子の集合体である古典的な自由スカラー場理論に相当する。

量子治療

1次元量子力学的調和鎖は、N個の同一原子から構成される。これは、フォノンの発生を可能にする格子構造の最も単純な量子力学的モデルである。このモデルの定式化は、2次元および3次元にも容易に一般化できる。

前のセクションとは対照的に、質量の位置は次のように表されない。$u_i$しかし、${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$平衡位置から測定した場合。（つまり${\displaystyle x_{i}=0}$粒子の場合${\displaystyle i}$（平衡位置にある。）2次元以上では、${\displaystyle x_{i}}$これらはベクトル量です。このシステムのハミルトニアンは次のとおりです。

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}$

ここで、mは各原子の質量（すべて同じであると仮定）であり、x _iとp _iはそれぞれi番目の原子の位置演算子と運動量演算子であり、和は最近接原子（nn）について取られます。しかし、格子内では粒子のように振る舞う波も現れることが予想されます。波を扱う際には、粒子の座標の代わりに波数ベクトルの正規モードを変数として使用するフーリエ空間を用いるのが一般的です。正規モードの数は粒子の数と同じです。それでも、システムの周期性を考慮すると、フーリエ空間は非常に有用です。

x _kの離散フーリエ変換として定義されるN個の「正規座標」Q _kと、p _kのフーリエ変換として定義されるN 個の「共役運動量」Π _kを導入することができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\\Pi _{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}.\end{aligned}}}$

量kはフォノンの波数、つまり2πを波長で割った値であることがわかります。

この選択により、実空間または波数ベクトル空間のいずれにおいても、望ましい交換関係が維持される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={\frac {1}{N}}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}\left[x_{l},p_{m}\right]\\&={\frac {i\hbar }{N}}\sum _{l}e^{ial\left(kk'\right)}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0\end{aligned}}}$

全体的な結果から

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}\end{aligned}}}$

位置エネルギー項は

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}m{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}}$

どこ

${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}\left(1-\cos {ka}\right)}}=2\omega \left|\sin {\frac {ka}{2}}\right|}$

ハミルトニアンは波数ベクトル空間で次のように表すことができます。

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(\Pi _{k}\Pi _{-k}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)}$

位置変数間の結合は変換によって取り除かれています。もしQとΠがエルミート行列であれば（実際はそうではありませんが）、変換されたハミルトニアンはN個の非結合調和振動子を記述することになります。

量子化の形式は境界条件の選択に依存します。簡略化のため、周期境界条件が課され、( N  +  1) 番目の原子は最初の原子と同等と定義されます。物理的には、これは鎖の両端を結合することに対応します。結果として得られる量子化は

${\displaystyle k=k_{n}={\frac {2\pi n}{Na}}\quad {\mbox{for }}n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\frac {N}{2}}.\ }$

nの上限値は、上で述べたように、格子間隔aの2倍である最小波長から導き出される。

モードωkの調和振動子の固有値またはエネルギー準位は次_のとおりです。

${\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots }$

各階の間隔は以下のとおりです。

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }$

ここで、⁠ 1 / 2 ⁠ ħωは量子調和振動子の零点エネルギーです。

調和振動子格子を次のエネルギー準位に励起するには、正確な量のエネルギーħωを供給する必要がある。電磁場が量子化される光子の場合と同様に、振動エネルギーの量子はフォノンと呼ばれる。

すべての量子系は、波動性と粒子性を同時に示します。フォノンの粒子性は、後述する第二量子化法と演算子法を用いることで最もよく理解できます。 ^{[ 9 ]}

分散関係

質量m ₁、m ₂の 2 種類のイオンまたは原子が、間隔aで周期的に繰り返される一次元交互配列で、ばね定数Kのばねで接続されている場合、2 つの振動モードが発生します。^{[ 11 ]}

${\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=K\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\pm K{\sqrt {\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\sin ^{2}{\frac {ka}{2}}}{m_{1}m_{2}}}}},}$

ここで、kは振動の波数ベクトルであり、その波長と次のように関連付けられる。 ${\displaystyle k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}}$。

周波数と波数ベクトルの関係、ω  = ω ( k ) は、分散関係として知られています。プラスの符号は光学モード、マイナスの符号は音響モードに対応します。光学モードでは、隣接する2つの異なる原子が互いに反対方向に振動しますが、音響モードでは、それらは一緒に振動します。 

音響フォノンの伝播速度、すなわち格子内の音速_は、音響分散関係の傾き ∂ωk / ∂k で与えられます（群速度を参照）。kの値が小さい場合（つまり波長が長い場合）、分散関係はほぼ線形となり、音速はフォノン周波数によらずほぼωa になります。その結果、波長が異なる（ただし長い）フォノンのパケットは、格子を横断して大きな距離を伝播しても分裂しません。これが、音が大きな歪みなく固体中を伝播する理由です。この挙動は、 kの値が大きい場合（つまり波長が短い場合）には、格子の微細な構造のために破綻します。

単位胞に少なくとも 2 つの原子を持つ結晶の場合、分散関係は 2 種類のフォノン、すなわち、図の上側の青い曲線と下側の赤い曲線にそれぞれ対応する光学モードと音響モードを示します。縦軸はフォノンのエネルギーまたは周波数であり、横軸は波数ベクトルです。− ⁠ π / a ⁠と⁠ π / a ⁠の境界は、第一ブリルアンゾーンの境界です。^{[ 11 ]}単位胞にN ≥ 2 種類の異なる原子を持つ結晶は、3 つの音響モードを示します。1 つの縦音響モードと 2 つの横音響モードです。光学モードの数は 3 N – 3 です。下の図は、ブリルアンゾーンの主方向の波数ベクトルkの関数として、GaAsのいくつかのフォノンモードの分散関係を示しています。^{[ 10 ]}    

モードはフォノン分散の分岐とも呼ばれます。一般に、単位格子内に p 個の原子 (前述の N で表す) がある場合、3 次元結晶には 3p 個のフォノン分散の分岐が存在します。これらのうち、3 つの分岐は音響モードに対応し、残りの 3p-3 個の分岐は光学モードに対応します。特定の方向では、対称性によりいくつかの分岐が一致します。これらの分岐は縮退と呼ばれます。音響モードでは、すべての p 個の原子が同位相で振動します。そのため、波の伝播中にこれらの原子の相対変位は変化しません。

フォノン分散の研究は、フォノンによって特徴づけられる固体中の音波の伝播をモデル化するのに役立ちます。前述のように、各フォノンのエネルギーはħωです。波の速度もωとkで表されます。波ベクトルの方向は波の伝播方向であり、フォノン分極ベクトルは原子が振動する方向を示します。実際には、一般に、結晶中の波の速度はkの方向によって異なります。言い換えれば、ほとんどの結晶はフォノンの伝播に関して異方性を持っています。

原子が波の伝播方向と同じ方向に振動する場合、その波は縦波である。横波では、原子は波の伝播方向に対して垂直に振動する。しかし、等方性結晶を除いて、結晶中の波は厳密には縦波でも横波でもない。一般的な異方性結晶では、フォノン波は特定の対称方向でのみ縦波または横波となる。他の方向では、ほぼ縦波またはほぼ横波となる。縦波または横波と呼ばれるのは、単に表記上の便宜のためであり、実際には準縦波または準横波である。3次元の場合、直線上の各点において、直線に垂直な方向が2つあることに注意されたい。したがって、1つの（準）縦波に対して、常に2つの（準）横波が存在する。

非弾性中性子散乱によって、多くのフォノン分散曲線が測定されてきた。

流体中の音の物理現象は、固体中の音の物理現象とは異なります。どちらも密度波ではありますが、流体中の音波は縦波成分のみを持つのに対し、固体中の音波は縦波成分と横波成分の両方を持ちます。これは、流体がせん断応力を支えられないためです（ただし、高周波数にのみ適用される粘弾性流体については別途参照してください）。

最小単位格子内に複数の原子を含む固体は、音響フォノンと光学フォノンの2種類のフォノンを示す。

音響フォノンは、格子原子が平衡位置からずれるコヒーレントな動きです。変位が伝播方向と同じ方向であれば、空気中の音波のように、原子間の距離が場所によって異なり、ある領域では原子が密集し、別の領域では原子が離れます（そのため「音響」という名前が付けられています）。伝播方向に対して垂直な方向の変位は、弦の波に相当します。音響フォノンの波長が無限大になると、結晶全体が単純に変位することになり、変形エネルギーはゼロになります。音響フォノンは、長波長では周波数とフォノン波数ベクトルとの間に線形関係を示します。音響フォノンの周波数は、波長が長くなるにつれてゼロに近づきます。縦波音響フォノンと横波音響フォノンは、それぞれLAフォノンとTAフォノンと略されることがよくあります。

光学フォノンは、格子内の原子の逆位相の動きであり、ある原子が左に動き、その隣の原子が右に動きます。これは、格子基底が 2 つ以上の原子で構成されている場合です。塩化ナトリウムなどのイオン結晶では、変位の変動が電磁場と結合する電気分極を生み出すため、光学フォノンと呼ばれます。 ^{[ 2 ]}したがって、赤外線によって励起される可能性があります。光の電場は、すべての正のナトリウムイオンを電場の方向に、すべての負の塩化物イオンを反対方向に動かし、結晶を振動させます。

光学フォノンはブリルアンゾーンの中心でゼロでない周波数を持ち、その長波長限界付近では分散を示さない。これは、隣接する格子点の正イオンと負イオンが互いに振動し、時間とともに変化する電気双極子モーメントを生成する振動モードに対応するためである。このように光と相互作用する光学フォノンは、赤外活性と呼ばれる。ラマン活性な光学フォノンは、ラマン散乱を介して間接的に光と相互作用することもできる。光学フォノンは、縦モードと横モードをそれぞれLOフォノンとTOフォノンと略記されることが多く、LO周波数とTO周波数の分裂は、リッダン・サックス・テラーの関係によって正確に記述されることが多い。

^{光学フォノンエネルギーを}実験的に測定する場合、光学フォノン周波数は分光波数表記で表されることがあり、ここで記号ωは通常の周波数（角周波数ではない）を表し、単位はcm⁻¹で表されます。この値は、周波数を真空中の光速で割ることによって得られます。言い換えれば、 ^cm⁻¹単位の波数は、測定されたフォノンと同じ周波数を持つ真空中の光子の波長の逆数に対応します。^{[ 13 ]}

光子や物質波との類推から、フォノンは運動量ħkを持つかのように波数ベクトルkで扱われてきました^{[ 14 ]。}しかし、これは厳密には正しくありません。ħkは実際には物理的な運動量ではなく、結晶運動量または擬似運動量と呼ばれています。これは、kが定数ベクトル（逆格子ベクトルとその整数倍）の加算によってのみ決定されるためです。例えば、一次元モデルでは、正規座標QとΠは次のように定義されます。

${\displaystyle Q_{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}Q_{k+K};\quad \Pi _{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\Pi _{k+K}}$

どこ

${\displaystyle K={\frac {2n\pi }{a}}}$

任意の整数nに対して。したがって、波数kのフォノンは、波数k  ± 2 π / a、 k ± 4 π / aなどを持つ無限のフォノン族と等価である。物理的には、逆格子ベクトルは、格子がフォノンに与えることができる追加の運動量の塊として作用する。ブロッホ電子も同様の制約に従う。   

通常は、フォノン波数ベクトルkのうち、その「ファミリー」の中で絶対値が最小の| k |を持つものを考えるのが便利です。このような波数ベクトルの集合が、第一ブリルアンゾーンを定義します。追加のブリルアンゾーンは、第一ゾーンを逆格子ベクトルだけずらしたコピーとして定義できます。

固体の熱力学的性質は、そのフォノン構造と直接的に関連している。フォノン分散関係によって記述されるすべての可能なフォノンの集合は、フォノン状態密度と呼ばれるものに集約され、これが結晶の熱容量を決定する。この分布の性質上、熱容量は分布の高周波部分によって支配され、一方、熱伝導率は主に低周波領域によって決定される。

絶対零度では、結晶格子は基底状態にあり、フォノンは存在しません。零度以外の温度にある格子は、一定ではなく、ある平均値の周りでランダムに変動するエネルギーを持っています。これらのエネルギー変動は、ランダムな格子振動によって引き起こされ、これはフォノンのガスと見なすことができます。これらのフォノンは格子の温度によって生成されるため、熱フォノンと呼ばれることもあります。^{[ 15 ]}

熱フォノンは、ランダムなエネルギーゆらぎによって生成および消滅します。統計力学の言葉で言えば、これはフォノンを追加するための化学ポテンシャルがゼロであることを意味します。^{[ 15 ]}この挙動は、調和ポテンシャルを非調和領域に拡張したものです。熱フォノンの挙動は、電磁空洞によって生成される光子ガスに似ています。この空洞では、光子は空洞壁によって放出または吸収される可能性があります。この類似性は偶然ではなく、電磁場が調和振動子のセットのように振る舞い、黒体放射を生み出すことが判明しています。どちらのガスもボーズ・アインシュタイン統計に従います。熱平衡状態かつ調和領域内では、特定の角周波数で特定の状態のフォノンまたは光子を見つける確率は次のようになります。^{[ 16 ]}

${\displaystyle n\left(\omega _{k,s}\right)={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\hbar \omega _{k,s}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}}$

ここで、ω _k、sは状態におけるフォノン（または光子）の周波数、k _Bはボルツマン定数、Tは温度です。

フォノンハミルトニアンは次のように与えられる。

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }\left(p_{\alpha }^{2}+\omega _{\alpha }^{2}q_{\alpha }^{2}-\hbar \omega _{\alpha }\right)}$

生成演算子と消滅演算子に関しては、これらは次のように与えられる。

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{\alpha }\hbar \omega _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dagger }a_{\alpha }}$

ここで、演算子形式でハミルトニアンを表現する際、連続体または無限格子の場合、1 / 2ħωq_項が加算されて無限大になるため、 1 / 2ħωq項は考慮していません_{。測定するの}はエネルギーの差であり_、その絶対値ではないため、定数項1 / 2ħωqは運動方程式を変更せずに無視できます。したがって、演算子形式で表現され_たハミルトニアンには1 / 2ħωq因子は存在しません。

基底状態、または「真空状態」とは、フォノンが存在しない状態のことです。したがって、基底状態のエネルギーは0です。システムが状態| n ₁ n ₂ n ₃ … ⟩にあるとき、タイプαのフォノンがn _{α 個}存在すると言います。ここで、n _αはフォノンの占有数です。タイプαの単一フォノンのエネルギーはħω _qで与えられ、一般的なフォノンシステムの全エネルギーはn ₁ ħω ₁ + n ₂ ħω _{2 +.... で与えられます。交差項 (例えば}n ₁ ħω ₂ )がないため、フォノンは非相互作用であると言われます。生成消滅演算子の作用は次のように与えられます。   

${\displaystyle {a_{\alpha }}^{\dagger }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }+1}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }+1),n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }}$

そして、

${\displaystyle a_{\alpha }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }-1),n_{\alpha +1},\ldots {\Big \rangle }}$

生成演算子a _α ^{† はタイプ}αのフォノンを生成し_、αはタイプαのフォノンを消滅させます。したがって、これらはそれぞれフォノンの生成演算子と消滅演算子です。量子調和振動子の場合と同様に、粒子数演算子を次のように定義できます。

${\displaystyle N=\sum _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dagger }a_{\alpha }.}$

数演算子が生成演算子と消滅演算子の積の列と可換となるのは、生成演算子の数と消滅演算子の数が等しい場合に限る。

フォノンは交換対称性を持つ（すなわち| α , β ⟩  = | β , α ⟩ ）ことが示されており、したがってフォノンはボソンとみなされる。^{[ 18 ]} 

光子だけでなく、フォノンもパラメトリックダウンコンバージョン^{[ 19 ]}を介して相互作用し、スクイーズドコヒーレント状態を形成する^{[ 20 ]}。

最近の研究では、フォノンとロトンは無視できない質量を持ち、標準的な粒子と同様に重力の影響を受ける可能性があることが示されています。^{[ 21 ]}特に、フォノンは一種の負の質量と負の重力を持つと予測されています。^{[ 22 ]}これは、フォノンが密度の高い物質中をより速く移動することが知られていることから説明できます。物質の重力源に向かっている部分は物体に近いため、その端で密度が高くなります。このことから、フォノンは密度の違いを検出すると偏向し、負の重力場の性質を示すと予測されています。^{[ 23 ]}その効果は測定するには小さすぎるものの、将来の装置が成功につながる可能性があります。

超伝導とは、電気抵抗が消失し、磁場が物質から排除される電子物質の状態である。超伝導体では、電子は弱い引力によってクーパー対に結合している。従来の超伝導体では、この引力はバーディーン・パインズ相互作用として知られており、電子間のフォノンの交換によって引き起こされる。 ^{[ 24 ]}イオン格子の振動であるフォノンが超伝導に関係しているという証拠は、超伝導臨界温度がイオンの質量に依存する同位体効果によって提供される。

2019年、研究者たちは初めて個々のフォノンを破壊することなく分離することに成功した。^{[ 25 ]}

また、液体がグラフェン表面上を流れるとき、フォノンの流れがナノスケールの電流発生の原因となることも示された。^{[ 26 ]}

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• Wikiquoteにあるフォノンに関する引用文
• 「解説：フォノン」 . MITニュース | マサチューセッツ工科大学. 2010年7月8日. 2024年10月12日閲覧.*光学モードと音響モード