ニュートン以降の膨張

一般相対性理論では、ポストニュートン展開（PN 展開）は、計量テンソルに対するアインシュタイン場の方程式の近似解を求めるために使用されます。近似は、ニュートンの万有引力の法則からの偏差のオーダーを表す小さなパラメータで展開されます。これにより、弱い場の場合にアインシュタインの方程式の近似を行うことができます。精度を高めるために高次の項を追加できますが、強い場の場合は完全な方程式を数値的に解くことが好ましい場合があります。この方法は、有効場の理論の一般的な特徴です。極限では、小さなパラメータが0に等しいとき、ポストニュートン展開はニュートンの万有引力の法則に簡約されます。

ポストニュートン近似は、重力場を作り出す物質の速度と光速の比である小さなパラメータでの展開であり、この場合、光速はより正確には重力の速度と呼ばれます。^[1]重力の基本速度が無限大になる極限では、ポストニュートン展開はニュートンの重力の法則に縮小されます。流体力学的近似内でのポストニュートン展開の体系的な研究は、 1960年代にスブラマニアン・チャンドラセカールと彼の同僚によって開発されました。^{[2] [3] [4] [5] [6]}

もう一つのアプローチは、一般相対性理論の方程式を、重力がない場合の値からの測定基準の偏差のべき級数に展開することです。

${\displaystyle h_{\alpha \beta }=g_{\alpha \beta }-\eta _{\alpha \beta }\,.}$

このためには、すべての固有値の絶対値が 1 未満になる 座標系を選択する必要があります。${\displaystyle h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }\,}$

たとえば、線形化された重力を一歩超えてhの 2 次展開を得ると、次のようになります。

${\displaystyle g^{\mu \nu }\おおよそ \eta ^{\mu \nu }-\eta ^{\mu \alpha }h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu }+\ eta ^{\mu \alpha }h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }h_{\gamma \delta }\eta ^{\デルタ \nu }\,.}$

${\displaystyle {\sqrt {-g}}\approx 1+{\tfrac {1}{2}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \alpha }+{\tfrac {1}{8}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \alpha }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \gamma }-{\tfrac {1}{4}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \alpha }\,.}$

速度とは関係なく、計量のみに基づいた展開は、ポストミンコフスキー展開( PM 展開) と呼ばれます。

PN 展開 (一次まで) の最初の使用は、アルバート アインシュタインが水星の軌道の近日点歳差を計算する際に行われました。今日、アインシュタインの計算は、重力波の放出を含む一般相対論的二体問題を解く、PN 展開の一般的な応用例として認識されています。

一般に、摂動計量は次のように表される^[8]

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}(\tau )\left[(1+2A)d\tau ^{2}-2B_{i}dx^{i}d\tau -\left(\delta _{ij}+h_{ij}\right)dx^{i}dx^{j}\right]}$

ここで、、およびは空間と時間の関数である。は次のように分解できる。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle h_{ij}}$${\displaystyle h_{ij}}$

${\displaystyle h_{ij}=2C\delta _{ij}+\partial _{i}\partial _{j}E-{\frac {1}{3}}\delta _{ij}\Box ^{ 2}E+\partial _{i}{\hat {E}}_{j}+\partial _{j}{\hat {E}}_{i}+2{\チルダ{E}}_{ij}}$

ここで、はダランベール演算子、はスカラー、はベクトル、はトレースレステンソルです。バーディーンポテンシャルは次のように定義されます。 ${\displaystyle \Box}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\hat {E}}_{i}}$${\displaystyle {\チルダ {E}}_{ij}}$

${\displaystyle \Psi \equiv A+H(BE'),+(B+E')',\quad \Phi \equiv -CH(BE')+{\frac {1}{3}}\Box E}$

ここで はハッブル定数であり、プライムは共形時間に関する微分を表します。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle \tau \,}$

（つまり、と を設定する）と、ニュートン力計は ${\displaystyle B=E=0}$${\displaystyle \Phi \equiv -C}$${\displaystyle \Psi \equiv A}$

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}(\tau )\left[(1+2\Psi )d\tau ^{2}-(1-2\Phi )\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}\right]\,}$。

異方性応力が存在しない場合は、 であることに注意してください。 ${\displaystyle \Phi =\Psi }$

これの有用な非線形拡張は、非相対論的重力場によって提供されます。

• 座標条件
• アインシュタイン・インフェルト・ホフマン方程式
• 線形重力
• パラメータ化されたポストニュートン形式

• 「一般相対性理論における粒子の運動について」A.アインシュタインとL.インフェルド著、2012年3月8日アーカイブ、Wayback Machineにて
• ブランシェ、リュック (2014)。「ポストニュートン源とインスパイラルコンパクト連星からの重力放射」。Living Reviews in Relativity。17 ( 1): 2。arXiv : 1310.1528。Bibcode : 2014LRR ....17  .... 2B。doi : 10.12942/ lrr - 2014-2。PMC 5256563。PMID 28179846。 
• Clifford, M. Will (2011). 「重力物理学におけるポストニュートン近似の不合理な有効性について」. PNAS . 108 (15): 5938–5945. arXiv : 1102.5192 . doi : 10.1073/pnas.1103127108 . PMC  3076827. PMID  21447714 .