重力エネルギー

重力エネルギーまたは重力位置エネルギーは、重力場における位置によって質量のある物体が持つ位置エネルギーです。これは、質量を選択された基準点 (多くの場合、場を生成する質量から「無限の距離」) から場内の別の点に移動させるために重力によって行われる機械的仕事であり、物体が互いに向かって落下するときの運動エネルギーの変化に等しくなります。重力位置エネルギーは、2 つの物体が離れると増加し、互いに向かって落下すると運動エネルギーに変換されます。

2 つの相互作用する点粒子の場合、重力による位置エネルギーは、質量を合わせるために重力によって行われる仕事です。 ここで、 は2 つの粒子間の変位ベクトルであり、 はスカラー積を表します。重力は常に粒子を結合する軸に平行であるため、これは次のように簡略化されます。 ${\displaystyle U}$$${\displaystyle U=-W_{g}={\textbf {-F}}_{g}\cdot {\textbf {r}},}$$${\textstyle {\textbf {r}}}$${\textstyle \cdot }$

$${\displaystyle U=-{\frac {GMm}{|{\textbf {r}}|}},}$$

ここで、 と は2つの粒子の質量であり、 は重力定数である。^[1]${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle G}$

地球の表面近くでは、重力場はほぼ一定であり、物体の重力位置エネルギーは に減少します。 ここで、 は物体の質量、は地球の重力、 は選択された基準レベルからの物体の質量中心の高さです。^[1]$${\displaystyle U=m({\textbf {g}}\cdot {\textbf {r}})=m|{\textbf {g}}||{\textbf {r}}|=mh|{\textbf {g}}|,}$$${\displaystyle m}$${\textstyle {\textbf {g}}={\frac {{GM_{\oplus }}{\hat {\textbf {r}}}}{|{\textbf {r}}_{\oplus }^{ 2}|}}}$${\displaystyle h}$

古典力学では、2つ以上の質量は常に重力ポテンシャルを持ちます。エネルギー保存則により、この重力場のエネルギーは常に負であり、物体が無限に離れているときはゼロになります。^[2]重力ポテンシャルエネルギーは、物体が重力場内にあるために持つ位置エネルギーです。

質点と別の質点の間に働く力の大きさは、ニュートンの万有引力の法則によって与えられる。^[3]${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$ $${\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}}}$$

重力によって質点が無限遠から質点からの最終距離（たとえば、地球の半径）まで動かされる全仕事を得るには、力を変位に関して積分します。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle R}$${\textstyle M}$$${\displaystyle W=\int _{\infty }^{R}{\frac {GMm}{r^{2}}}dr=-\left.{\frac {GMm}{r}}\right|_{\infty }^{R}}$$

なので、物体に対して行われた全仕事は次のように表される。^[4]${\textstyle \lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r}}=0}$

はるかに小さな質量が、質量 のはるかに大きな物体の表面近くを動いている一般的な状況では、重力場はほぼ一定であるため、重力エネルギーの式はかなり簡略化できます。表面 (中心からの距離) から表面からの高さまでの移動による位置エネルギーの変化は、 が小さい場合 ( は定数である表面に近くなければならないため)、この式は二項近似を使用して次のように簡略化できます。重力場は であるため、これは に簡略化されます。表面 ( 無限遠で は なく )で を とると、重力位置エネルギーのよく知られた式が生まれます。 ^[5]${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle h}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta U&={\frac {GMm}{R}}-{\frac {GMm}{R+h}}\\&={\frac {GMm}{R}}\left(1-{\frac {1}{1+h/R}}\right).\end{aligned}}}$$${\displaystyle h/R}$${\displaystyle g}$ $${\displaystyle {\frac {1}{1+h/R}}\approx 1-{\frac {h}{R}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta U&\approx {\frac {GMm}{R}}\left[1-\left(1-{\frac {h}{R}}\right)\right]\\\Delta U&\approx {\frac {GMmh}{R^{2}}}\\\Delta U&\approx m\left({\frac {GM}{R^{2}}}\right)h.\end{aligned}}}$$${\displaystyle g=GM/R^{2}}$$${\displaystyle \Delta U\approx mgh.}$$${\displaystyle U=0}$ $${\displaystyle U=mgh.}$$

一般相対論では、重力エネルギーは極めて複雑であり、その概念について合意された定義は一つもない。これは、古典力学のエネルギー運動量保存則を保持できるランダウ・リフシッツ擬テンソル^[6]を介してモデル化されることがある。ランダウ・リフシッツ擬テンソルに物質の応力エネルギーテンソルを加えると、すべてのフレームで4発散がゼロになる物質と重力エネルギーの合成擬テンソルが得られ、保存則が保証される。擬テンソルは一般相対論には不適切であるという理由でこの導出に反対する人もいるが、物質と重力エネルギーの合成擬テンソルの発散はテンソルである。^[要出典]

• 重力結合エネルギー
• 重力ポテンシャル
• 重力による位置エネルギーの貯蔵
• 正のエネルギー定理