超相対論的限界

物理学では、粒子の速度が光速cに非常に近い場合、その粒子は超相対論的と呼ばれます。一般的に使用される表記は、またはまたはです。ここで、はローレンツ因子、 は光速です。 ${\displaystyle v\approx c}$${\displaystyle \beta \approx 1}$${\displaystyle \gamma \gg 1}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \beta =v/c}$${\displaystyle c}$

超相対論的粒子のエネルギーは、ほぼ完全にその運動エネルギーによるものです。全エネルギーは次のように近似することもできます。ここで、 はローレンツ不変運動量です。 ${\displaystyle E_{k}=(\gamma -1)mc^{2}}$${\displaystyle E=\gamma mc^{2}\approx pc}$${\displaystyle p=\gamma mv}$

これは、質量を固定して運動エネルギーを非常に大きな値に増やすか、エネルギーEを固定して質量m を非常に小さな値に縮小することで実現できます。この場合も が非常に大きくなります。質量が非常に小さい粒子は、c に近い速度で移動するのにそれほど多くのエネルギーを必要としません。後者は、質量のある粒子の軌道から光子などの質量のない粒子の軌道を導くために使用されます(一般相対性理論におけるケプラー問題を参照)。^[要出典]${\displaystyle \gamma}$

以下は のときの超相対論的近似です。ラピディティは と表されます。 ${\displaystyle \beta \approx 1}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle 1-\beta \approx {\frac {1}{2\gamma ^{2}}}}$

${\displaystyle w\approx \ln(2\gamma )}$

• 一定の固有加速度による運動: d ≈ e ^aτ /(2 a )、ここでdは移動距離、a = dφ / dτは固有加速度 ( aτ ≫ 1 )、τは固有時間、移動は静止状態から始まり、加速度の方向は変化しません (詳細については「固有加速度」を参照)。
• 質量中心の超相対論的運動による固定ターゲット衝突: E _CM ≈ √ 2 E ₁ E ₂ここで、E ₁とE _{2 は}それぞれ粒子とターゲットのエネルギー (つまりE ₁ ≫ E ₂ ) であり、E _{CM は}質量中心フレームのエネルギーです。

粒子のエネルギーを計算する場合、速度v = 0.95 cに対する超相対論的極限の相対誤差は約10 % で、v = 0.99 cの場合はわずか2 %です。ニュートリノなどの粒子の場合、γ (ローレンツ因子) は通常10 ⁶ ( v はcと実質的に区別がつかない) を超えますが、近似は基本的に正確です。

反対の場合 ( v ≪ c ) はいわゆる古典粒子であり、その速度はcよりはるかに小さい。その運動エネルギーは二項級数の最初の項で近似できる。 ${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle E_{k}=(\gamma -1)mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}+\left[{\frac {3}{8}}m{\frac {v^{4}}{c^{2}}}+...+mc^{2}{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {v^{2n}}{c^{2n}}}+...\right]}$

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