シュヴァルツシルト測地線

一般相対性理論では、シュワルツシルト測地線は、中心の固定質量の重力場における試験粒子の運動、つまりシュワルツシルト計量における運動を記述します。シュワルツシルト測地線は、アインシュタインの一般相対性理論の検証において極めて重要な役割を果たしてきました。たとえば、太陽系の惑星の異常な歳差運動や重力による光の偏向 を正確に予測できます。${\textstyle M,}$

シュワルツシルト測地線は、重力場にほとんど寄与しないほど質量が小さい粒子の運動にのみ関係する。しかし、中心質量 が恒星の周りを回る惑星など、中心質量 より何倍も小さい場合、多くの天体物理学的シナリオで非常に正確である。また、シュワルツシルト質量 が 2 つの個々の質量との合計に等しく設定されている場合、シュワルツシルト測地線は任意の質量を持つ 2 つの物体の相対運動の良い近似でもある。これは、一般相対性理論で連星の運動を予測する際に重要である。 ${\textstyle m}$${\textstyle M}$${\textstyle M}$${\textstyle m_{1}}$${\textstyle m_{2}}$

シュヴァルツシルト計量は、その発見者カール・シュヴァルツシルトにちなんで名付けられました。彼は、1915 年に、アインシュタインの一般相対性理論の発表からわずか 1 か月後にこの解を発見しました。これは、自明な平坦空間解を除く、アインシュタイン場の方程式の最初の正確な解でした。

1931年、萩原裕介はシュワルツシルト計量における試験粒子の軌跡が楕円関数で表現できることを示す論文を発表しました。^[1]

1949年にサムイル・カプランは、シュワルツシルト計量において円軌道が安定するための最小半径があることを示した。^[2]

アインシュタイン場の方程式の厳密な解はシュワルツシルト計量であり、これは電荷を帯びず、回転せず、球対称な質量体の外部重力場に対応する。シュワルツシルト解は次のように表される^[3]。${\textstyle M}$

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2})}$

どこ

${\displaystyle \tau }$小さな正の質量を持つ試験粒子の場合、それは固有時間（粒子とともに動く時計によって測定される時間）の秒数である。

${\displaystyle c}$光の速度はメートル毎秒で表されます。

${\displaystyle t}$は、時間座標（無限遠の静止時計で測定された時間）（秒単位）であり、${\displaystyle r>r_{\text{s}}}$

${\displaystyle r}$は、半径座標（星を中心とする円の円周を で割ったもの）で、単位はメートルです。${\displaystyle r>r_{\text{s}}}$${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \theta }$緯度（北からの角度）をラジアンで表したもの。

${\displaystyle \varphi }$はラジアン単位の経度であり、

${\displaystyle r_{\text{s}}}$は、質量の大きい物体のシュワルツシルト半径（メートル）であり、その質量と次の式で 表されます。${\textstyle M}$

${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

ここで は重力定数です。比がゼロに近づくと、古典的なニュートンの重力理論が限界に回復します。その限界では、計量は特殊相対性理論で定義されたものに戻ります。${\textstyle G}$${\textstyle {\frac {r_{\text{s}}}{r}}}$

実際には、この比率はほとんどの場合非常に小さいです。たとえば、地球のシュバルツシルト半径は約 9 mm ( 3 ⁄ 8 インチ) ですが、地球の表面では、ニュートンの重力による補正は 10 億分の 1 にすぎません。太陽のシュバルツシルト半径ははるかに大きく、約 2953 メートルですが、その表面での比率は 100 万分の 4 です。白色矮星ははるかに密度が高いですが、それでも表面での比率は 100 万分の 250 です。この比率は、中性子星(比率は約 50%) やブラックホールなどの超高密度の物体に近づいたときにのみ大きくなります。 ${\textstyle r_{\text{s}}}$${\textstyle {\frac {r_{\text{s}}}{r}}}$

対称性を利用して1つの変数を考慮から除外することで、問題を単純化することができます。シュワルツシルト計量は について対称であるため、その平面内で動き始めた測地線は、その平面内にいつまでも留まります（平面は完全に測地線です）。したがって、粒子の軌道がその平面内にあるように座標系を向け、座標を に固定して、（この平面の）計量が次のように単純化されるようにします。 ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle \theta }$${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}-r^{2}d\varphi ^{2}.}$

運動定数（固有時間にわたって変化しない値）は2 つあります（下記の導出を参照）。1 つは全エネルギーです。 ${\displaystyle \tau }$${\textstyle E}$

${\displaystyle \left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.}$

もう一つは特定の角運動量です。

${\displaystyle h={\frac {L}{\mu }}=r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }},}$

ここで、は 2 つの物体の全角運動量、 は換算質量です。 のとき、換算質量は にほぼ等しくなります。 と仮定されることもあります。水星の場合、この簡略化により、相対論的効果の 2 倍を超える誤差が生じます。 測地線について議論する場合、 は架空のものと考えることができ、重要なのは定数 と です。考えられるすべての測地線をカバーするには、 が無限大 (光子の軌道を与える) または虚数(タキオン測地線の場合) の場合を考慮する必要があります。光子の場合、2 つの定数の比に対応する数、つまり も指定する必要があります。この数は、ゼロまたはゼロ以外の実数になります。 ${\textstyle L}$${\textstyle \mu }$${\textstyle M\gg m}$${\textstyle m}$${\textstyle m=\mu }$${\textstyle m}$${\textstyle {\frac {E}{m}}}$${\textstyle h}$${\textstyle {\frac {E}{m}}}$${\textstyle {\frac {mh}{E}}}$

これらの定数をシュワルツシルト計量の定義に代入すると

${\displaystyle c^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{2},}$

固有時間の関数として半径の運動方程式が得られます。 ${\textstyle \tau }$

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}\right).}$

これに対する正式な解決策は

${\displaystyle \tau =\int {\frac {dr}{\pm {\sqrt {{\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}\right)}}}}.}$

タキオン測地線の場合、平方根は虚数になることに注意してください。

との間の上の関係を使うと、次のように書くこともできる。 ${\textstyle {\frac {dt}{d\tau }}}$${\textstyle E}$

${\displaystyle t=\int {\frac {dr}{\pm c\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\sqrt {1-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}\right){\frac {m^{2}c^{2}}{E^{2}}}}}}}.}$

漸近的に被積分関数は に反比例するため、これは、の基準フレームにおいて がに近づく場合、に到達することなく指数関数的に に近づくことを示しています。ただし、 の関数として、は に到達します。 ${\textstyle r-r_{\text{s}}}$${\textstyle r,\theta ,\varphi ,t}$${\textstyle r}$${\textstyle r_{\text{s}}}$${\textstyle \tau }$${\textstyle r}$${\textstyle r_{\text{s}}}$

上記の解は、積分対象が有限である間は有効ですが、全体の解には、それぞれが積分によって記述され、平方根の符号が交互に変わる 2 つまたは無限の部分が関係する場合があります。

および のとき、および を明示的に解くことができます。 ${\textstyle E=mc^{2}}$${\textstyle h=0}$${\textstyle t}$${\textstyle \tau }$

${\displaystyle {\begin{aligned}t&={\text{constant}}\pm {\frac {r_{\text{s}}}{c}}\left({\frac {2}{3}}\left({\frac {r}{r_{\text{s}}}}\right)^{\frac {3}{2}}+2{\sqrt {\frac {r}{r_{\text{s}}}}}+\ln {\frac {\left|{\sqrt {\frac {r}{r_{\text{s}}}}}-1\right|}{{\sqrt {\frac {r}{r_{\text{s}}}}}+1}}\right)\\\tau &={\text{constant}}\pm {\frac {2}{3}}{\frac {r_{\text{s}}}{c}}\left({\frac {r}{r_{\text{s}}}}\right)^{\frac {3}{2}}\end{aligned}}}$

角運動量がゼロの光子測地線（ ）の 場合${\textstyle m=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t&={\text{constant}}\pm {\frac {1}{c}}\left(r+r_{\text{s}}\ln \left|{\frac {r}{r_{\text{s}}}}-1\right|\right)\\\tau &={\text{constant}}.\end{aligned}}}$

(光子の場合、固有時間は自明ですが、アフィンパラメータ を定義することができ、測地線方程式の解は になります。) ${\textstyle \lambda }$${\textstyle r=c_{1}\lambda +c_{2}}$

もう一つの解けるケースは、およびおよびが定数である場合である。これが適切な時間に対して与える 体積において、${\textstyle E=0}$${\textstyle t}$${\textstyle \varphi }$${\textstyle r<r_{\text{s}}}$

${\displaystyle \tau ={\text{constant}}\pm {\frac {r_{\text{s}}}{c}}\left(\arcsin {\sqrt {\frac {r}{r_{\text{s}}}}}-{\sqrt {{\frac {r}{r_{\text{s}}}}\left(1-{\frac {r}{r_{\text{s}}}}\right)}}\right).}$

これは、小さく正の解に近いです。解の外側はタキオンであり、「固有時間」は空間のようなものです。 ${\textstyle {\frac {E^{2}}{m^{2}}}}$${\textstyle r_{\text{s}}}$${\textstyle E=0}$

${\displaystyle \tau ={\text{constant}}\pm i{\frac {r_{\text{s}}}{c}}\left(\ln \left({\sqrt {\frac {r}{r_{\text{s}}}}}+{\sqrt {{\frac {r}{r_{\text{s}}}}-1}}\right)+{\sqrt {{\frac {r}{r_{\text{s}}}}\left({\frac {r}{r_{\text{s}}}}-1\right)}}\right).}$

これは、小さく負のその他のタキオン解に近い。外側の一定のタキオン測地線は、内側の一定の測地線に継続されず、「平行外部領域」に継続される（クラスカル・シェケレス座標を参照）。 その他のタキオン解は、ブラックホールに入り、平行外部領域に再び出ることがある。事象の地平線（ ）の内側の定数解は、ホワイトホールの定数解に継続される。 ${\textstyle {\frac {E^{2}}{m^{2}}}}$${\textstyle t}$${\textstyle r_{\text{s}}}$${\textstyle t}$${\textstyle r_{\text{s}}}$${\textstyle t}$${\textstyle r_{\text{s}}}$${\textstyle t}$

角運動量がゼロでない場合、次の定義を用いて固有時間への依存性を角度への依存性に置き換えることができる。${\textstyle \varphi }$${\textstyle h}$

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}\left({\frac {d\tau }{d\varphi }}\right)^{2}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}\left({\frac {r^{2}}{h}}\right)^{2},}$

軌道の方程式が得られる。

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right)}$

ここで、簡潔にするために、2つの長さスケールとが次のように定義されている。 ${\textstyle a}$${\textstyle b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {h}{c}},\\b&={\frac {cL}{E}}={\frac {hmc}{E}}.\end{aligned}}}$

タキオンの場合、 は虚数、実数または無限大に なることに注意してください。${\textstyle a}$${\textstyle b}$

同じ方程式はラグランジアンアプローチ^[4]またはハミルトン・ヤコビ方程式^[5] （下記参照）を用いても導出できる。軌道方程式の解は

${\displaystyle \varphi =\int {\frac {dr}{\pm r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)}}}}.}$

これはワイエルシュトラスの楕円 関数で表現できる。^[6]${\textstyle \wp }$

古典力学とは異なり、シュワルツシルト座標では、およびは（静止した観測者に対する）局所速度の半径方向および横方向の成分ではなく、代わりに、速度の成分を与え、これは次のよう に関連付けられます。${\textstyle {\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}\tau }}}$${\textstyle r\ {\frac {{\rm {d}}\varphi }{{\rm {d}}\tau }}}$${\textstyle v_{\parallel }}$${\textstyle v_{\perp }}$ ${\textstyle v}$${\textstyle v}$

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}\tau }}=v_{\parallel }{\sqrt {1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}\ \gamma }$

ラジアルと

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}\varphi }{{\rm {d}}\tau }}={\frac {v_{\perp }}{r}}\ \gamma }$

は運動の横方向成分であり、 である。現場から遠く離れた座標記録係は、シャピロ遅延速度 を観測する。これは、次の関係式で与えられる。 ${\textstyle v^{2}=v_{\parallel }^{2}+v_{\perp }^{2}}$${\textstyle {\hat {v}}}$

${\displaystyle {\hat {v}}_{\perp }=v_{\perp }{\sqrt {1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}}$そして。${\displaystyle {\hat {v}}_{\parallel }=v_{\parallel }\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)}$

ブックキーパーと移動する試験粒子の間の時間遅れ係数は、次の式で表される。

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}\tau }{{\rm {d}}t}}={\frac {\sqrt {1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}{\gamma }}}$

ここで、分子は重力、分母は時間の遅れの運動学的要素です。無限遠から落下する粒子の場合、左の係数は右の係数と等しくなります。これは、この場合、 落下速度が脱出速度と一致するためです。${\textstyle v}$${\textstyle c{\sqrt {\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}$

質量を持つ試験粒子の2つの定数、角運動量と全エネルギーは、${\textstyle L}$${\textstyle E}$${\textstyle m}$${\textstyle v}$

${\displaystyle L=m\ v_{\perp }\ r\ \gamma }$

そして

${\displaystyle E=mc^{2}\ {\sqrt {1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}\ \gamma }$

どこ

${\displaystyle E=E_{\rm {rest}}+E_{\rm {kin}}+E_{\rm {pot}}}$

そして

${\displaystyle E_{\rm {rest}}=mc^{2}\ ,\ \ E_{\rm {kin}}=(\gamma -1)mc^{2}\ ,\ \ E_{\rm {pot}}=\left({\sqrt {1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}-1\right)\ \gamma \ mc^{2}}$

質量のある試験粒子の場合、はローレンツ因子、は固有時間です。一方、光子のような質量のない粒子の場合、はに設定され、はアフィンパラメータの役割を果たします。粒子が質量のない場合には、は に、は に置き換えられます。ここで、はプランク定数、は局所的に観測される周波数 です。${\textstyle \gamma }$ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$${\textstyle \tau }$${\textstyle \gamma }$${\textstyle 1}$${\textstyle \tau }$${\textstyle E_{\rm {rest}}}$${\textstyle E_{\rm {kin}}}$${\textstyle mc^{2}}$${\textstyle hf}$${\textstyle h}$${\textstyle f}$

軌道の基本方程式は、逆半径で表すと解くのが簡単になります^[注1]。${\textstyle u={\frac {1}{r}}}$

${\displaystyle \left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-ur_{\text{s}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+u^{2}\right)}$

この式の右辺は3次多項式であり、3つの根を持ち、ここでは、、、およびと表記される。${\textstyle u_{1}}$${\textstyle u_{2}}$${\textstyle u_{3}}$

${\displaystyle \left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}=r_{\text{s}}\left(u-u_{1}\right)\left(u-u_{2}\right)\left(u-u_{3}\right)}$

3つの根の合計は項 の係数に等しい。${\textstyle u^{2}}$

${\displaystyle u_{1}+u_{2}+u_{3}={\frac {1}{r_{\text{s}}}}}$

実係数の 3 次多項式は、3 つの実根、または 1 つの実根と 2 つの複素共役根を持つことができます。3 つの根がすべて実数の場合、根には というラベルが付けられます。実根が 1 つしかない場合は、 と表記され、複素共役根にはとというラベルが付けられます。デカルトの符号規則 を使用すると、負の根は最大で 1 つしか存在できません。が負になるのは、 の場合のみです。以下で説明するように、根は可能な軌道の種類を決定するのに役立ちます。 ${\textstyle u_{1}<u_{2}<u_{3}}$${\textstyle u_{3}}$${\textstyle u_{1}}$${\textstyle u_{2}}$${\textstyle u_{1}}$${\textstyle b<a}$

この根のラベル付けにより、基本軌道方程式の解は

${\displaystyle u=u_{1}+\left(u_{2}-u_{1}\right)\,\mathrm {sn} ^{2}\left({\frac {1}{2}}\varphi {\sqrt {r_{\text{s}}\left(u_{3}-u_{1}\right)}}+\delta \right)}$

ここで、は正弦振幅関数（ヤコビの楕円関数の1つ）を表し、は初期位置を反映する積分定数です。この楕円関数の楕円係数は、次の式で与えられます。 ${\textstyle \mathrm {sn} }$${\textstyle \delta }$ ${\textstyle k}$

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {u_{2}-u_{1}}{u_{3}-u_{1}}}}}$

惑星軌道のニュートン力学解を回復するには、シュワルツシルト半径がゼロに近づく極限を取る。この場合、3乗根はおよそ となり、 や よりもはるかに大きくなる。したがって、係数はゼロに近づく。その極限では、は三角関数の正弦関数になる。${\textstyle r_{\text{s}}}$${\textstyle u_{3}}$${\textstyle {\frac {1}{r_{\text{s}}}}}$${\textstyle u_{1}}$${\textstyle u_{2}}$${\textstyle k}$${\textstyle \mathrm {sn} }$

${\displaystyle u=u_{1}+\left(u_{2}-u_{1}\right)\,\sin ^{2}\left({\frac {1}{2}}\varphi +\delta \right)}$

ニュートンの惑星運動の解と一致して、この式は離心率の焦点円錐を記述する。${\textstyle e}$

${\displaystyle e={\frac {u_{2}-u_{1}}{u_{2}+u_{1}}}}$

が正の実数の場合、軌道は楕円で、 と はそれぞれ最遠距離と最接近距離を表します。がゼロまたは負の実数の場合、軌道はそれぞれ放物線または双曲線になります。 後者の 2 つのケースでは、 は最接近距離を表します。軌道は無限大 ( ) に向かうため、最遠距離はありません。 ${\textstyle u_{1}}$${\textstyle u_{1}}$${\textstyle u_{2}}$${\textstyle u_{1}}$${\textstyle u_{2}}$${\textstyle u=0}$

根は、導関数がゼロになる軌道上の点、すなわち を表します。このような転換点では、2次導関数の値に応じて、最大、最小、または変曲点に達します。2次導関数の値は次の式で与えられます。 ${\textstyle {\frac {du}{d\phi }}=0}$${\textstyle u}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}={\frac {r_{\text{s}}}{2}}\left[\left(u-u_{2}\right)\left(u-u_{3}\right)+\left(u-u_{1}\right)\left(u-u_{3}\right)+\left(u-u_{1}\right)\left(u-u_{2}\right)\right]}$

3 つの根がすべて異なる実数である場合、2 次導関数は それぞれu ₁、u ₂、u ₃で正、負、正になります。したがって、u対 φ のグラフは、 u ₁とu ₂の間で振動するか、 u ₃から無限大に向かって移動する( r がゼロになることに対応) 可能性があります。u ₁が負の場合、「振動」の一部のみが実際に発生します。これは、古典的なソリューションの双曲軌道のように、粒子が無限大から来て中心質量に近づき、次に再び無限大に向かって移動することに対応します。

粒子が角運動量に対してちょうど適切な量のエネルギーを持っている場合、u ₂とu _{3 は}融合します。この場合、3 つの解があります。軌道は に螺旋状に近づき、その半径に (漸近的に) φ、 、またはの減少指数関数として近づきます。または、その半径で円軌道を持つことができます。または、その半径から中心点に向かって螺旋状に下がる軌道を持つことができます。問題の半径は内半径と呼ばれ、から 3 倍のr _sの間です。 がに等しい場合にも円軌道になり、これは外半径と呼ばれます。これらの異なるタイプの軌道については以下で説明します。 ${\textstyle r={\frac {1}{u_{2}}}={\frac {1}{u_{3}}}}$${\textstyle \tau }$${\textstyle t}$${\textstyle {\frac {3}{2}}}$${\textstyle u_{2}}$${\textstyle u_{1}}$

粒子が十分なエネルギーと十分に低い角運動量で中心質量に近づくと、 のみが実数になります。これは、粒子がブラックホールに落ち込むことに相当します。軌道は、φ の有限の変化で螺旋状に回転します。 ${\textstyle u_{1}}$

関数 sn とその二乗 sn ²の周期はそれぞれ 4 Kと 2 Kであり、K は次式で定義される^{[注 2]}

${\displaystyle K=\int _{0}^{1}{\frac {dy}{\sqrt {\left(1-y^{2}\right)\left(1-k^{2}y^{2}\right)}}}}$

したがって、 の1回の振動（または、同等に の1回の振動）における φ の変化は、^{[7]に等しい。}${\textstyle u}$${\textstyle r}$

${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {4K}{\sqrt {r_{\text{s}}\left(u_{3}-u_{1}\right)}}}}$

古典的極限では、u _{3 は}に近づき、 または よりはるかに大きくなります。したがって、は近似的に ${\textstyle {\frac {1}{r_{\text{s}}}}}$${\textstyle u_{1}}$${\textstyle u_{2}}$${\textstyle k^{2}}$

${\displaystyle k^{2}={\frac {u_{2}-u_{1}}{u_{3}-u_{1}}}\approx r_{\text{s}}\left(u_{2}-u_{1}\right)\ll 1}$

同様の理由から、Δφの分母はおよそ

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r_{\text{s}}\left(u_{3}-u_{1}\right)}}}={\frac {1}{\sqrt {1-r_{\text{s}}\left(2u_{1}+u_{2}\right)}}}\approx 1+{\frac {1}{2}}r_{\text{s}}\left(2u_{1}+u_{2}\right)}$

係数はゼロに近いので、周期Kはのべき乗で展開できる。最低次まで展開すると、この展開は次のようになる。 ${\textstyle k}$${\textstyle k}$

${\displaystyle K\approx \int _{0}^{1}{\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}\left(1+{\frac {1}{2}}k^{2}y^{2}\right)={\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {k^{2}}{4}}\right)}$

これらの近似値をΔφの式に代入すると、半径方向の振動あたりの角度の進みの式が得られる。

${\displaystyle \delta \varphi =\Delta \varphi -2\pi \approx {\frac {3}{2}}\pi r_{\text{s}}\left(u_{1}+u_{2}\right)}$

楕円軌道の場合、と はそれぞれ最長距離と最短距離の逆数を表します。これらは楕円の長半径と軌道離心率で表すことができます。 ${\textstyle u_{1}}$${\textstyle u_{2}}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle e}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{max}}&={\frac {1}{u_{1}}}=A(1+e)\\r_{\text{min}}&={\frac {1}{u_{2}}}=A(1-e)\end{aligned}}}$

与える

${\displaystyle u_{1}+u_{2}={\frac {2}{A\left(1-e^{2}\right)}}}$

の定義を代入すると、最終方程式が得られる。 ${\textstyle r_{\text{s}}}$

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$

粒子の質量mがゼロに近づく極限では（あるいは、光が中心質量に直接向かう場合、長さスケールaが無限大に近づくと）、軌道の方程式は次のようになる。

${\displaystyle \varphi =\int {\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {1}{r^{2}}}}}}}}$

この式を のべき乗で展開すると、この式の主要項は、質量のない粒子が無限遠から入ってきて無限遠に戻るときの おおよその角度偏向 δ φ を与えます。${\textstyle {\frac {r_{\text{s}}}{r}}}$

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {2r_{\text{s}}}{b}}={\frac {4GM}{c^{2}b}}.}$

ここで、影響パラメータは、最接近距離よりもいくらか大きい：^[8]${\textstyle b}$${\textstyle r_{3}}$

${\displaystyle b=r_{3}{\sqrt {\frac {r_{3}}{r_{3}-r_{\text{s}}}}}}$

この式は近似値ではあるが、比率が小さいため、重力レンズ効果のほとんどの測定では正確である。太陽の表面をかすめる光の場合、おおよその角度偏向はおよそ 1.75 秒角で、これは円のおよそ 100 万分の 1 にあたる。 ${\textstyle {\frac {r_{\text{s}}}{r}}}$

より一般的には、放射座標にある光源から放射される光子の測地線は、次の式を適用して次のように計算できる。 ${\displaystyle r={1 \over u}\in [r_{s},\infty [}$

${\displaystyle {\left({du \over d\varphi }\right)^{2}}=r_{s}\ u^{3}-u^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}}$

この式は次のように導かれる。

${\displaystyle 2\ {\frac {du}{d\varphi }}{\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}=3\ r_{s}u^{2}{\frac {du}{d\varphi }}-2\ u{\frac {du}{d\varphi }}}$

それは

${\displaystyle {d^{2}u \over d\varphi ^{2}}={\frac {3}{2}}\ r_{s}\ u^{2}-\ u}$

この2次導関数を持つ方程式は、ステップサイズを考慮して、4次ルンゲ・クッタ法によって次のように数値積分できます。 ${\displaystyle \Delta \varphi }$

${\displaystyle k_{1}={d^{2}u \over d\varphi ^{2}}(u)}$、

${\displaystyle k_{2}={d^{2}u \over d\varphi ^{2}}{\bigl (}u+{\frac {\Delta \varphi }{2}}{du \over d\varphi }{\bigr )}}$、

${\displaystyle k_{3}={d^{2}u \over d\varphi ^{2}}{\Bigl (}u+{\frac {\Delta \varphi }{2}}{du \over d\varphi }+{\frac {\Delta \varphi ^{2}}{4}}k_{1}{\Bigr )}}$そして

${\displaystyle k_{4}={d^{2}u \over d\varphi ^{2}}{\Bigl (}u+\Delta \varphi {du \over d\varphi }+{\frac {\Delta \varphi ^{2}}{2}}k_{2}{\Bigr )}}$。

次のステップでの値は ${\displaystyle {du \over d\varphi }(\varphi +\Delta \varphi )}$

${\displaystyle {du \over d\varphi }(\varphi )+{\frac {\Delta \varphi }{6}}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})}$

そして次のステップでの値は ${\displaystyle u(\varphi +\Delta \varphi )}$

${\displaystyle u(\varphi )+\Delta \varphi {du \over d\varphi }(\varphi )+{\frac {\Delta \varphi ^{2}}{6}}(k_{1}+k_{2}+k_{3})}$

必要な精度に応じて、ステップは一定または適応的に選択できます。 ${\displaystyle \Delta \varphi }$${\displaystyle r={1 \over u}}$

上記で導出された粒子の運動方程式

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-c^{2}+{\frac {r_{\text{s}}c^{2}}{r}}-{\frac {L^{2}}{m\mu r^{2}}}+{\frac {r_{\text{s}}L^{2}}{m\mu r^{3}}}}$

シュワルツシルト半径 r _sの定義を用いて書き直すと、

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}=\left[{\frac {E^{2}}{2mc^{2}}}-{\frac {1}{2}}mc^{2}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}},}$

これは1次元の有効ポテンシャル内を移動する粒子に相当する。

${\displaystyle V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}}}$

最初の 2 つの項はよく知られた古典的なエネルギーで、最初の項はニュートンの引力による重力ポテンシャル エネルギー、2 番目の項は反発力による「遠心」ポテンシャル エネルギーに対応します。ただし、3 番目の項は一般相対性理論に固有の引力エネルギーです。以下および他の箇所で示されているように、この逆 3 次エネルギーにより、楕円軌道は 1 回転あたり角度 δφ ずつ徐々に歳差運動します。

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$

ここで、は長半径、は離心率です。 ${\textstyle A}$${\textstyle e}$

3 番目の項は引力であり、値が小さい場合に支配的となり、粒子が容赦なく内側に引き込まれる臨界内半径r _{inner を}与えます。この内半径は、粒子の単位質量あたりの角運動量の関数、または同等に、上で定義した長さスケールの関数です。 ${\textstyle r}$${\textstyle r=0}$${\textstyle a}$

有効ポテンシャルは長さに関して書き直すことができます。 ${\textstyle V}$${\textstyle a={\frac {h}{c}}}$

${\displaystyle V(r)={\frac {\mu c^{2}}{2}}\left[-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {r_{\text{s}}a^{2}}{r^{3}}}\right]}$

有効力がゼロのとき、円軌道が可能である。

${\displaystyle F=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {\mu c^{2}}{2r^{4}}}\left[r_{\text{s}}r^{2}-2a^{2}r+3r_{\text{s}}a^{2}\right]=0}$

つまり、ニュートンの重力（第1項）と一般相対性理論に特有の引力（第3項）の2つの引力が、反発する遠心力（第2項）によって正確に釣り合っているときです。この釣り合いが取れる半径は2つあり、ここではr _innerとr _{outerで表されます。}

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{outer}}&={\frac {a^{2}}{r_{\text{s}}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3r_{\text{s}}^{2}}{a^{2}}}}}\right)\\[3pt]r_{\text{inner}}&={\frac {a^{2}}{r_{\text{s}}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_{\text{s}}^{2}}{a^{2}}}}}\right)={\frac {3a^{2}}{r_{\text{outer}}}}\end{aligned}}}$

これらは二次方程式の公式を使って得られます。内側の半径r _{inner は不安定です。r}が小さくなると、3 番目の引力が他の 2 つの力よりもはるかに速く強くなるためです。粒子がr _inner (3 つの力がすべてバランスしている) からわずかに内側にずれると、3 番目の力が他の 2 つの力を支配し、粒子をr = 0 まで容赦なく内側に引き寄せます。ただし、外側の半径では円軌道は安定しています。3 番目の項はそれほど重要ではなく、システムは非相対論的ケプラー問題のように動作します。

が（古典的な場合） よりはるかに大きい場合、これらの式は近似的に${\textstyle a}$${\textstyle r_{\text{s}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{outer}}&\approx {\frac {2a^{2}}{r_{\text{s}}}}\\[3pt]r_{\text{inner}}&\approx {\frac {3}{2}}r_{\text{s}}\end{aligned}}}$

およびr _sの定義をr _outerに代入すると、質量 の物体を周回する質量 の粒子に関する古典的な公式が得られます。 ${\textstyle a}$${\textstyle m}$${\textstyle M}$

${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }^{3}={\frac {G(M+m)}{\omega _{\varphi }^{2}}}}$

ここで、ω _{φ は}粒子の軌道角速度です。この式は、非相対論的力学では遠心力をニュートンの重力と等しく設定することで得られます。

${\displaystyle {\frac {GMm}{r^{2}}}=\mu \omega _{\varphi }^{2}r}$

縮小質量はどこにありますか。 ${\textstyle \mu }$

我々の記法では、古典的な軌道角速度は

${\displaystyle \omega _{\varphi }^{2}\approx {\frac {GM}{r_{\mathrm {outer} }^{3}}}=\left({\frac {r_{\text{s}}c^{2}}{2r_{\mathrm {outer} }^{3}}}\right)=\left({\frac {r_{\text{s}}c^{2}}{2}}\right)\left({\frac {r_{\text{s}}^{3}}{8a^{6}}}\right)={\frac {c^{2}r_{\text{s}}^{4}}{16a^{6}}}}$

反対に、a ^2が上から3 r _s ²に近づくと、2つの半径は1つの値に収束します。

${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }\approx r_{\mathrm {inner} }\approx 3r_{\text{s}}}$

上記の二次解は、r _{outerが常に 3} r _sより大きく、r _{inner が}3 ⁄ 2 r _sと 3 r _sの間になることを保証します。 3 ⁄ 2 r _sより小さい円軌道はあり得ません。 質量のない粒子の場合、a は無限大になるため、 r _inner = 3 ⁄ 2 r _sに光子の円軌道があることになります。 この半径の球は、光子球と呼ばれることもあります。    

軌道歳差運動率は、この半径有効ポテンシャルVを使って導出できる。半径r_外側の円軌道からの小さな半径偏差は、角周波数で安定して振動する。

${\displaystyle \omega _{r}^{2}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{2}V}{dr^{2}}}\right]_{r=r_{\mathrm {outer} }}}$

これは

${\displaystyle \omega _{r}^{2}=\left({\frac {c^{2}r_{\text{s}}}{2r_{\mathrm {outer} }^{4}}}\right)\left(r_{\mathrm {outer} }-r_{\mathrm {inner} }\right)=\omega _{\varphi }^{2}{\sqrt {1-{\frac {3r_{\text{s}}^{2}}{a^{2}}}}}}$

両辺の平方根をとってテイラー級数展開 すると、

${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{\varphi }\left[1-{\frac {3r_{\text{s}}^{2}}{4a^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {r_{\text{s}}^{4}}{a^{4}}}\right)\right]}$

1回転の周期Tを掛けると、1回転あたりの軌道の歳差運動が得られる。

${\displaystyle \delta \varphi =T\left(\omega _{\varphi }-\omega _{r}\right)\approx 2\pi \left({\frac {3r_{\text{s}}^{2}}{4a^{2}}}\right)={\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}r_{\text{s}}^{2}}$

ここで、 ω _φ T = 2 пと長さスケールの定義aを使用しています。シュワルツシルト半径 r _sの定義を代入すると、次のようになります。

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}\left({\frac {4G^{2}M^{2}}{c^{4}}}\right)={\frac {6\pi G^{2}M^{2}m^{2}}{c^{2}L^{2}}}}$

これは、楕円軌道の半軸Aと離心率eを使って簡略化することができ、次の式で関連付けられます。

${\displaystyle {\frac {h^{2}}{G(M+m)}}=A\left(1-e^{2}\right)}$

歳差角を与える

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$

シュヴァルツシルト計量の非ゼロのクリストッフェル記号は以下の通りである: ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{rt}^{t}=-\Gamma _{rr}^{r}&={\frac {r_{\text{s}}}{2r(r-r_{\text{s}})}}\\[3pt]\Gamma _{tt}^{r}&={\frac {r_{\text{s}}(r-r_{\text{s}})}{2r^{3}}}\\[3pt]\Gamma _{\phi \phi }^{r}&=(r_{\text{s}}-r)\sin ^{2}(\theta )\\[3pt]\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=r_{\text{s}}-r\\[3pt]\Gamma _{r\theta }^{\theta }=\Gamma _{r\phi }^{\phi }&={\frac {1}{r}}\\[3pt]\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }&=-\sin(\theta )\cos(\theta )\\[3pt]\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }&=\cot(\theta )\end{aligned}}}$

アインシュタインの一般相対性理論によれば、無視できる質量の粒子は時空内の測地線に沿って移動する。重力源から遠く離れた平坦な時空では、これらの測地線は直線に対応するが、時空が曲がっている場合は直線から外れる可能性がある。測地線の方程式は^{[10]である。}

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dq^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}=0}$

ここで、Γ はクリストッフェル記号を表し、変数 は粒子の時空を通る経路、いわゆる世界線をパラメータ化します。クリストッフェル記号は計量テンソルのみ、またはそれが位置によってどのように変化するかに依存します。変数 は、時間的軌道（質量のある粒子が通過する）の固有時間の定数倍であり、通常はそれに等しいとみなされます。光のような（またはヌルの）軌道（光子などの質量のない粒子が通過する）の場合、固有時間はゼロであり、厳密に言えば、変数 として使用することはできません。ただし、光のような軌道は、時間的軌道の超相対論的極限、つまり、粒子の質量m がその全エネルギーを固定したままゼロに近づく極限として導くことができます。 ${\textstyle q}$ ${\textstyle g_{\mu \nu }}$${\textstyle q}$ ${\textstyle \tau }$${\textstyle q}$

したがって、粒子の運動を解く最も簡単な方法は測地線方程式を解くことであり、これはアインシュタイン^{[11]ら[ 12} ]が採用したアプローチである。 シュワルツシルト計量は次のように表される。

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=w(r)c^{2}dt^{2}-v(r)dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,}$

ここで、2つの関数とその逆数は簡潔に定義されています。このメトリックから、クリストッフェル記号を計算し、その結果を測地線方程式に代入することができます。 ${\textstyle w(r)=1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}$${\textstyle v(r)={\frac {1}{w(r)}}}$${\textstyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {d^{2}\theta }{dq^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d\theta }{dq}}{\frac {dr}{dq}}-\sin \theta \cos \theta \left({\frac {d\phi }{dq}}\right)^{2}\\[3pt]0&={\frac {d^{2}\phi }{dq^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d\phi }{dq}}{\frac {dr}{dq}}+2\cot \theta {\frac {d\phi }{dq}}{\frac {d\theta }{dq}}\\[3pt]0&={\frac {d^{2}t}{dq^{2}}}+{\frac {1}{w}}{\frac {dw}{dr}}{\frac {dt}{dq}}{\frac {dr}{dq}}\\[3pt]0&={\frac {d^{2}r}{dq^{2}}}-{\frac {1}{v}}{\frac {dv}{dr}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-{\frac {r}{v}}\left({\frac {d\theta }{dq}}\right)^{2}-{\frac {r\sin ^{2}\theta }{v}}\left({\frac {d\phi }{dq}}\right)^{2}+{\frac {c^{2}}{2v}}{\frac {dw}{dr}}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}\end{aligned}}}$

が有効な解であることは、これら 4 つの方程式の最初の方程式に代入することで確認できます。対称性により、軌道は平面でなければならず、赤道面が軌道面になるように座標フレームを自由に配置できます。この解により、2 番目と 4 番目の方程式が簡略化されます。 ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle \theta }$

2 番目と 3 番目の方程式を解くには、それぞれ とで割るだけで十分です。 ${\textstyle {\frac {d\phi }{dq}}}$${\textstyle {\frac {dt}{dq}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {d}{dq}}\left[\ln {\frac {d\phi }{dq}}+\ln r^{2}\right]\\[3pt]0&={\frac {d}{dq}}\left[\ln {\frac {dt}{dq}}+\ln w\right],\end{aligned}}}$

これにより、2 つの運動定数が生成されます。

テスト粒子は固定された距離で測地線に沿って進むため、それらの粒子の軌道は変分法、別名ラグランジュアプローチを使用して決定することができます。^[13]時空 における測地線は、（端点のイベントを固定したまま）座標の小さな局所的変化によって全体の長さsに大きな変化が生じない曲線として定義されます。これは変分法を使用して数学的に表現できます。

${\displaystyle 0=\delta s=\delta \int ds=\delta \int {\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}}}d\tau =\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau }$

ここでτは固有時間、s = cτは時空における弧の長さ、Tは次のように定義される。

${\displaystyle 2T=c^{2}=\left({\frac {ds}{d\tau }}\right)^{2}=g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{2}}$

運動エネルギーと同様に、固有時間に関する微分は簡潔にドットで表すと

${\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}$

Tは次のように記述される。

${\displaystyle 2T=c^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}\left({\dot {t}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}\left({\dot {r}}\right)^{2}-r^{2}\left({\dot {\varphi }}\right)^{2}}$

定数因子（ cや2の平方根など）は変分問題の答えに影響を与えません。したがって、積分内の変分を取るとハミルトンの原理が得られます。

${\displaystyle 0=\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau =\int {\frac {\delta T}{\sqrt {2T}}}d\tau ={\frac {1}{c}}\delta \int Td\tau .}$

変分問題の解はラグランジュ方程式で与えられる。

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}^{\sigma }}}\right)={\frac {\partial T}{\partial x^{\sigma }}}.}$

これらの式をtとφに適用すると、2つの運動定数が明らかになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\tau }}\left[r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]&=0,\\{\frac {d}{d\tau }}\left[\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]&=0,\end{aligned}}}$

これは2つの一定の長さスケールで表現でき、${\textstyle a}$${\textstyle b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}&=ac,\\\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}&={\frac {a}{b}}.\end{aligned}}}$

上に示したように、これらの方程式をシュワルツシルト計量の定義に代入すると、軌道の方程式が得られます。

ラグランジアン解は、同等のハミルトニアン形式に書き直すことができる。^[14] この場合、ハミルトニアンは次のように与えられる。 ${\displaystyle H}$

${\displaystyle 2H=c^{2}={\frac {p_{t}^{2}}{c^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)p_{r}^{2}-{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}-{\frac {p_{\varphi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

もう一度、軌道は対称性によって制限される。と はハミルトニアンに現れないので、それらの共役運動量は一定である。それらは光速と2つの一定の長さスケールで表現され、${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle t}$${\textstyle \varphi }$${\textstyle c}$${\textstyle a}$${\textstyle b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{\varphi }&=-ac\\p_{\theta }&=0\\p_{t}&={\frac {ac^{2}}{b}}\end{aligned}}}$

固有時間に関する導関数は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dr}{d\tau }}&={\frac {\partial H}{\partial p_{r}}}=-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)p_{r}\\{\frac {d\varphi }{d\tau }}&={\frac {\partial H}{\partial p_{\varphi }}}={\frac {-p_{\varphi }}{r^{2}}}={\frac {ac}{r^{2}}}\\{\frac {dt}{d\tau }}&={\frac {\partial H}{\partial p_{t}}}={\frac {p_{t}}{c^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)}}={\frac {a}{b\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)}}\end{aligned}}}$

最初の方程式を2番目の方程式で割ると軌道方程式が得られる。

${\displaystyle {\frac {dr}{d\varphi }}=-{\frac {r^{2}}{ac}}\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)p_{r}}$

動径運動量p _rはハミルトニアンの不変性を用いてrで表すことができ、これにより基本軌道方程式が得られる。 ${\textstyle H={\frac {c^{2}}{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right)}$

軌道方程式はハミルトン・ヤコビ方程式から導くことができる。^[15] このアプローチの利点は、粒子の運動を波の伝播と同等とみなし、フェルマーの原理を通じて一般相対性理論における重力による光の偏向をうまく導けることである。基本的な考え方は、重力による時間の遅れにより、波面のうち重力質量に近い部分は遠い部分よりもゆっくりと動き、そのため波面の伝播方向が曲がるというものである。

一般共変性を用いると、単位質量の単一粒子に対する ハミルトン・ヤコビ方程式は任意の座標で次のように表すことができる。

${\displaystyle g^{\mu \nu }{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\nu }}}=c^{2}.}$

これは、作用の偏微分が一般化運動量の代わりとなる、上記のハミルトニアン定式化と同等である。シュワルツシルト計量 g ^μνを用いると、この式は次のようになる。

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)}}\left({\frac {\partial S}{\partial t}}\right)^{2}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial S}{\partial \varphi }}\right)^{2}=c^{2}}$

ここで再び球面座標系を軌道面と合わせる。時間tと方位角φは巡回座標なので、ハミルトンの主関数Sの解は次のように書ける。

${\displaystyle S=-p_{t}t+p_{\varphi }\varphi +S_{r}(r)\,}$

ここで、およびは定数の一般化運動量である。ハミルトン・ヤコビ方程式は、動径部分の積分解を与える。${\displaystyle p_{t}}$${\displaystyle p_{\varphi }}$${\displaystyle S_{r}(r)}$

${\displaystyle S_{r}(r)=\int ^{r}{\frac {dr}{1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}{\sqrt {{\frac {p_{t}^{2}}{c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{r^{2}}}\right)}}.}$

ハミルトンの主関数Sを保存運動量pφに関して微分すると、次の式が得られる _。

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial p_{\varphi }}}=\varphi +{\frac {\partial S_{r}}{\partial p_{\varphi }}}=\mathrm {constant} }$

これは

${\displaystyle \varphi -\int ^{r}{\frac {p_{\varphi }dr}{r^{2}{\sqrt {{\frac {p_{t}^{2}}{c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{r^{2}}}\right)}}}}=\mathrm {constant} }$

φとrを微小に変化させると、基本軌道方程式が得られる。

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right).}$

ここで保存される長さスケールaとbは保存される運動量によって次の式で定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial S}{\partial \varphi }}=p_{\varphi }&=-ac\\{\frac {\partial S}{\partial t}}=p_{t}&={\frac {ac^{2}}{b}}\end{aligned}}}$

重力のみの影響を受ける粒子の 作用積分は

${\displaystyle S=\int {-mc^{2}d\tau }=-mc\int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=-mc\int {{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}}}dq}}$

ここで は固有時間、は粒子の世界線の滑らかなパラメータ化である。これに変分法を適用すると、測地線の方程式が得られる。計算を簡略化するために、まず被積分関数の二乗の変分を取る。この場合の計量と座標では、粒子が赤道面を動いていると仮定すると、その二乗は ${\textstyle \tau }$${\textstyle q}$${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{2}\,.}$

これを変形すると

${\displaystyle \delta \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=\delta \left[\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{2}\right]\,.}$

経度のみを変えて ${\textstyle \varphi }$

${\displaystyle 2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-2r^{2}{\frac {d\varphi }{dq}}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}\,.}$

被積分関数自体の変化を得るため に割る${\textstyle 2c{\frac {d\tau }{dq}}}$

${\displaystyle c\,\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}\,.}$

したがって

${\displaystyle 0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\delta {\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}dq}\,.}$

部分積分すると

${\displaystyle 0=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta \varphi -\int {{\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]\delta \varphi dq}\,.}$

経度の変化は端点でゼロであると仮定されるため、最初の項は消えます。積分は、他の要素がどこでもゼロでない限り、 を逆に選択することでゼロ以外の値にすることができます。したがって、運動方程式は次のようになります 。${\textstyle \delta \varphi }$

${\displaystyle {\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0\,.}$

時間に応じて変化し、 ${\textstyle t}$

${\displaystyle 2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=2\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}{\frac {dt}{dq}}\delta {\frac {dt}{dq}}\,.}$

被積分関数自体の変化を得るため に割る${\textstyle 2c{\frac {d\tau }{dq}}}$

${\displaystyle c\delta {\frac {d\tau }{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta {\frac {dt}{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}\,.}$

したがって

${\displaystyle 0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}dq}\,.}$

部分積分すると

${\displaystyle 0=c\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta t-\int {{\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]\delta tdq}\,.}$

運動方程式は

${\displaystyle {\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]=0\,.}$

これらの運動方程式を積分して積分定数を決定すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}L=p_{\phi }&=mr^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\,,\\E=-p_{t}&=mc^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\,.\end{aligned}}}$

運動定数(角運動量) と(エネルギー) に関するこれら 2 つの方程式を組み合わせると、測地線に沿った固有時間がゼロである光子やその他の質量のない粒子に対しても当てはまる 1 つの方程式を作成できます。 ${\textstyle L}$${\textstyle E}$

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right){\frac {L\,c^{2}}{E\,r^{2}}}\,.}$

代用

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m\,r^{2}}}\,}$

そして

${\displaystyle {\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)m\,c^{2}}}\,}$

を計量方程式に代入すると（ を使用）、 ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle c^{2}={\frac {1}{1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}\,{\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}\,{\frac {L^{2}}{m^{2}}}\,,}$

そこから導き出される

${\displaystyle {\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)}^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\right)\,,}$

これは の運動方程式である。の への依存性は、これを で割ることで求められる。 ${\textstyle r}$${\textstyle r}$${\textstyle \varphi }$

${\displaystyle {\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)}^{2}={\frac {L^{2}}{m^{2}r^{4}}}}$

取得するため

${\displaystyle {\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)}^{2}={\frac {E^{2}r^{4}}{L^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left({\frac {m^{2}c^{2}r^{4}}{L^{2}}}+r^{2}\right)\,}$

これは質量のない粒子にも当てはまります。長さのスケールが次のように定義される場合、

${\displaystyle a={\frac {L}{m\,c}}}$

そして

${\displaystyle b={\frac {L\,c}{E}}\,,}$

の依存性は次のように単純化される。 ${\textstyle r}$${\textstyle \varphi }$

${\displaystyle {\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)}^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right)\,.}$

• 古典的な中心力問題
• 一般相対論におけるフレーム場
• ケプラー問題
• 一般相対性理論における二体問題

• シュワルツシルト、K. (1916)。アインシュタインの重力の理論。Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1、189–196。
  • 原稿のスキャン
  • ウィキソースの原論文本文
  • 翻訳：アントーシとロインガー
  • 論文に対する解説、より簡単な導出を示す
• シュワルツシルト、K. (1916)。重力があれば、圧縮可能なクーゲルが重力を帯びます。Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1、424-​​?。
• フラム、L (1916)。 「アインシュタインの重力理論」。物理的ツァイツシュリフト。17 : 448 –?
• アドラー、R; バザン M; シファー M (1965)。一般相対性理論入門。ニューヨーク：マグロウヒルブックカンパニー。pp. 177–193。ISBN 978-0-07-000420-7。
• アインシュタイン、A.（1956年）。相対性理論の意味（第5版）。プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版局。pp.92-97。ISBN 978-0-691-02352-6。
• 萩原 勇(1931). 「シュヴァルツシルト重力場における相対論的軌道の理論」.天文学地球物理学会誌. 8 : 67–176.書誌コード:1931AOTok..31...67H. ISSN  0368-346X.
• ランチョス、C (1986)。変分原理の力学（第4版）。ニューヨーク：ドーバー出版。pp. 330–338。ISBN 978-0-486-65067-8。
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975).場の古典理論.理論物理学講座. 第2巻（改訂第4版英語版）. ニューヨーク：Pergamon Press. pp. 299–309. ISBN 978-0-08-018176-9。
• ミスナー、CW、ソーン、K、ウィーラー、JA（1973）。重力。サンフランシスコ：WHフリーマン。第25章（636〜687ページ）、§33.5（897〜901ページ）、§40.5（1110〜1116ページ）。ISBN 978-0-7167-0344-0。（『重力』（書籍）を参照。）
• ペイス、A. (1982)。『微妙なる主：アルバート・アインシュタインの科学と生涯』オックスフォード大学出版局。253～256ページ。ISBN 0-19-520438-7。
• パウリ、W (1958)。相対性理論。G.フィールド訳。ニューヨーク：ドーバー出版。pp. 40–41, 166–169。ISBN 978-0-486-64152-2。
• リンドラー、W (1977)。『エッセンシャル相対論：特殊、一般、宇宙論』（改訂第2版）。ニューヨーク：シュプリンガー出版。pp. 143–149。ISBN 978-0-387-10090-6。
• Roseveare, N. T (1982)。水星の近日点、ルヴェリエからアインシュタインまで。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-858174-2。

• シング、JL (1960)。相対性理論：一般理論。アムステルダム：ノースホランド出版。pp. 289–298。ISBN 978-0-7204-0066-3。
• Wald, RM (1984).一般相対性理論. シカゴ: シカゴ大学出版局. pp. 136–146. ISBN 978-0-226-87032-8。
• Walter, S. (2007)。「4ベクトルの破壊：重力の4次元運動、1905-1910」。Renn, J. (編) 『一般相対性理論の起源』第3巻。ベルリン：シュプリンガー。pp. 193-252。2009-01-30にオリジナルからアーカイブ。2010-07-13に取得。

• ワインバーグ、S (1972)。重力と宇宙論。ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。pp. 185–201。ISBN 978-0-471-92567-5。
• Whittaker, ET (1937)。『粒子と剛体の解析的ダイナミクスに関する論文、三体問題への序論』（第 4 版）。ニューヨーク: Dover Publications。pp. 389–393。ISBN 978-1-114-28944-4。

• ケビン・ブラウン著『相対性についての考察』からの抜粋。