有効電位

有効ポテンシャル（有効ポテンシャルエネルギーとも呼ばれる）は、複数の、場合によっては反対の効果を 1 つのポテンシャルに組み合わせます。基本的な形式では、反対の遠心ポテンシャルエネルギーと動的システムのポテンシャルエネルギーの合計です。これは、惑星の軌道（ニュートン力学と相対論の両方）を決定したり、半古典的な原子計算を実行したりするために使用でき、多くの場合、問題をより少ない次元に縮小することができます。

ポテンシャルの基本形は 次 のように定義される。 ${\displaystyle U_{\text{eff}}}$$${\displaystyle U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )={\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+U(\mathbf {r} ), }$$

• Lは角運動量である
• rは2つの質量間の距離である
• μは2つの物体の縮小質量（一方の質量が他方の質量よりはるかに大きい場合は、周回物体の質量とほぼ等しい）であり、
• U ( r ) はポテンシャルの一般形です。

有効な力は、有効ポテンシャルの 負の勾配です。 ここでは、半径方向の単位ベクトルを表します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{eff}}&=-\nabla U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )\\&={\frac { L^{2}}{\mu r^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}-\nabla U(\mathbf {r} )\end{整列}}}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$

有効ポテンシャルには、次のような多くの有用な特徴がある。 $${\displaystyle U_{\text{eff}}\leq E.}$$

円軌道の半径を求めるには、 に関して有効ポテンシャルを最小化するだけです。または、正味の力をゼロに設定して を解きます。 を解いた後、これを に代入して有効ポテンシャルの最大値を求めます。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle r_{0}}$$${\displaystyle {\frac {dU_{\text{eff}}}{dr}}=0}$$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle U_{\text{eff}}}$${\displaystyle U_{\text{eff}}^{\text{max}}}$

円軌道は安定しているか不安定かのいずれかです。不安定な場合は、小さな摂動で軌道が不安定になる可能性がありますが、安定した軌道は平衡状態に戻ります。円軌道の安定性を判断するには、有効ポテンシャルの凹度を判断します。凹度が正の場合、軌道は安定しています。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}U_{\text{eff}}}{dr^{2}}}>0}$$

基本的なハミルトン解析 を使用した小さな振動の周波数は、 二重プライムが に対する有効ポテンシャルの 2 次導関数を示し、最小値で評価される場所です。 $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {U_{\text{eff}}''}{m}}},}$$${\displaystyle r}$

質量mの粒子が、質量Mのはるかに重い物体の周りを回っているとします。古典的かつ非相対論的なニュートン力学を仮定します。エネルギーと角運動量の保存則により、2 つの定数EとLが与えられます。これらの定数は、 大きい方の質量の運動が無視できる場合の 値を持ちます 。これらの式では、$${\displaystyle E={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-{\frac {GmM}{r}},}$$ $${\displaystyle L=mr^{2}{\dot {\phi }}}$$

• ${\displaystyle {\dot {r}}}$r の時間微分であり、
• ${\displaystyle {\dot {\phi }}}$は質量 mの角速度であり、
• Gは重力定数であり、
• Eは総エネルギーであり、
• Lは角運動量です。

運動は平面内で起こるので、必要な変数は 2 つだけです。2 番目の式を最初の式に代入して整理すると、 有効ポテンシャルで ある が得られます。 ^{[注 1]}元の 2 変数の問題は、1 変数の問題に簡約されました。多くの用途では、有効ポテンシャルは 1 次元システムのポテンシャル エネルギーとまったく同じように扱うことができます。たとえば、有効ポテンシャルを使用したエネルギー図では、安定平衡と不安定平衡の転換点と位置が決定されます。同様の方法は、たとえば一般相対論的シュワルツシルト計量での軌道の決定など、他の用途でも使用できます。 $${\displaystyle m{\dot {r}}^{2}=2E-{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}+{\frac {2GmM}{r}}=2E-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {L^{2}}{m}}-2GmMr\right),}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}=E-U_{\text{eff}}(r),}$$$${\displaystyle U_{\text{eff}}(r)={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r}}}$$

有効ポテンシャルは、ガウス コア ポテンシャル (Likos 2002、Baeurle 2004) や遮蔽クーロン ポテンシャル(Likos 2001) など、さまざまな凝縮物質サブフィールドで広く使用されています。

• ジオポテンシャル

• José, JV; Saletan, EJ (1998)。『古典力学：現代的アプローチ』（第 1 版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-63636-0。。
• Likos, CN; Rosenfeldt, S.; Dingenouts, N.; Ballauff, M .; Lindner, P.; Werner, N.; Vögtle, F.; et al. (2002). 「第 4 世代のフレキシブル デンドリマー間のガウス有効相互作用: 理論的および実験的研究」J. Chem. Phys . 117 (4): 1869–1877. Bibcode :2002JChPh.117.1869L. doi :10.1063/1.1486209. 2011-07-19 にオリジナルからアーカイブされました。

• Baeurle, SA; Kroener J. (2004). 「ガウスコアポテンシャルによるイオン性界面活性剤のミセル凝集体の有効相互作用のモデル化」J. Math. Chem . 36 (4): 409–421. doi :10.1023/B:JOMC.0000044526.22457.bb.

• Likos, CN (2001). 「ソフト凝縮物質物理学における有効相互作用」. Physics Reports . 348 (4–5): 267–439​​. Bibcode :2001PhR...348..267L. CiteSeerX  10.1.1.473.7668 . doi :10.1016/S0370-1573(00)00141-1.