ワイルの法則

数学、特にスペクトル理論において、ワイルの法則はラプラス・ベルトラミ作用素の固有値の漸近挙動を記述する。この記述は、1911 年 ( の場合)にヘルマン・ワイルによって、有界領域 の境界で消える関数に作用するラプラス・ベルトラミ作用素 の固有値に対して発見された。特に、彼は、より小さいか等しいディリクレ固有値(重複度を数えて)の数 がを満たす ことを証明した。${\displaystyle d=2,3}$${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle N(\lambda )}$${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow \infty }{\frac {N(\lambda )}{\lambda ^{d/2}}}=(2\pi )^{-d}\omega _{ d}\mathrm {vol} (\Omega )}$

ここで、 は における単位球の体積である。^{[1] 1912年に彼は}変分法に基づく新しい証明を与えた。^{[2] [3]ワイルの法則は閉じた}リーマン多様体 に拡張することができ、そこではミナクシシュンダラム・プレイジェルのゼータ関数を用いて別の証明を与えることができる。 ${\displaystyle \omega_{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

ワイルの法則はより一般的な領域や演算子に拡張されている。シュレーディンガー演算子の場合

${\displaystyle H=-h^{2}\Delta +V(x)}$

それは延長されました

${\displaystyle N(E,h)\sim (2\pi h)^{-d}\int _{\{|\xi |^{2}+V(x)<E\}}dxd\xi }$

本質的なスペクトルの底に向かう傾向がある、または本質的なスペクトルの底に向かう傾向がある、または本質的なスペクトルの底に向かう傾向がある。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle h\to +0}$

以下に必須スペクトルが存在しない場合は、以下のの固有値の数が示されます。 必須スペクトルが存在する場合は、以下になります。${\displaystyle N(E,h)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle N(E,h)=+\infty }$

スペクトル漸近解析の発展において、変分法と微小局所解析が重要な役割を果たしました。

拡張されたワイルの法則は、特定の状況では当てはまりません。特に、拡張されたワイルの法則は、 右辺の式がすべての に対して有限である場合に限り、本質的なスペクトルは存在しないと「主張」します。 ${\displaystyle E}$

カスプ（つまり「出口が無限大に縮小する」）を持つ領域を考慮すると、（拡張された）ワイルの法則は、体積が有限である場合にのみ本質的なスペクトルは存在しないと主張します。ただし、ディリクレ ラプラシアンの場合、カスプが無限大で縮小する限り、体積が無限大であっても本質的なスペクトルは存在しません（したがって、体積の有限性は不要です）。

一方、ノイマン ラプラシアンの場合、カスプが負の指数よりも速く無限大に縮小しない限り、本質的なスペクトルが存在します (したがって、体積の有限性は十分ではありません)。

ワイルは次のように推測した。

${\displaystyle N(\lambda )=(2\pi )^{-d}\lambda ^{d/2}\omega _{d}\mathrm {vol} (\Omega )\mp {\frac {1} {4}}(2\pi )^{1-d}\omega _{d-1}\lambda ^{(d-1)/2}\mathrm {area} (\partial \オメガ )+o(\ラムダ ^{(d-1)/2})}$

ここで、剰余項はディリクレ境界条件では負、ノイマン境界条件では正です。剰余推定値は多くの数学者によって改良されました。

1922 年、リチャード・クーラントはの境界を証明しました。1952 年、ボリス・レヴィタンは、コンパクトな閉多様体に対するのより厳しい境界を証明しました。1978 年、ロバート・シーリーはこれを特定のユークリッド領域を含むように拡張しました。^[4] 1975 年、ハンス・デュイスターマートとビクター・ギルマンは、周期的双特性の集合が測度 0 を持つ場合の の境界を証明しました。 ^[5] これは最終的に1980 年にビクター・イヴリーによって一般化されました。 ^[6] この一般化は、 におけるビリヤードの周期軌道の集合が測度 0 を持つことを前提としており、これは滑らかな境界を持つすべての有界ユークリッド領域で満たされるとイヴリーは予想しました。それ以来、同様の結果がより広いクラスの演算子に対して得られています。 ${\displaystyle O(\lambda ^{(d-1)/2}\log \lambda )}$${\displaystyle O(\lambda ^{(d-1)/2})}$${\displaystyle o(\lambda ^{(d-1)/2})}$${\displaystyle \オメガ}$