共形重力

共形重力とは、リーマン幾何学の意味で共形変換に対して不変な重力理論を指します。より正確には、 が計量テンソルであり、 が時空上の関数であるワイル変換に対して不変です。 ${\displaystyle g_{ab}\rightarrow \Omega ^{2}(x)g_{ab}}$${\displaystyle g_{ab}}$${\displaystyle \オメガ (x)}$

このカテゴリの最も単純な理論は、ワイルテンソルの2乗をラグランジアンとして持つ。

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \,\mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g\;}}\,C_{abcd}\,C^{abcd}~,}$

ここで はワイルテンソルである。これは、ラグランジアン がリッチスカラーである通常のアインシュタイン-ヒルベルト作用とは対照的である。計量を変化させたときの運動方程式はバッハテンソルと呼ばれる。 ${\displaystyle \;C_{abcd}\;}$

${\displaystyle 2\,\partial _{a}\,\partial _{d}\,{{C^{a}}_{bc}}^{d}~~+~~R_{ad}\,{{C^{a}}_{bc}}^{d}~=~0~,}$

ここで、はリッチテンソルです。共形平坦計量はこの方程式の解です。 ${\displaystyle \;R_{ab}\;}$

これらの理論は、固定された背景の周りの変動に対する4次方程式を導くため、明らかにユニタリーではありません。そのため、一貫して量子化できないと一般的に信じられてきました。これは現在では議論の的となっています。^[1]

共形重力は 4 階微分理論の一例です。これは、波動方程式の各項に最大 4 階微分を含めることができることを意味します。4 階微分理論には長所と短所があります。長所は、理論の量子化バージョンがより収束的で繰り込み可能であることです。短所は、因果関係に問題がある可能性があることです。4 階微分波動方程式のより単純な例は、スカラー 4 階微分波動方程式です。

${\displaystyle \operatorname {\Box } ^{2}\Phi =0}$

中心力場におけるこの問題の解決法は次のとおりです。

${\displaystyle \Phi (r)=1-{\frac {2m}{r}}+ar+br^{2}}$

最初の 2 つの項は通常の波動方程式と同じです。この方程式は共形重力のより単純な近似であるため、m は中心源の質量に対応します。最後の 2 つの項は ​​4 階微分波動方程式に特有のものです。銀河の加速定数(暗黒物質とも呼ばれる) と暗黒エネルギー定数を考慮するために、これらの項に小さな値を割り当てることが提案されています。^{[2]共形重力の球状源に対する}一般相対論のシュワルツシルト解に相当する解は、次のメトリックを持ちます。

${\displaystyle \varphi (r)=g^{00}=(1-6bc)^{\frac {1}{2}}-{\frac {2b}{r}}+cr+{\frac {d}{3}}r^{2}}$

一般相対性理論との違いを示すためです。6bc は非常に小さいので無視できます。問題は、c がソースの全質量エネルギーであり、b が密度の積分にソースまでの距離の 2 乗を掛けたものであることです。したがって、これは一般相対性理論とはまったく異なる可能性であり、単なる小さな修正ではありません。

共形重力理論、および高階微分を持つ理論の主な問題は、ゴーストが典型的に存在することである。ゴースト問題は解決策があるかもしれないが、これは理論の量子バージョンの不安定性を示している。^[3]

別のアプローチとしては、重力定数を対称性の破れた スカラー場として考えることです。その場合、ニュートン重力に対する小さな補正を次のように考えます (ここではを小さな補正と見なします)。 ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \operatorname {\Box } \Phi +\varepsilon ^{2}\operatorname {\Box } ^{2}\Phi =0}$

この場合、一般解はニュートンの場合と同じですが、追加の項が存在する場合があります。

${\displaystyle \Phi =1-{\frac {2m}{r}}\left(1+\alpha \sin \left({\frac {r}{\varepsilon }}+\beta \right)\right)}$

ここで、空間にわたって正弦波状に変化する追加の要素があります。この変化の波長は、原子の幅のように非常に大きくなる可能性があります。したがって、このモデルでは、重力の周りにいくつかの安定したポテンシャルがあるように見えます。

標準モデルの曲がった 時空における作用に適切な重力項を加えることで、理論は局所的な共形（ワイル）不変性を生み出す。共形ゲージは重力定数に基づいて基準質量スケールを選択することで固定される。このアプローチは、従来の自発的対称性の破れなしに、ヒッグス機構に似たベクトルボソンと物質場の質量を生成する。 ^[4]

• 共形超重力
• ホイル・ナリカー重力理論

• ES Fradkin および AA Tseytlin (1985)。 「共形超重力」。Phys . Rep . 119 (4–5): 233–362。Bibcode : 1985PhR ...119..233F。doi :10.1016/0370-1573(85)90138-3。
• CERN におけるマンハイム共形重力理論の反証
• arXiv におけるマンハイムの上記反論。