古典グループ

『古典群:その不変量と表現』はヘルマン・ワイル (1939)による数学書で、表現論の観点から古典不変量理論を説明しています。この本は、1890 年代にデイヴィト・ヒルベルトが不変量理論の主要問題を解決したことでほぼ消滅していた不変量理論への関心を復活させる大きな要因となりました。

ワイル (1939a) は、彼の本のテーマについて非公式の講演を行いました。1946 年に第 2 版が出版されました。

第 1 章では、不変量やその他の基本的な考え方を定義し、幾何学におけるフェリックス・クラインのエルランゲン プログラムとの関係について説明します。

第 2 章では、ベクトル空間Vの特殊線型群と一般線型群の、 Vとその双対のコピーの和上の多項式上の 不変量に​​ついて説明します。不変量の明示的な生成元セットを見つけるために Capelli 恒等式を使用します。

第 3 章では、有限群の群環と、その行列代数の和への分解について学習します。

第 4 章では、対称線型群と一般線型群 の表現間のシューア-ワイル双対性について説明します。

第 5 章と第 6 章では、第 2 章の一般線型群の不変量に​​関する議論を直交群とシンプレクティック群に拡張し、不変量環が明白なものによって生成されることを示します。

第7章では、古典群の表現の指標に対するワイル指標公式について説明します。

不変量理論の第 8 章では、特殊線型群の不変量が有限生成されるというヒルベルトの定理を証明します。

第 9 章と第 10 章では、前の章の補足事項をいくつか示します。

• ハウ、ロジャー (1988)、「2 進形式の古典群と不変量」、ウェルズ、RO Jr. (編)、ヘルマン・ワイルの数学的遺産 (ダーラム、ノースカロライナ州、1987 年)、純粋数学シンポジウム、第 48 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、pp. 133–166、ISBN 978-0-8218-1482-6、MR  0974333
• ハウ、ロジャー（1989）、「古典的不変理論に関する考察」、アメリカ数学会誌、313（2）、アメリカ数学会：539-570、doi：10.2307/2001418、ISSN  0002-9947、JSTOR  2001418、MR  0986027
• ジェイコブソン、ネイサン(1940)、「書評: 古典群」、アメリカ数学会誌、46 (7): 592– 595、doi : 10.1090/S0002-9904-1940-07236-2、ISSN  0002-9904、MR  1564136
• ワイル、ヘルマン（1939）「古典群。その不変量と表現」プリンストン大学出版、ISBN 978-0-691-05756-9、MR  0000255
• ワイル、ヘルマン(1939a)、「不変量」、デューク数学ジャーナル、5 (3): 489– 502、doi :10.1215/S0012-7094-39-00540-5、ISSN  0012-7094、MR  0000030