ガンマ行列

奇数次元のクリフォード代数は、次元が1つ少ないクリフォード代数の2つのコピー、つまり左コピーと右コピーのように振る舞います。[ ³ ] : ^{68したがって、ちょっとしたトリック}を使って、iγ5 を5次元のクリフォード代数の生成元の1つとして再利用することができます ^。この場合、集合 {γ0, γ1 , ^{γ2, γ3} , iγ5 } ^は、最後の2 ^つの性質（i2≡ −1 ^{で ある}ことに注意）と「古い」ガンマの性質により、計量シグネチャ(1,4)の5次元時空におけるクリフォード代数の基底を形成します。^{[ a ] [ 4 ] : 97} メトリックシグネチャ(4,1)では、集合{ γ ⁰ , γ ¹ , γ ² , γ ³ , γ ⁵ }が使用され、γ ^{μ は}(3,1)シグネチャに適したものです。^{[ 5 ]}このパターンは、すべてのn ≥ 1に対して、時空次元2 n偶数と次の奇数次元2 n + 1について繰り返されます。^{[ 6 ] : 457} 詳細については、高次元ガンマ行列を参照してください。  

1.${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I_{4}}$

2.${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }}$

3.${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}}$

4.${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }}$

5.${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }+\eta ^{\nu \rho }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \rho }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}}$

6.${\displaystyle \gamma ^{5}\sigma ^{\nu \rho }={\tfrac {i}{2}}\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\sigma _{\sigma \mu }\ ,}$どこ${\displaystyle \ \sigma _{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]={\tfrac {i}{2}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })\ }$

ガンマ行列は以下のトレース恒等式を満たす。

上記を証明するには、トレース演算子の3つの主要な特性を利用する必要がある。

• ${\displaystyle \operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} (rA)=r\cdot \operatorname {tr} (A)}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (BCA)=\operatorname {tr} (CAB)}$

ガンマ行列は、上記の反交換関係によって制限される追加のエルミート条件で選択できます。

${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}}$互換性あり${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I_{4}}$

そして他のガンマ行列（k = 1、2、3の場合）についても同様です。

${\displaystyle \left(\gamma ^{k}\right)^{\dagger }=-\gamma ^{k}}$互換性あり${\displaystyle \left(\gamma ^{k}\right)^{2}=-I_{4}.}$

これらのエルミート性関係がディラック表現に対して成り立つことはすぐに確認できる。

上記の条件は、関係式に組み合わせることができます。

${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0}.}$

エルミート条件は作用の下で不変ではない${\displaystyle \gamma ^{\mu }\to S(\Lambda )\gamma ^{\mu }{S(\Lambda )}^{-1}}$ローレンツ変換の${\displaystyle \Lambda }$なぜなら${\displaystyle S(\Lambda )}$ローレンツ群がコンパクトではないため、必ずしもユニタリ変換になるとは限りません。

任意の基底における電荷共役演算子は、次のように定義できる。

${\displaystyle C\gamma _{\mu }C^{-1}=-(\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}}$

どこ${\displaystyle (\cdot )^{\textsf {T}}}$は行列の転置を表します。明示的な形式は${\displaystyle C}$は、任意の位相因子を除いて、ガンマ行列に選択された特定の表現に依存します。これは、電荷共役はガンマ群の自己同型写像​​ではあるものの、 （群の）内部自己同型写像​​ではないためです。共役行列は見つけることができますが、それらは表現に依存します。

表象に依存しないアイデンティティには以下が含まれる。

${\displaystyle {\begin{aligned}C\gamma _{5}C^{-1}&=+(\gamma _{5})^{\textsf {T}}\\C\sigma _{\mu \nu }C^{-1}&=-(\sigma _{\mu \nu })^{\textsf {T}}\\C\gamma _{5}\gamma _{\mu }C^{-1}&=+(\gamma _{5}\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}\\\end{aligned}}}$

電荷共役演算子もユニタリである${\displaystyle C^{-1}=C^{\dagger }}$、一方${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )}$また、以下のことも主張する。${\displaystyle C^{\textsf {T}}=-C}$任意の表現に対して。ガンマ行列の表現が与えられた場合、電荷共役演算子の任意の位相因子は、常に次のように選択できるとは限らない。${\displaystyle C^{\dagger }=C^{\textsf {T}}}$以下に示す一般的な4つの表現、すなわちディラック表現、カイラル表現、マヨラナ表現の場合も同様である。

ファインマンのスラッシュ表記は次のように定義される。

${\displaystyle {a\!\!\!/}:=\gamma ^{\mu }a_{\mu }}$

任意の4ベクトルに対して${\displaystyle a}$。

以下は、上記と同様の式ですが、スラッシュ表記を用いたものです。

• ${\displaystyle {a\!\!\!/}{b\!\!\!/}=\left[a\cdot b\right]I_{4}-ia_{\mu }\sigma ^{\mu \nu }b_{\nu }}$
• ${\displaystyle {a\!\!\!/}{a\!\!\!/}=a^{\mu }a^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }={\tfrac {1}{2}}a^{\mu }a^{\nu }\left(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }\right)=\left[\eta _{\mu \nu }a^{\mu }a^{\nu }\right]I_{4}=a^{2}I_{4}}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=4(a\cdot b)}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=-4i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\rho }d^{\sigma }}$
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{a\!\!\!/}}$^{[ 7 ]}
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=4(a\cdot b)I_{4}}$^{[ 7 ]}
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}}$^{[ 7 ]}

  どこ${\displaystyle \epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }}$レビ・チヴィタのシンボルであり、${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]~.}$実際には奇数個の生成物の痕跡${\displaystyle \ \gamma \ }$はゼロなので、

• ${\displaystyle \operatorname {tr} (a_{1}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,a_{2}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,\cdots a_{n}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,)=0\ }$nが奇数の場合。^{[ 8 ]}

多くは、スラッシュ表記を展開し、形式の式を縮約することから直接導き出されます。${\displaystyle \ a_{\mu }b_{\nu }c_{\rho }\ \ldots \ }$ガンマ行列に関して適切な恒等式を用いる。

これまで記述してきたガンマ行列は、ディラック基底で記述されたディラックスピノルに作用させるのに適しています。実際、ディラック基底はこれらの行列によって定義されます。まとめると、ディラック基底では次のようになります。

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.}$

またはクロネッカー製品を使用する場合：

${\displaystyle \gamma ^{0}=(\sigma ^{3}\otimes I_{2}),\quad \gamma ^{k}=(i\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{k}),\quad \gamma ^{5}=(\sigma ^{1}\otimes I_{2})~.}$

ディラック基底では、電荷共役演算子は実反対称である。^{[ 9 ] : 691–700}

${\displaystyle C_{D}=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&~~0&~~0&-1\\0&~~0&~~1&~~0\\0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\end{pmatrix}}~.}$

もう1つの一般的な選択肢はワイル基底またはキラル基底であり、${\displaystyle \gamma ^{k}}$同じままですが${\displaystyle \gamma ^{0}}$異なるので、${\displaystyle \gamma ^{5}}$また、斜めにも異なり、

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}},}$

または、より簡潔な表記では次のようになります。

${\displaystyle \gamma ^{\mu }={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{\mu }\\{\overline {\sigma }}^{\mu }&0\end{pmatrix}},\quad \sigma ^{\mu }\equiv (1,\sigma ^{i}),\quad {\overline {\sigma }}^{\mu }\equiv \left(1,-\sigma ^{i}\right).}$

ワイル基底の利点は、そのカイラル射影が単純な形をとることです。

${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }={\tfrac {1}{2}}\left(1-\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {R} }={\tfrac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi ~.}$

キラル射影の冪等性は明白である。

表記法を少し乱用し、記号を再利用することで${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} /R}}$そうすれば特定できます

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {L} }\\\psi _{\mathrm {R} }\end{pmatrix}},}$

今どこにいるのか${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }}$そして${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }}$これらは、左巻きおよび右巻きの2成分ワイルスピノルである。

この基底における電荷共役演算子は実数反対称であり、

${\displaystyle C_{W}=UC_{D}U^{\text{T}}=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}&0\\0&-i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}}$

ワイル基底はディラック基底から次のように得られる。

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },\quad \psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$

ユニタリ変換を介して

${\displaystyle U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1+\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&-I_{2}\\I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}.}$

ワイル基底の別の選択肢^{[ 10 ]は}

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}.}$

キラル投影は、他のワイル選択とは少し異なる形をとる。

${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {L} }={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi .}$

言い換えると、

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {R} }\\\psi _{\mathrm {L} }\end{pmatrix}},}$

どこ${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }}$そして${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }}$は、以前と同様に、左巻きと右巻きの2成分ワイルスピノルである。

この基底における電荷共役演算子は

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\\0&~~0&~~0&~~1\\0&~~0&-1&~~0\\\end{pmatrix}}~=-i\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{2}.}$

この基底は上記のディラック基底から次のように得られる。${\displaystyle \gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$ユニタリ変換を介して

${\displaystyle U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1-\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}~~I_{2}&I_{2}\\-I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}~.}$

また、マヨラナ基底も存在し、そこではすべてのディラック行列が虚数であり、スピノルとディラック方程式は実数である。パウリ行列を用いると、基底は次のように書ける。

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\\\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{5}&={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\ ,~&C&={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle C}$これは電荷共役行列であり、上記で定義したディラック版と一致します。

すべてのガンマ行列を虚数にする理由は、二乗質量が正となる素粒子物理学の計量(+, −, −, −)を得るためだけです。しかし、マヨラナ表現は実数です。${\displaystyle \ i\ }$4つの成分実スピノルと実ガンマ行列を持つ異なる表現を得る。${\displaystyle \ i\ }$実数ガンマ行列で可能な唯一のメトリックは(−, +, +, +)です。

マヨラナ基底は、上記のディラック基底から次のように得られる。${\displaystyle \gamma _{\mathrm {M} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {M} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$ユニタリ変換を介して

${\displaystyle U=U^{\dagger }={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&-I_{2}\end{pmatrix}}~.}$

ディラック代数は実代数Cl _1,3 (${\displaystyle \mathbb {R} }$）時空代数と呼ばれるもの：

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {C} )=\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C} }$

Cl _1,3 (${\displaystyle \mathbb {R} }$) は Cl _1,3とは異なります(${\displaystyle \mathbb {C} }$): Cl _1,3 (${\displaystyle \mathbb {R} }$ガンマ行列とその積の実数線形結合のみが許可されます。

2つの点を指摘しておく必要がある。クリフォード代数として、Cl _1,3 (${\displaystyle \mathbb {C} }$）および Cl ₄（${\displaystyle \mathbb {C} }$）は同型である（クリフォード代数の分類を参照）。その理由は、時空計量の根底にある符号が複素化に移行すると符号（1,3）を失うからである。しかし、双線形形式を複素標準形式にするために必要な変換はローレンツ変換ではないため、「許容されない」（少なくとも非現実的）である。なぜなら、すべての物理学はローレンツ対称性と密接に結びついており、それを明示的に保つことが望ましいからである。

幾何代​​数の提唱者たちは、可能な限り実代数を用いて研究を進めようと努めている。彼らは、物理方程式における虚数単位の存在を特定することは一般的に可能であり（そして通常は有益である）、と主張する。このような単位は、実クリフォード代数において二乗すると-1になる多くの量のうちの1つから生じ、代数の性質と様々な部分空間の相互作用によって幾何学的な意味を持つ。これらの提唱者の中には、ディラック方程式の文脈において、追加の虚数単位を導入することが必要か、あるいは有用であるかどうか疑問を呈する者もいる。^{[ 11 ]： x–xi}

リーマン幾何学の数学では、クリフォード代数 Cl _p,q (${\displaystyle \mathbb {R} }$）任意の次元p,qに対して。ワイルスピノルはスピン群の作用の下で変換される。${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$スピン群の複素化は、スピン群と呼ばれる。${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)}$は製品です${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}}$円を持つスピン群${\displaystyle S^{1}\cong U(1).}$製品${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$識別するための表記法${\displaystyle (a,u)\in \mathrm {Spin} (n)\times S^{1}}$と${\displaystyle (-a,-u).}$この幾何学的なポイントは、ローレンツ変換の下で共変な実スピノルを、${\displaystyle U(1)}$コンポーネントは、${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$電磁相互作用の繊維。${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$これは、ディラック粒子/反粒子状態（等価的に、ワイル基底のカイラル状態）を関連付けるのに適した方法でパリティと電荷共役を絡め取っています。ディラックスピノルは、線形独立な左成分と右成分を持つ限り、電磁場と相互作用することができます。これは、マヨラナスピノルとELKOスピノル（励起共役演算子の固有スピノル）とは対照的です。これらは、スピノルが電磁場と相互作用しないように明示的に制限されているため、相互作用できません（つまり、電気的に中性です）。${\displaystyle S^{1}}$一部は複素化に由来する。ELKOスピノルはLounestoクラス5スピノルである。^{[ 12 ]： 84}

しかし、現代の物理学の実践においては、ディラック方程式のスピノルが「存在する」標準的な環境は、時空代数ではなく、ディラック代数であり続けている。

${\displaystyle \gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&i\sigma ^{1,2,3}\\-i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}}$

要因に注目してください${\displaystyle i}$空間ガンマ行列に挿入され、ユークリッドクリフォード代数が

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\delta ^{\mu \nu }I_{4}}$

出現するだろう。また、代わりに挿入するこのバリエーションがあることにも注目する価値がある。${\displaystyle -i}$格子QCDコードのようにカイラル基底を用いる場合など、行列の1つ上で。

ユークリッド空間では、

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {M} }^{5}=i\left(\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {M} }={\tfrac {1}{i^{2}}}\left(\gamma ^{4}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {E} }=\left(\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\gamma ^{4}\right)_{\mathrm {E} }=\gamma _{\mathrm {E} }^{5}~.}$

反交換子を使用し、ユークリッド空間では${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{\mu }}$1つは、

${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}}$

ユークリッド空間のキラル基底では、

${\displaystyle \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}}$

これはミンコフスキー版から変更されていない。

${\displaystyle \gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{1,2,3}\\i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}}\ ,\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}}}$