ウィグナー・ワイル変換

量子力学において、ウィグナー・ワイル変換またはワイル・ウィグナー変換（ヘルマン・ワイルとユージン・ウィグナーにちなんで）は、量子位相空間定式化における関数とシュレーディンガー描像におけるヒルベルト空間 演算子との間の可逆な写像である。

位相空間上の関数から演算子へのマッピングは、しばしばワイル変換またはワイル量子化と呼ばれ、一方、逆のマッピング、すなわち演算子から位相空間上の関数へのマッピングは、ウィグナー変換と呼ばれます。このマッピングは、もともと 1927 年にヘルマン ワイルによって、対称化された古典位相空間関数を演算子にマッピングする試みとして考案されました。この手順はワイル量子化として知られています。 ^[1] 現在では、ワイル量子化は無矛盾な量子化に必要なすべての特性を満たしているわけではなく、そのため非物理的な答えを出すことがあることが分かっています。一方、以下で説明する優れた特性のいくつかは、古典位相空間上の関数を演算子にマッピングする単一の無矛盾な手順を求める場合、ワイル量子化が最良の選択肢であることを示唆しています。これは、そのようなマップの一種の正規座標です。(グローネウォルドの定理は、そのようなマップは、望まれるすべての理想的な特性を持つことはできないと主張しています。)

いずれにせよ、ワイル・ウィグナー変換は位相空間と演算子表現の間の明確に定義された積分変換であり、量子力学の仕組みについての洞察をもたらします。最も重要なのは、ウィグナー準確率分布が量子密度行列のウィグナー変換であり、逆に密度行列がウィグナー関数のワイル変換であることです。

ワイルが当初、一貫した量子化スキームを模索していたのとは対照的に、この写像は量子力学における表現の変更に過ぎず、「古典的」な量と「量子的」な量を結び付ける必要はない。例えば、位相空間関数は、角運動量を伴ういくつかのよく知られたケースのように、縮小されたプランク定数ħに明示的に依存する可能性がある。この可逆な表現の変更により、1940年代にヒルブランド・J・グローネウォルド^[2]とホセ・エンリケ・モヤル[ ^3]によって認識されたように、量子力学を位相空間で表現することが可能になる。^[4]

より一般的には、ワイル量子化は、位相空間がシンプレクティック多様体、または場合によってはポアソン多様体である場合に研究されます。関連する構造には、ポアソン-リー群とカッツ-ムーディ代数が含まれます。

以下では、最も単純な 2 次元ユークリッド位相空間上のワイル変換について説明します。位相空間上の座標を(q,p)とし、 位相空間上のどこでも定義される関数をfとします。以下では、シュレーディンガー表現における通常の位置演算子や運動量演算子などの標準的な交換関係を満たす演算子PとQ を固定します。べき乗演算子とがワイル関係の既約表現を構成し、ストーン–フォン ノイマン定理(標準的な交換関係の一意性を保証する) が成り立つと仮定します。 ${\displaystyle e^{iaQ}}$${\displaystyle e^{ibP}}$

関数fのワイル変換（またはワイル量子化）は ヒルベルト空間における次の演算子で与えられる。^{[5] [6]}

全体を通して、ħ は換算プランク定数です。

上の式のp積分とq積分を最初に行うことは有益である。これは関数 fの通常のフーリエ変換を計算する効果があり、演算子は残されている。その場合、ワイル変換は次のように表される^[7]。${\displaystyle {\tilde {f}}}$${\displaystyle e^{i(aQ+bP)}}$

${\displaystyle \Phi [f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint {\tilde {f}}(a,b)e^{iaQ+ibP}\,だ\,db}$。

したがって、ワイル写像は次のように考えることができます。関数 の通常のフーリエ変換を取りますが、その後、フーリエ反転公式を適用するときに、元の古典的な変数pとq を量子演算子 と に置き換えて、 「 fの量子バージョン」を取得します。 ${\displaystyle f(p,q)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

あまり対称的ではないが、応用には便利な形式は次の通りである。

${\displaystyle \Phi [f]={\frac {2}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}\iint \!\!\!\iint \!\!dq\,dp\ ,d{\チルダ {x}}\,d{\チルダ {p}}\ e^{{\frac {i}{\hbar }}({\チルダ {x}}{\チルダ{p}}-2({\チルダ {p}}-p)({\チルダ {x}}-q))}~f(q,p)~|{\チルダ {x}}\rangle \langle {\チルダ {p}}|.}$

ワイル写像は、この演算子の積分核行列要素によっても表現できる。^[8]

${\displaystyle \langle x|\Phi [f]|y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{{\text{d}}p \over h}~e^{ip(xy)/\hbar }~f\left({x+y \over 2},p\right).}$

上記のワイル写像の逆はウィグナー写像（またはウィグナー変換）であり、ユージン・ウィグナー^[9]によって導入され、演算子Φを元の位相空間核関数fに戻す。

例えば、振動子熱分布演算子のウィグナーマップは [ ^6]${\displaystyle \exp(-\beta (P^{2}+Q^{2})/2)}$

${\displaystyle \exp _{\star }\left(-\beta (p^{2}+q^{2})/2\right)=\left(\cosh \left({\frac {\beta \hbar }{2}}\right)\right)^{-1}\exp \left({\frac {-2}{\hbar }}\tanh \left({\frac {\beta \hbar }{2}}\right)(p^{2}+q^{2})/2\right).}$

上記の式で を任意の演算子に置き換えると、結果として得られる関数f は、縮小プランク定数ħに依存し、以下のスター積を介して適切に合成されていれば、量子力学的過程をうまく記述できる可能性がある。^{[10]一方、ウィグナー写像のワイル写像は、}グローネウォルドの公式 によって要約される。^[6]${\displaystyle \Phi [f]}$

${\displaystyle \Phi [f]=h\iint \,da\,db~e^{iaQ+ibP}\operatorname {Tr} (e^{-iaQ-ibP}\Phi ).}$

上記の式は、位相空間上の非常に一般的な観測量のワイル量子化をよく理解するのに役立ちますが、 や の多項式などの単純な観測量を計算するのにはあまり便利ではありません。後のセクションでは、そのような多項式では、ワイル量子化は非可換演算子およびの完全に対称な順序付けを表すことがわかります。たとえば、量子角運動量二乗演算子L ²のウィグナー マップは、古典的な角運動量の二乗だけではなく、オフセット項−3 ħ ² /2も含みます。これは、基底状態のボーア軌道の角運動量がゼロではないことを表しています。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$

およびの多項式関数に対するワイル量子化の作用は、次の対称式によって完全に決定される: ^[11]${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle (aq+bp)^{n}\longmapsto (aQ+bP)^{n}}$

すべての複素数および に対して成り立ちます。この公式から、 の形式の関数のワイル量子化がの因数との因数のすべての可能な順序付けの平均を与えることを示すのは難しくありません。ここで、 、および はN個の元上の順列の集合です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle q^{k}p^{l}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle l}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle \prod _{j=1}^{N}\xi _{k_{j}}~~\longmapsto ~~{\frac {1}{N!}}\sum _{\sigma \in S_ {N}}\prod _{j=1}^{N}\Xi _{k_{\sigma (j)}}}$$${\displaystyle \xi _{j}=q_{j},\xi _{n+j}=p_{j}}$${\displaystyle S_{N}}$

例えば、

${\displaystyle 6p^{2}q^{2}~~\longmapsto ~~P^{2}Q^{2}+Q^{2}P^{2}+PQPQ+PQ^{2}P+QPQP+QP^{2}Q.}$

この結果は概念的には自然であるが、とが大きい場合の計算には不便である。そのような場合には、代わりにマッコイの公式^{[12]を使用することができる。}${\displaystyle k}$${\displaystyle l}$

${\displaystyle p^{m}q^{n}~~\longmapsto ~~{1 \over 2^{n}}\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}Q^{r}P^{m}Q^{nr}={1 \over 2^{m}}\sum _{s=0}^{m}{m \choose s}P^{s}Q^{n}P^{ms}.}$

この式は、 の場合に、上記の完全に対称な式とは異なる答えを与えるように見えます。しかし、標準的な交換関係では、同じ演算子に対して複数の式が許されるため、矛盾はありません。(読者は、交換関係を使用して、 の場合の完全に対称な式を演算子、 、で書き直し、 でMcCoy の式の最初の式を確認すると参考になるかもしれません。) ${\displaystyle p^{2}q^{2}}$${\displaystyle p^{2}q^{2}}$${\displaystyle P^{2}Q^{2}}$${\displaystyle QP^{2}Q}$${\displaystyle Q^{2}P^{2}}$${\displaystyle m=n=2}$

あらゆる量子化スキームの中でも、ワイル量子化は古典側のポアソン括弧を量子側の交換子に写像することに最も近いと広く考えられている。（グロエネウォルドの定理を考慮すると、正確な対応は不可能である。）例えば、モヤルは

定理:が最大次数 2 の多項式であり、が任意の多項式である場合、 が成り立ちます。${\displaystyle f(q,p)}$${\displaystyle g(q,p)}$${\displaystyle \Phi (\{f,g\})={\frac {1}{i\hbar }}[\Phi (f),\Phi (g)]}$

• f が実数値関数である場合、そのワイル写像Φ [ f ]は自己随伴です。
• f がシュワルツ空間の要素である場合、Φ [ f ]はトレースクラスです。
• より一般的には、Φ [ f ]は稠密に定義された非有界演算子です。
• 写像Φ [ f ] はシュワルツ空間（二乗可積分関数の部分空間として）上で一対一である。

• ホール、ブライアン C. (2013)、「数学者のための量子理論」、Graduate Texts in Mathematics、vol. 267、Springer、Bibcode :2013qtm..book.....H、ISBN 978-1461471158

• Case, William B. (2008 年 10月)。「歩行者に対するウィグナー関数とワイル変換」。American Journal of Physics。76 ( 10): 937–946。Bibcode : 2008AmJPh..76..937C。doi :10.1119/1.2957889。（この記事のセクションIからIVでは、ウィグナー・ワイル変換、ウィグナー準確率分布、量子力学の位相空間定式化、量子調和振動子の例について概要を説明します。）
• 「ワイル量子化」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• テレンス・タオの2012年のワイル順序に関するノート