ハミルトン力学

物理学において、ハミルトン力学は1833年に登場したラグランジュ力学の再定式化である。ウィリアム・ローワン・ハミルトン卿によって導入された^{[ 1 ]}ハミルトン力学は、（一般化された）速度を置き換える。 $\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$ ラグランジュ力学において（一般化された）運動量を用いて用いられる。どちらの理論も古典力学の解釈を提供し、同じ物理現象を記述する。

ハミルトン力学は幾何学（特にシンプレクティック幾何学とポアソン構造）と密接な関係があり、古典力学と量子力学をつなぐ役割を果たします。

概要

位相空間座標 ( p , q ) とハミルトニアンH

させて $(M,{\mathcal {L}})$ 構成空間を持つ機械システムである $M$ 滑らかなラグランジアン ${\mathcal {L}}.$ 標準座標系を選択してください $({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$ 接束上 $TM.$ 数量 $\textstyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\dot {q}}^{i}}$ これらは運動量と呼ばれます。（一般化運動量、共役運動量、正準運動量とも呼ばれます。）ある瞬間において $t,$ ルジャンドル変換 $\displaystyle {\mathcal {L}}}$ はマップとして定義される $({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\to \left({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}\right)$ 滑らかな逆関数を持つと仮定される $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\to ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}).$ システムの場合 $n$ 自由度、ラグランジュ力学はエネルギー関数を定義する $E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}^{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\mathcal {L}}.$

ルジャンドル変換 $\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ターン $E_{\mathcal {L}}$ 関数に ${\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)$ として知られるハミルトニアン。ハミルトニアンは次の条件を満たす。 ${\mathcal {H}}{\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}},{\boldsymbol {q}},t\right)}=E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$ これはつまり ${\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t),$ 速度が ${\boldsymbol {\dot {q}}}=({\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})$ は ( $n$ 次元方程式 $\textstyle {\boldsymbol {p}}={\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}$ これは、仮定により、に対して一意に解ける。 ${\boldsymbol {\dot {q}}}$ ⁠ . その ( $2n$ 次元ペア $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})$ 位相空間座標と呼ばれる。（正準座標とも呼ばれる。）

オイラー・ラグランジュ方程式からハミルトン方程式へ

位相空間座標において $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})$ ⁠、( $n$ （次元）オイラー・ラグランジュ方程式 ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}=0$ ハミルトンの方程式は $2n$ 寸法

${\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {q}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}},\quad {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}.$

証拠

ハミルトニアン ${\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})$ ラグランジアンのルジャンドル変換 ${\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})$ したがって、

どこ ${\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}$ 。

方程式を並べ替えることで ${\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}$ 書くことができる ${\dot {\boldsymbol {q}}}$ に関しては ${\boldsymbol {q}}$ そして ${\boldsymbol {p}}$ として ${\dot {\boldsymbol {q}}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})$ ということで、1は2つの変数を含む方程式になります。 ${\boldsymbol {q}}$ そして ${\boldsymbol {p}}$ 。

1の両辺をに関して偏微分すると ${\boldsymbol {p}}$ （つまり、 ${\boldsymbol {q}}$ 固定) は ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}{\frac {\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}={\dot {\boldsymbol {q}}}+{\boldsymbol {p}}{\frac {\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\implies {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}={\dot {\boldsymbol {q}}}$ 1 の両辺をに関して偏微分すると ${\boldsymbol {q}}$ 代わりに（つまり、 ${\boldsymbol {p}}$ 固定) は ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}{\frac {\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}={\boldsymbol {p}}{\frac {\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\implies {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}},$

ここでオイラー・ラグランジュ方程式は ${\dot {\boldsymbol {p}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}.$

定常作用の原理からハミルトンの方程式へ

させて ${\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ 滑らかな経路の集合とする ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to M$ そのために ${\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}$ そして ${\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}.$ 動作機能 ${\mathcal {S}}:{\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ は、 ${\mathcal {S}}[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}{\mathcal {L}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)\right)\,dt,$ どこで ${\boldsymbol {q}}={\boldsymbol {q}}(t)$ ⁠、そして ${\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}$ （上記参照）。道 ${\boldsymbol {q}}\in {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ は停留点である ${\mathcal {S}}$ （したがって運動方程式である）経路が $({\boldsymbol {p}}(t),{\boldsymbol {q}}(t))$ 位相空間座標では、ハミルトン方程式が成り立つ。

基本的な物理的解釈

$ハミルトン力学の簡単な解釈は、質量m$ の非相対論的粒子 1 つからなる一次元系への適用から得られる。 $H(p,q)$ ハミルトニアンのは系の全エネルギーであり、この場合、運動エネルギーと位置エネルギーの合計で、それぞれ伝統的に $T$ と $V$ で表されます。ここで $、p$ は運動量 $mv$ 、 $q$ は空間座標です。すると、 ${\mathcal {H}}=T+V,\qquad T={\frac {p^{2}}{2m}},\qquad V=V(q)$ $Tは$ $p$ のみの関数であり、 $Vは$ $q$ のみの関数である（つまり、 $T$ と $Vは$ 強膜的である）。

$この例では、 q$ の時間微分は速度であり、したがって最初のハミルトン方程式は、粒子の速度がその運動エネルギーの運動量に関する微分に等しいことを意味します。運動量 $pの時間微分は$ ニュートン力に等しく、したがって2番目のハミルトン方程式は、その力が位置エネルギーの負の勾配に等しいことを意味します。

例

球面振り子は、球面上を摩擦なく運動する質量mから構成されます。質量に作用する力は、球面からの反作用と重力のみです。質量の位置は $、($ $r$ $、$ $θ$ $、$ $φ$ $)で表される$ 球面座標で表されます。ここで、 $r$ は固定されており、 $r$ $=$ $ℓ$ です。

このシステムのラグランジアンは^{[ 2 ]です。} $L={\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\varphi }}^{2}\right)+mg\ell \cos \theta .$

したがってハミルトニアンは次のようになる $H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\varphi }{\dot {\varphi }}-L$ どこ $P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=m\ell ^{2}{\dot {\theta }}$ そして $P_{\varphi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}.$ 座標と運動量の観点から見ると、ハミルトニアンは次のように表される。 ${\begin{aligned}H&=\underbrace {{\Bigl [}{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}^{2}{\Bigr ]}} _{T}+\underbrace {{\Bigl [}-mg\ell \cos \theta {\Bigr ]}} _{V}\\[2ex]&={\frac {P_{\theta }^{2}}{2m\ell ^{2}}}+{\frac {P_{\varphi }^{2}}{2m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }}-mg\ell \cos \theta .\end{aligned}}$ ハミルトンの方程式は、座標と共役運動量の時間発展を4つの1階微分方程式で表す。 ${\begin{aligned}{\dot {\theta }}&={P_{\theta } \over m\ell ^{2}}\\[6pt]{\dot {\varphi }}&={P_{\varphi } \over m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }\\[6pt]{\dot {P_{\theta }}}&={P_{\varphi }^{2} \over m\ell ^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mg\ell \sin \theta \\[6pt]{\dot {P_{\varphi }}}&=0.\end{aligned}}$ 勢い $P_{\varphi }$ これは角運動量の垂直成分に相当する。 $L_{z}=\ell \sin \theta \times m\ell \sin \theta \,{\dot {\varphi }}$ ⁠は運動の保存量です。これは、垂直軸を中心としたシステムの回転対称性の結果です。ハミルトニアンに存在しないため、方位角は $\varphi$ これは周期座標であり、その共役運動量の保存を意味します。

ハミルトンの方程式の導出

ハミルトンの方程式は、ラグランジアンを用いた計算によって導出できる。 ${\mathcal {L}}$ ⁠、一般化位置 $q i$ 、および一般化速度 $\cdot q i$ 、ここで⁠ $i=1,\ldots ,n$ ⁠ .^{[ 3 ]}ここではオフシェルで作業します。つまり、 $q^{i}$ ⁠、 ⁠ ${\dot {q}}^{i}$ ⁠、 ⁠ $t$ は位相空間内の独立した座標であり、運動方程式（特に、 ${\dot {q}}^{i}$ はの派生ではありません $q^{i}$ ラグランジアンの全微分は次のようになります。 $\mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\,\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .$ 一般化運動量座標は次のように定義される。 $p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}$ したがって、この方程式は次のように書き換えることができます。 ${\begin{aligned}\mathrm {d} {\mathcal {L}}=&\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+p_{i}\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\\=&\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+\mathrm {d} (p_{i}{\dot {q}}^{i})-{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\,.\end{aligned}}$

式を整理すると、次の式が得られる。 $\mathrm {d} \!\left(\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}\right)=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .$

左辺の括弧内の項はハミルトニアンそのものである。 ${\textstyle {\mathcal {H}}=\sum p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}}$ 前述の定義に基づくと、次のようになります。 $\mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .$

ハミルトニアンの全微分を計算することもできる。 ${\mathcal {H}}$ 座標に関して $q^{i}$ ⁠、 ⁠ $p_{i}$ ⁠、 ⁠ $t$ 代わりに $q^{i}$ ⁠、 ⁠ ${\dot {q}}^{i}$ ⁠、 ⁠ $t$ ⁠、結果として： $\mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .$

ここで、これら2つの式を等式で表すことができる。 $d{\mathcal {H}}$ ⁠、1つは⁠ ${\mathcal {L}}$ ⁠、もう一方の観点からは⁠ ${\mathcal {H}}$ ⁠ : $\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ =\ \sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .$

これらの計算はオフシェルであるため、各係数を等しくすることができる。 $\mathrm {d} q^{i}$ ⁠、 ⁠ $\mathrm {d} p_{i}$ ⁠、 ⁠ $\mathrm {d} t$ 両側で： ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}\ .$

オンシェルでは、パラメトリック関数を置き換える。 $q^{i}=q^{i}(t)$ 位相空間における速度を持つ軌跡を定義する ${\dot {q}}^{i}={\tfrac {d}{dt}}q^{i}(t)$ ⁠ 、ラグランジュ方程式に従う： ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0\ .$

オンシェルの観点から再構成および記述する $p_{i}=p_{i}(t)$ 与える： ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}\ .$

したがって、ラグランジュ方程式はハミルトン方程式と等価である。 ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\dot {p}}_{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,.$

時間に依存しない場合 ${\mathcal {H}}$ そして ${\mathcal {L}}$ つまり $\partial {\mathcal {H}}/\partial t=-\partial {\mathcal {L}}/\partial t=0$ ハミルトンの方程式は $2 n 個の$ 1 階微分方程式から構成されるのに対し、ラグランジュの方程式は $n 個の$ 2 階微分方程式から構成される。ハミルトンの方程式は通常、明示的な解を見つける難易度を下げるものではないが、座標と運動量がほぼ対称的な役割を果たす独立変数であるため、重要な理論的結果を導き出すことができる。

ハミルトンの方程式はラグランジュの方程式よりも別の利点があります。システムが対称性を持つ場合、つまりある座標が $q_{i}$ ハミルトニアン（つまり、周期座標）には現れないが、対応する運動量座標は $p_{i}$ 各軌道に沿って保存され、その座標はセットの他の方程式では定数に縮小できます。これにより、問題は $n$ 個の座標から $(n - 1)個の座標に効果的に縮小されます。これが幾何学における$ シンプレクティック縮小の基礎です。ラグランジュの枠組みでは、運動量の保存もすぐに得られますが、すべての一般化速度は ${\dot {q}}_{i}$ ラグランジアンには依然として問題があり、 $n$ 座標の連立方程式を解く必要がある。^{[ 4 ]}

ラグランジュ的アプローチとハミルトン的アプローチは、古典力学におけるより深い結果の基礎を提供し、量子力学における類似の定式化、すなわち経路積分定式化とシュレーディンガー方程式を示唆する。

ハミルトニアンの性質

ハミルトニアンの値 ${\mathcal {H}}$ は、エネルギー関数が $E_{\mathcal {L}}$ 同じ性質を持つ。（定義を参照） ${\mathcal {H}}$ ⁠ )
${\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}$ いつ⁠ $\mathbf {p} (t)$ ⁠、 ⁠ $\mathbf {q} (t)$ ハミルトン方程式の解を形成する。
確かに、 ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$ そして、最後の項以外はすべて相殺される。
${\mathcal {H}}$ 点変換によって変化しない、つまり滑らかな変化 ${\boldsymbol {q}}\leftrightarrow {\boldsymbol {q'}}$ 空間座標の。（エネルギー関数の不変性から導かれる） $E_{\mathcal {L}}$ 点変換の下での不変性 $E_{\mathcal {L}}$ 直接確立できる）。
${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}.$ （「ハミルトンの方程式の導出」の項を参照）。
⁠ $-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}$ （ハミルトンの方程式とオイラー・ラグランジュ方程式を比較するか、 § ハミルトンの方程式の導出を参照してください。）
${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=0$ の場合に限り⁠ ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0$ ⁠ .
最後の式が成り立つ座標は、巡回座標（または無視可能座標）と呼ばれます。すべての巡回座標は、 $q^{i}$ 自由度を 1減らす $1$ ⁠、対応する運動量を引き起こす $p_{i}$ 保存則を満たし、ハミルトンの方程式を解きやすくする。

ハミルトニアンを全システムエネルギーとして表す

特定のシステムへの適用において、ハミルトニアンはしばしば次のように解釈される。 ${\mathcal {H}}=T+V$

どこ $T$ 運動エネルギーと $V$ は位置エネルギーです。この関係式を用いる方が、まずラグランジアンを計算してからハミルトニアンを導出するよりも簡単な場合があります。ただし、この関係式はすべての系に当てはまるわけではありません。

以下の条件がすべて満たされる場合、非相対論的システムに対してこの関係が成り立つ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} ${\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0\;,\quad \forall i$ ${\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0$ $T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}$

どこ $t$ 時間です、 $n$ はシステムの自由度数であり、各 $c_{ij}({\boldsymbol {q}})$ は、の任意のスカラー関数です。 ${\boldsymbol {q}}$ 。

言葉で言うと、これは関係が ${\mathcal {H}}=T+V$ が成り立つ場合 $T$ 明示的な変数として時間を含みません（それは硬化症です）、 $V$ 一般化速度を明示的な変数として含まず、各項は $T$ 一般化速度に関して二次関数的である。

証拠

この証明に先立ち、関連する数学的表記の曖昧さに対処することが重要です。変数変換を使用して等式を定めることができますが、 ${\mathcal {L}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)={\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$ 重要な点として、 ${\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\neq {\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$ この場合、右辺は常に0になります。偏微分の中で変数変換を行うには、多変数連鎖律を使用する必要があります。したがって、曖昧さを避けるために、偏微分の中の各項の関数引数を明記する必要があります。

さらに、この証明では以下の表記法を使用します。 $f(a,b,c)=f(a,b)$ 暗示する ${\frac {\partial f(a,b,c)}{\partial c}}=0$ 。

証拠

ハミルトニアン、一般化運動量、ラグランジアンの定義から始めて、 $n$ 自由度システム ${\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}p_{i}{\dot {q}}_{i}{\biggr )}-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$ $p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$ ${\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$

一般化運動量をハミルトニアンに代入すると、 ${\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$

ラグランジアンを結果に代入すると、 ${\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \left(T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\right)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-\left(T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)+V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\end{aligned}}$

ここで、 ${\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0\;,\quad \forall i$

また、次のように仮定します。 ${\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0$

これらの仮定を適用すると、 ${\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\end{aligned}}$

次に、Tが次の形式であると仮定します。 $T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}$

それぞれ $c_{ij}({\boldsymbol {q}})$ は、の任意のスカラー関数です。 ${\boldsymbol {q}}$ 。

これを区別すると、 ${\dot {q}}_{l}$ 、 $l\in [1,n]$ 与える ${\begin{aligned}{\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}{\frac {\partial \left[c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}\end{aligned}}$

総和を分割し、偏微分を評価し、総和を再び結合すると、 ${\begin{aligned}{\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}&=\sum _{i\neq l}^{n}\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+\sum _{i\neq l}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{l}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+c_{ll}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{l}^{2}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}\\&=\sum _{i\neq l}^{n}\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}0{\biggr )}+\sum _{i\neq l}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}+2c_{ll}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{l}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}\end{aligned}}$

合計（これに ${\dot {q}}_{l}$ ）以上 $l$ 結果として ${\begin{aligned}\sum _{l=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\dot {q}}_{l}\right)&=\sum _{l=1}^{n}\left(\left(\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}\right){\dot {q}}_{l}\right)\\&=\sum _{l=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}+\sum _{l=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}+\sum _{l=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{l}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}\\&=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\\&=2T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\end{aligned}}$

この簡略化は、オイラーの同次関数定理の結果である。

したがって、ハミルトニアンは次のようになる。 ${\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=2T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\end{aligned}}$

点質量系への応用

点質量のシステムの場合、 $T$ 一般化速度に関して二次関数であることは、以下の場合には常に満たされる。 $T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$ これは、 ${\mathcal {H}}=T+V$ ともかく。

証拠

N個の点質量からなる系の運動エネルギーを考えてみましょう。 $T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$ すると、次のことが示される。 ${\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)={\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$ （強膜§ 適用を参照）。したがって、運動エネルギーは $T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{\biggl (}m_{k}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}){\biggr )}$

多変数の連鎖律は速度を展開するために使用できる ${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})&={\frac {d\mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{dt}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\end{aligned}}$

その結果 ${\begin{aligned}T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})&={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(m_{k}\left(\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\cdot \sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\right)\right)\right)\\&=\sum _{k=1}^{N}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {1}{2}}m_{k}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {1}{2}}m_{k}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}\right){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}\end{aligned}}$

これは所定の形式です。

エネルギー保存の法則

条件が ${\mathcal {H}}=T+V$ が満たされるならば、ハミルトニアンの保存はエネルギーの保存を意味する。これには、次の追加条件が必要である。 $V$ 時間を明示的な変数として含まない。

${\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0$

要約すると、 ${\mathcal {H}}=T+V={\text{constant of time}}$ 非相対論的システムで満たされるべき条件は^{[ 5 ]}^{[ 6 ]である。}

$V=V({\boldsymbol {q}})$
$T=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$
$T$ は同次二次関数である ${\boldsymbol {\dot {q}}}$

散逸関数を用いるオイラー・ラグランジュ定式化の拡張（ラグランジュ力学§ 非保存力を含む拡張を参照）に関して、例えばレイリー散逸関数では、散逸関数が作用する場合、エネルギーは保存されません。このことと前述の要件との関連性は、拡張オイラー・ラグランジュ方程式と従来のオイラー・ラグランジュ方程式を関連付けることで説明できます。拡張項をポテンシャル関数にまとめると、速度依存のポテンシャルが生成されます。したがって、散逸関数が作用する場合、要件は満たされません。

電磁場中の荷電粒子のハミルトニアン

ハミルトン力学の十分な例として、電磁場中の荷電粒子のハミルトニアンが挙げられる。デカルト座標系では、電磁場中の非相対論的古典粒子のラグランジアンは（SI単位で）次のようになる。 ${\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi ,$ ここで、 $q$ は粒子の電荷、 $φ$ は電気スカラーポテンシャル、 $A i$ は磁気ベクトルポテンシャルの成分であり、これらはすべて明示的にに依存する可能性がある。 $x_{i}$ そして $t$ ⁠ .

このラグランジアンは、オイラー・ラグランジュ方程式と組み合わせることで、ローレンツ力法則を生み出す。 $m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,$ そしてそれは最小結合と呼ばれます。

正準運動量は次のように与えられる。 $p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}.$

ラグランジアンのルジャンドル変換であるハミルトニアンは次のようになる。 ${\mathcal {H}}=\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi .$

この方程式は量子力学で頻繁に用いられる。

ゲージ変換の下で： $\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,$ ここで、 $f (r, t)$ は空間と時間の任意のスカラー関数である。前述のラグランジアン、正準運動量、およびハミルトニアンは次のように変換される。 $L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,$ これは依然として同じハミルトンの方程式を生成する。 ${\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}$

量子力学では、ゲージ変換中に波動関数も局所的な U(1)群変換^{[ 7 ]}を受けるため、すべての物理的結果は局所的な U(1) 変換の下で不変でなければなりません。

シンプレクティック幾何学からハミルトンの方程式へ

ハミルトン系の幾何学

ハミルトニアンは、滑らかな偶数次元多様体 $M$ $2$ $n$ 上にいくつかの同等な方法でシンプレクティック構造を誘導することができ、最もよく知られているのは次のとおりである。^[⁸^]

閉じた非退化シンプレクティック 2形式ωとして。ダルブーの定理によれば、 $M$ 上の任意の点の周りの小さな近傍には適切な局所座標が存在する。 $p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}$ （正準座標またはシンプレクティック座標）において、シンプレクティック形式は次のようになる。 $\omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}\,.$ フォーム $\omega$ 接空間と余接空間の自然な同型写像を誘導する。 $T_{x}M\cong T_{x}^{*}M$ これはベクトルをマッピングすることによって行われます。 $\xi \in T_{x}M$ 1形式へ $\omega _{\xi }\in T_{x}^{*}M$ ⁠、そこで $\omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi )$ すべての人々のために $\eta \in T_{x}M$ ⁠ 。双線形性と非退化性のため、 $\omega$ ⁠、そして事実は、 $\dim T_{x}M=\dim T_{x}^{*}M$ ⁠、マッピング $\xi \to \omega _{\xi }$ これは確かに線形同型写像である。この同型写像は、座標変換によって変化しないという点で自然である。 $M.$ すべてについて繰り返す $x\in M$ ⁠、最終的に同型写像が得られます $J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)$ 滑らかなベクトル場の無限次元空間と滑らかな1形式の無限次元空間の間。 $f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ そして $\xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M)$ ⁠、 $J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).$

（代数的に言えば、 $C^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ -モジュール ${\text{Vect}}(M)$ そして $\Omega ^{1}(M)$ 同型である）。もし⁠ $H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} )$ ⁠、すると、任意の固定された⁠ $t\in \mathbb {R} _{t}$ ⁠、 ⁠ $dH\in \Omega ^{1}(M)$ ⁠、そして⁠ $J(dH)\in {\text{Vect}}(M)$ ⁠ . $J(dH)$ これはハミルトニアンベクトル場として知られています。 $M$ ${\dot {x}}=J(dH)(x)$ これはハミルトンの方程式 と呼ばれます。 $x=x(t)$ そして $J(dH)(x)\in T_{x}M$ これはベクトル場の（時間依存の）値です。 $J(dH)$ で $x\in M$ ⁠ .

ハミルトン系は、時間 $R$ 上のファイバー束 $E$ として理解でき、ファイバー $E$ $tは時間$ $t$ $\in$ $R$ における位置空間です。したがって、ラグランジアンは $E$ 上のジェット束 $J$ 上の関数です。ラグランジアンのファイバーごとのルジャンドル変換を取ると、時間上の双対束上の関数が得られ、そのファイバーは $tにおける$ 余接空間 $T$ $*$ $E$ $t$ であり、自然なシンプレクティック形式を備えており、この関数がハミルトンです。ラグランジアン力学とハミルトン力学の対応は、トートロジー 1 形式によって実現されます。

シンプレクティック多様体上の任意の滑らかな実数値関数Hを用いて、ハミルトニアン系を定義することができる。関数Hは「ハミルトニアン」または「エネルギー関数」として知られている。シンプレクティック多様体は位相空間と呼ばれる。ハミルトニアンは、シンプレクティック多様体上にハミルトニアンベクトル場と呼ばれる特別なベクトル場を誘導する。

ハミルトンベクトル場は多様体上にハミルトン流を誘導します。これは多様体の1パラメータ変換族（曲線のパラメータは一般に「時間」と呼ばれます）であり、言い換えれば恒等写像から始まるシンプレクティック同相写像の同位体です。リウヴィルの定理により、各シンプレクティック同相写像は位相空間上の体積形式を保存します。ハミルトン流によって誘導されるシンプレクティック同相写像の集合は、一般にハミルトン系の「ハミルトン力学」と呼ばれます。

シンプレクティック構造はポアソン括弧を誘導する。ポアソン括弧は、多様体上の関数空間にリー代数の構造を与える。

$F$ と $Gが$ $M$ 上の滑らかな関数である場合、滑らかな関数 $ω (J (dF), J (dG))$ は適切に定義されます。これは関数 $F$ と $Gの$ ポアソン括弧と呼ばれ、 ${$ $F$ $,$ $G$ $}$ と表記されます。ポアソン括弧は次の性質を持ちます。

双線形性
反対称性
ライプニッツの法則： $\{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}$
ヤコビ恒等式： $\{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0$
$非退化性： M$ 上の点 $xが$ $F$ にとって臨界点でないならば、滑らかな関数 $Gが$ 存在し、 $\{F,G\}(x)\neq 0$ ⁠ .

関数 $fが与えられた場合$ ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\left\{f,{\mathcal {H}}\right\},$ 確率分布 $ρ$ が存在する場合、（位相空間速度は $({\dot {p}}_{i},{\dot {q}}_{i})$ 発散がゼロであり、確率が保存される) 対流微分はゼロであることが示され、したがって ${\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\left\{\rho ,{\mathcal {H}}\right\}$

これはリウヴィルの定理と呼ばれています。シンプレクティック多様体上のすべての滑らかな関数 $G は$ 、 1 パラメータ族のシンプレクティック同相写像を生成し、 ${$ $G$ $,$ $H$ $} = 0$ の場合、 $G$ は保存され、シンプレクティック同相写像は対称変換になります。

ハミルトニアンは複数の保存量 $G i を$ 持つことがあります。シンプレクティック多様体の次元が $2 n$ $であり、 n$ 個の機能的に独立な保存量 $G i$ が互いに逆関係にある場合 (すなわち、 ${G i, G j} = 0$ )、ハミルトニアンはリウヴィル積分可能です。リウヴィル・アーノルドの定理によれば、局所的に、任意のリウヴィル積分可能なハミルトニアンは、シンプレクティック同相写像によって、保存量 $G i$ を座標とする新しいハミルトニアンに変換できます。この新しい座標は作用角座標と呼ばれます。変換されたハミルトニアンは $G i$ のみに依存するため、運動方程式は単純な形式になります。 ${\dot {G}}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F_{i}(G)$ ある関数 $F$ に対して。^{[ 9 ]} KAM 定理によって支配される可積分システムからの小さな偏差に焦点を当てた分野全体が存在する。

ハミルトンベクトル場の可積分性は未解決の問題である。一般に、ハミルトン系はカオス的であり、測度、完全性、可積分性、安定性といった概念は明確に定義されていない。

リーマン多様体

重要な特殊なケースは、二次形式であるハミルトニアン、つまり次のように書けるハミルトニアンです。 ${\mathcal {H}}(q,p)={\tfrac {1}{2}}\langle p,p\rangle _{q}$ ここで $、⟨ , ⟩ q$ は、ファイバー $T$ $*$ $q$ $Q$ 上の滑らかに変化する内積であり、構成空間内の点 $qの$ 余接空間であり、コメトリックと呼ばれることもあります。このハミルトニアンは、運動項のみで構成されています。

リーマン多様体または擬リーマン多様体を考えると、リーマン計量は接束と余接束の間に線形同型を誘導します（「音楽的同型」を参照）。この同型を用いて、コメトリックを定義できます（座標系では、コメトリックを定義する行列は計量を定義する行列の逆行列です）。このハミルトニアンに対するハミルトン・ヤコビ方程式の解は、多様体上の測地線と同じになります。特に、この場合のハミルトニアンの流れは測地線の流れと同じです。このような解の存在と解の集合の完全性については、測地線に関する記事で詳しく説明されています。「ハミルトニアンの流れとしての測地線」も参照してください。

部分リーマン多様体

収束が退化している場合、それは可逆ではありません。この場合、計量がないため、リーマン多様体は存在しません。しかし、ハミルトニアンは依然として存在します。収束が構成空間多様体 $Q$ のすべての点 $q$ で退化している場合、収束のランクが多様体 $Q$ の次元よりも小さい場合、部分リーマン多様体が得られます。

この場合のハミルトニアンは、部分リーマンハミルトニアンとして知られています。このようなハミルトニアンはそれぞれ、コメトリックを一意に決定し、その逆もまた同様です。これは、すべての部分リーマン多様体は、その部分リーマンハミルトニアンによって一意に決定され、その逆もまた真であることを意味します。つまり、すべての部分リーマン多様体は、一意の部分リーマンハミルトニアンを持ちます。部分リーマン測地線の存在は、チョウ・ラシェフスキーの定理によって与えられます。

連続実数値ハイゼンベルク群は、部分リーマン多様体の簡単な例を提供する。ハイゼンベルク群の場合、ハミルトニアンは次のように与えられる。 ${\mathcal {H}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right).$ $p z$ はハミルトニアンには含まれません。

ポアソン代数

ハミルトン系はさまざまな方法で一般化できます。シンプレクティック多様体上の滑らかな関数の代数を単純に調べる代わりに、ハミルトン力学は一般的な可換単位実ポアソン代数上で定式化できます。状態は、ポアソン代数（適切な位相を備えたもの）上の連続線形汎関数であり、代数の任意の要素 $A$ に対して、 $A$ $2 が$ 非負の実数に写像されます。

さらに一般化したものとして、南部動力学がある。

ポアソン括弧による量子力学への一般化

上記のハミルトンの方程式は古典力学には適していますが、量子力学には適していません。なぜなら、ここで議論されている微分方程式は、任意の時点において粒子の正確な位置と運動量を同時に指定できることを前提としているからです。しかし、ポアソン代数を $p$ と $q$ に関してモヤル括弧の代数に変形することで、これらの方程式をさらに一般化し、古典力学だけでなく量子力学にも適用できるように拡張することができます。

具体的には、ハミルトンの方程式のより一般的な形式は次のようになる。 ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left\{f,{\mathcal {H}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}},$ ここで $、fは$ $p$ と $q$ の何らかの関数であり、Hはハミルトニアンです。微分方程式に頼らずにポアソン括弧を評価する規則を見つけるには、リー代数を参照してください。ポアソン括弧は、ポアソン代数におけるリー括弧の名前です。これらのポアソン括弧は、ヒルブランド J. グローネウォルドによって証明されたように、非等価なリー代数に適合するモヤル括弧に拡張することができ、それによって位相空間における量子力学的拡散を記述することができます (位相空間定式化とウィグナー-ワイル変換を参照)。このより代数的なアプローチは、位相空間における確率分布を最終的にウィグナー準確率分布に拡張することを可能にするだけでなく、単なるポアソン括弧の古典的な設定においても、システム内の関連する保存量を分析するのに役立つより大きな力を提供します。

参考文献

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↑ランダウ＆リフシッツ 1976、33 ～34ページ
↑この導出は、 Arnol'd 1989 、pp. 65–66に示されている方法に沿ったものである
↑ Goldstein、Poole 、 Safko 2002 、pp. 347–349
1 2マルハム2016、49-50頁
1 2ランダウ＆リフシッツ 1976 、p.14
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↑ Arnol'd、Kozlov & Neĩshtadt 1988、§3. ハミルトン力学。
↑アーノルド、コズロフ、ノイシュタット 1988

さらに読む

ランダウ、レフ・ダヴィドヴィチ；リフシッツ、エフゲニー・ミハイロヴィチ（1976）。力学。理論物理学講義。第 1巻。サイクス、JB（ジョン・ブラッドベリー）、ベル、JS（第3 版）。オックスフォード。ISBN 0-08-021022-8. OCLC 2591126 . {{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク)
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外部リンク

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トング、デイビッド、『古典力学（ケンブリッジ講義ノート）』、ケンブリッジ大学、 2010年10月27日取得
ハミルトン、ウィリアム・ローワン、『動力学における一般的方法について』、トリニティ・カレッジ・ダブリン
マルハム、サイモン JA (2016)、ラグランジュ力学とハミルトン力学入門（講義ノート）（PDF）
モリン、デイビッド（2008）『古典力学入門（追加資料：ハミルトン法）』（PDF）

[1] ハミルトン、ウィリアム・ローワン卿 (1833)。特性関数の係数によって光と惑星の経路を表す一般的な方法について。PDハーディ印刷。OCLC 68159539。 {{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)

[2] ランダウ＆リフシッツ 1976、33 ～34ページ

[3] この導出は、 Arnol'd 1989 、pp. 65–66に示されている方法に沿ったものである

[Goldstein-4] Goldstein、Poole 、 Safko 2002 、pp. 347–349

[Malham2016-5] 1 2マルハム2016、49-50頁

[Landau1976-6] 1 2ランダウ＆リフシッツ 1976 、p.14

[7] ジン・ジャスティン、ジーン;グイダ、リッカルド (2008-12-04)。「ゲージ不変性」。スカラーペディア。3 (12): 8287。Bibcode : 2008SchpJ...3.8287Z。土井：10.4249/scholarpedia.8287。ISSN 1941-6016。

[FOOTNOTEArnol'dKozlovNeĩshtadt1988§3._Hamiltonian_mechanics-8] Arnol'd、Kozlov & Neĩshtadt 1988、§3. ハミルトン力学。

[9] アーノルド、コズロフ、ノイシュタット 1988

[ 1 ]

[ 2 ]です。

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