シュヴァルツトライアングル

整数値を持つシュワルツ三角形（メビウス三角形とも呼ばれる）には、1つのパラメータ族と3つの例外的なケースが含まれる。

1. [ p ,2] または ( p 2 2) –二面体対称性、
2. [3,3] または (3 3 2) –正四面体対称性、
3. [4,3] または (4 3 2) –八面体対称性、
4. [5,3] または (5 3 2) –正二十面体対称性、

密度別にグループ化されたシュワルツ三角形（p q r）：

密度1：

1. （3 3 3） – 60-60-60（正三角形）
2. （4 4 2） – 45-45-90（直角二等辺三角形）
3. (6 3 2) – 30-60-90、

密度2：

1. （6 6 3/2）- 120-30-30 三角形

密度 ∞:

1. (4 4/3 ∞)
2. (3 3/2 ∞)
3. (6 6/5 ∞)

密度1：

• (2 3 7), (2 3 8), (2 3 9) ... (2 3 ∞)
• (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) ... (2 4 ∞)
• (2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) ... (2 5 ∞)
• (2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) ... (2 6 ∞)
• (3 3 4), (3 3 5), (3 3 6) ... (3 3 ∞)
• (3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) ... (3 4 ∞)
• (3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) ... (3 5 ∞)
• (3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) ... (3 6 ∞)
• ...
• (∞ ∞ ∞)

密度2：

• (3/2 7 7), (3/2 8 8), (3/2 9 9) ... (3/2 ∞ ∞)
• (5/2 4 4), (5/2 5 5), (5/2 6 6) ... (5/2 ∞ ∞)
• (7/2 3 3), (7/2 4 4), (7/2 5 5) ... (7/2 ∞ ∞)
• (9/2 3 3), (9/2 4 4), (9/2 5 5) ... (9/2 ∞ ∞)
• ...

密度3：

• (2 7/2 7), (2 9/2 9), (2 11/2 11) ...

密度4：

• (7/3 3 7), (8/3 3 8), (3 10/3 10), (3 11/3 11) ...

密度6：

• (7/4 7 7), (9/4 9 9), (11/4 11 11) ...
• (7/2 7/2 7/2)、(9/2 9/2 9/2)、...

密度10:

• (3 7/2 7)

(2 3 7) シュワルツ三角形は最小の双曲シュワルツ三角形であり、そのため特に興味深い。その三角形群 (より正確には、向きを保存する等長変換の指数 2 のフォン ダイク群) は(2,3,7) 三角形群であり、これはすべてのフルヴィッツ群(リーマン面の等長変換の最大群)の普遍群である。すべてのフルヴィッツ群は (2,3,7) 三角形群の商であり、すべてのフルヴィッツ面は (2,3,7) シュワルツ三角形によってタイル張りされている。最小のフルヴィッツ群は位数 168 の単純群であり、2 番目に小さい非可換単純群であり、 PSL(2,7)と同型であり、関連するフルヴィッツ面 (種数 3) はクライン 4 次である。

（2 3 8）三角形は、種数2の非常に対称的な（ただしフルヴィッツではない）曲面であるボルツァ曲面をタイル状に敷き詰めます。

上記に挙げた、1つの非整数角を持つ三角形は、アンソニー・W・ナップによって初めて分類されました。^{[ 1 ]} 複数の非整数角を持つ三角形のリストは、^{[ 2 ]に記載されています。}

双曲三角形Δ の角度がπ / a、π / b、π / cであり、 a、b、c が1 より大きい整数であると仮定します。Δの双曲面積はπ − π / a − π / b − π / cに等しいので、

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}<1.}$

テセレーションの構築は、まずa、b、cが 2 より大きい場合について行われます。^{[ 3 ]}

元の三角形 Δ は、3 つの頂点を持つ凸多角形P ₁を形成します。3 つの頂点のそれぞれにおいて、頂点から伸びる辺を介して三角形を順次反転させることで、頂点の角度がπ / mである三角形の2 m個のコピーが生成されます。三角形は辺以外では重なり合わず、その半分は向きが反転しており、点の近傍をタイル状に敷き詰めるようにぴったりと合います。これらの新しい三角形と元の三角形の結合により、連結した形状P _{2が形成されます。これは、辺または頂点でのみ交差する三角形で構成され、すべての角度が}π以下で、各辺が反転した三角形の辺である凸多角形を形成します。Δ の角度がπ /3に等しい場合、P _{2の頂点の内角は}πになりますが、これはP ₂の凸性には影響しません。角度がπになるような退化的な場合でも、2つの共線エッジは、構成の目的においては依然として別個のものとして扱われる。

P ₂の構成は、いくつかの三角形またはタイルが 2 回追加されていることに注目すると、より明確に理解できます。この 3 つの三角形は、元の三角形と辺を共有しています。残りは、頂点のみを共有しています。タイル張りを実行するより体系的な方法は、まず各辺にタイル (その辺に関する三角形の鏡像) を追加し、次に各頂点の隙間を埋めることです。これにより、合計 3 + (2 a − 3) + (2 b − 3) + (2 c − 3) = 2( a + b + c ) − 6 個の新しい三角形ができます。新しい頂点は 2 種類あります。1 つは、元の三角形の辺に接続された三角形の頂点であり、Δ の 2 つの頂点に接続されています。これらのそれぞれは、その頂点で交差する 3 つの新しい三角形に属しています。残りは Δ の 1 つの頂点に接続され、共通の辺を持つ 2 つの新しい三角形に属しています。したがって、3 + (2 a − 4) + (2 b − 4) + (2 c − 4) = 2( a + b + c ) − 9 個の新しい頂点があります。構成上、重なりはありません。P ₂が凸であることを示すには、新しい頂点で交わる辺の間の角度がπ以下であることを確認するだけで十分です。しかし、新しい頂点は、その頂点で交わる 2 つまたは 3 つの新しい三角形の中にあるため、その頂点での角度は 2 π /3 またはπ以下であり、要求どおりです。

このプロセスは、P ₂の各辺にタイルを追加し、次に P 2 の各頂点の周囲にタイルを埋めることで、P 2_に対して繰り返して_{P 3}を得ることができます。次に、このプロセスをP _{3から繰り返して}P ₄を得ることができ、以下同様に、P _{n − 1}からP _{n を}順次生成できます。これらはすべて凸多角形であり、タイルが重ならないことが帰納的に確認できます。実際、プロセスの最初のステップと同様に、P _{n − 1}からP _{n を}構築する際には、 P _{n − 1}の辺に取り付けられたタイルと単一の頂点に取り付けられたタイルの 2 種類のタイルがあります。同様に、2 つの新しいタイルが接する頂点と 3 つのタイルが接する頂点の 2 種類があります。したがって、タイルが重ならない限り、上記の議論から、頂点の角度はπ以下であり、したがってP _nは凸多角形であることがわかります。^{[ a ]}

したがって、 P _{n − 1}からP _{n を}構築する際には、次のことが検証されなければならない。^{[ 4 ]}

(a)を証明するには、凸性により、多角形P _{n − 1}は、その境界を定義する完全な円弧によって定義される凸半空間の交点であることに注意します。したがって、P _{n − 1}の任意の頂点には、2 つの円弧が存在し、2 つのセクターを定義します。1 つのセクターにはP _{n − 1}の内部が含まれ、もう 1 つのセクターには、その頂点の周りに追加された新しい三角形の内部が含まれます。これは、メビウス変換を使用して上半平面を単位円盤に、頂点を原点にマッピングすることで視覚化できます。多角形の内部と各新しい三角形は、単位円盤の異なるセクターにあります。したがって、(a) が証明されます。

(c)と(b)を証明する前に、メビウス変換を適用して上半平面を単位円盤に写像し、Δの内部の固定点を原点に写像することができる。

(c) の証明は帰納法によって行われます。原点から多角形P _{n − 1}の頂点を結ぶ半径は、その頂点で多角形の各辺と2 π /3未満の角度をなすことに注意してください。これは、 P _{n − 1}の三角形がちょうど 2 つその頂点で交わる場合です。各三角形はその頂点でπ /3以下の角度を持つからです。P _{n − 1}の三角形が 3 つ頂点 Cで交わる場合にこれが真であることを確認するために、中央の三角形の底辺が P n − 2 の辺 AB 上にあるとします。帰納_法により、半径OAとOBは辺ABと 2 π /3以下の角度をなします。この場合、半径OAとOBの間の辺AB の外側の扇形の領域は、 3 つの凸領域の交点として凸です。帰納法により、 AとBの角度はπ /3以上です 。したがって、 AとBからCへの測地線は、その領域から始まります。凸性により、三角形ABC は領域内に完全に含まれる。四角形OACB は、すべての角がπ未満である( OAB は測地線三角形であるため) ので凸である。したがって、半径OC は、点C付近の三角形ABCの角の内側にある。したがって、 OCと点Cで交わるP _{n − 1}の 2 辺との間の角は、主張どおりπ /3 + π /3 = 2 π /3以下である。

(b)を証明するには、 P _n内の新しい三角形がどのように交差するかを調べる必要があります。

まず、 P _{n − 1}の辺に追加されたタイルについて考えます。(c) と同様の表記法を採用し、タイルの底辺をAB 、3 番目の頂点をCとします。すると、半径OAとOB は辺ABと 2 π /3以下の角度をなします。(c) の証明の推論を適用して、三角形ABC が半径OAとOBによって定義される扇形の範囲内にあることを証明します。これは、 P _{n − 1}の各辺について真です。異なる辺によって定義される扇形の内部は互いに素であるため、この種の新しい三角形は主張どおりにのみ交差します。

次に、 P _{n − 1}の各頂点に追加されるタイルについて考えます。頂点をAとすると、 P _{n − 1}の2 つの辺AB ₁とAB _2がAで交わります。これらの辺に追加されるタイルの頂点をC ₁とC _{2とします。A に追加されるタイルは、半径}OB ₁とOB ₂で定義される扇形内に存在します。頂点がC ₂ O、C ₁ 、そして追加タイルの頂点である多角形は、すべての内角がπ未満であるため凸です。したがって、半径OC ₁とOC ₂で定義される扇形内に完全に含まれます。これらの扇形の内部はすべて互いに素であるため、これは追加されるタイルの交差に関するすべての主張を裏付けています。

最後に、三角形の和集合によって形成されるタイリングが上半平面全体を覆うことを証明する必要があります。タイリングで覆われる任意の点z は多角形P _n内にあり、したがって多角形P _{n + 1}内にもあります。したがって、元の三角形 Δ のコピーと、P _{n + 1}内に完全に含まれるP _{2のコピーの両方に存在します。Δ と}P ₂の外部との間の双曲距離はr > 0に等しくなります。したがって、 zとタイリングで覆われていない点との間の双曲距離は少なくとも rです。これはタイリング内のすべての点に当てはまるため、タイリングで覆われる集合は閉じています。一方、タイリングは多角形P _nの内部の和集合と一致するため、開いています。連結性により、テセレーションは上半平面全体を覆う必要があります。

角度 Δ が直角の場合の処理​​方法を確認するには、次の不等式に注目してください。

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}<1}$。

これは、角度の 1 つが直角、例えばa = 2 である場合、bとcの両方が 2 より大きく、そのうちの 1 つ、例えばb が3 より大きくなければならないことを意味します。この場合、三角形を辺 AB に関して対称移動すると、角度がπ / c、π / c、および 2 π / bの二等辺双曲三角形が得られます。2 π / b ≤ π /3、つまりbが 5 より大きい場合、2 倍になった三角形のすべての角度はπ /3以下になります。この場合、凸多角形を増やすことによって上記のテセレーションを構成する方法は、角度 2 π / b の頂点の周囲では、頂点の近傍をタイル張りするために三角形のコピーが b 個だけ必要で、2 b 個は必要ないことを除いて、このケースにそのまま適用されます。これは、 2倍になった三角形が二等辺三角形であるため可能です。2 倍になった三角形のテセレーションは、すべての大きな三角形を半分に切った元の三角形のテセレーションになります。^{[ 5 ]}

b が4または 5 の場合を扱わなければなりません。b = 4 の場合、c ≥ 5 です。この場合、c ≥ 6 であれば、bとcを入れ替えることができ、上記の議論が適用され、b = 4 かつc = 5 の場合が残ります。b = 5 の場合、 c ≥ 4 です。c ≥ 6 の場合は、 bとc を入れ替えることで処理できるため、追加のケースはb = 5 かつc = 5 のみです。この最後の二等辺三角形は、最初の例外的な三角形の 2 倍バージョンであるため、三角形 Δ ₁ (角度がπ /2、π /4、π /5、双曲面積がπ /20) のみを考慮すれば済みます (下記参照)。Carathéodory (1954)は、他の 2 つの角度がπ /4以下であるすべての直角三角形に適用できる一般的な方法でこのケースを扱っています。P ₂、P ₃ 、...を構成する従来の方法は、頂点に3π /2の角度が生じるたびに三角形を 1 つ追加することで修正されます。同じ推論は、重なりがなく、タイル張りが双曲上半平面を覆うことを証明するためにも適用されます。^{[ 5 ]}

一方、与えられた構成は算術三角形群を生み出す。これらは最初にFrickeとKlein (1897)によって研究され、膨大な文献を生み出した。1977 年に Takeuchi は算術三角形群の完全な分類 (有限個しかない) を得て、それらの 2 つが可換になる条件を決定した。具体的な例はBring の曲線に関連しており、算術理論によれば、Δ ₁の三角形群は、角度π /4、π /4、π /5 を持つ三角形 Δ ₂ の三角形群を指数 6 の非正規部分群として含む。^{[ 6 ]}

三角形 Δ ₁と Δ ₂を 2 倍にすると、角度がπ /2、π /5、π /5 で双曲面積がπ /10の 6 つの三角形 Δ _{3と、角度が}π / 5、π / 5 、 π /10 で双曲面積が 3 π /5の三角形 Δ ₄の間に関係があるはずであることがわかります。Threlfall (1932) は、算術理論を参照することなく、完全に初等的な幾何学的手段によってこのような関係を直接確立しました。実際、下の 5 番目の図に示すように、Δ ₄型の三角形の辺に関して反射して得られる四角形は、 Δ ₃型の 12 個の三角形でタイル張りできます。Δ ₄型の三角形によるテセレーションは、このセクションの主要な方法で扱うことができます。したがって、これは Δ ₃型と Δ ₁型の三角形によるテセレーションの存在を証明します。^{[ 7 ]}

尖点が1つまたは2つあるシュワルツ三角形の場合、タイル張りのプロセスはより単純になりますが、これらが双曲上半平面を網羅することを証明するには、ヘッケに遡る別の方法を用いる方が容易です。

尖点が 1 つで、非ゼロの角度π / a、π / b （ a、bは1 より大きい整数）の場合、単位円盤内で、頂点が角π / aを持つ原点にタイリングを想定できます。タイリングは、連続的な反射によって原点に三角形の 2 a − 1 個のコピーを追加することから始まります。これにより、2 a 個の尖点と、2 つの 2 a個の頂点の間にそれぞれπ / bの角度を持つ多角形P _{1が生成されます。したがって、この多角形は凸です。P} 1の非理想的な頂点ごとに、その頂点を持つ一意の三角形をその頂点を中心に相似反射することができ、その結果、2 b − 1 個の新しい三角形、2 b − 1 個_の新しい理想的な点、および 2 b − 1 個の新しい角がπ / aの角度で追加されます。結果として得られる多角形P _2は、2 a (2 b − 1) 個の尖点と、それぞれπ / aの角度を持つ同じ数の頂点から構成されるため、凸多角形です。このプロセスをこのように続けることで、凸多角形P ₃、P ₄などを得ることができます。多角形P _{n は}、 nが偶数の場合は0 からπ / aまで、 nが奇数の場合は 0 からπ / bまで交互に角度を持つ頂点を持ちます。構成上、三角形は辺または頂点でのみ重なり合うため、タイル状になります。^{[ 8 ]}

三角形に 2 つの尖点と 1 つの非ゼロ角π / aがある場合、三角形が 1 つの尖点と非ゼロ角π / aおよび π / b ( b = 2 ) を持つ三角形の 2 倍であることに注目すると、尖点が 1 つの場合に帰着します。その後、タイル張りは以前と同様に進められます。^{[ 9 ]}

これらがテセレーションを与えることを証明するには、上半平面で作業する方が便利です。 2 つの尖点の場合、1 つの尖点とπ / aおよびπ /2 の非ゼロの角度を持つ三角形を 2 倍にすることで得られるため、両方のケースを同時に扱うことができます。 そこで、上半平面で、角度が 0、π / a、π / bで、 a、bが 1 より大きい整数である測地線三角形を考えます。 このような三角形の内部は、単位円上の点uとvを通る虚軸に平行な 2 つの直線の間にある、単位円盤 | z | ≤ 1 の外側にある上半平面の領域Xとして実現できます。 Γ を、三角形の 3 つの側面での反射によって生成される三角形群とします。

三角形の連続する鏡映が上半平面を覆うことを証明するには、上半平面内の任意のzに対して、 g ( z )がXに含まれるようなgが Γ 内に存在することを示せば十分である。これは、ヘッケ群の理論から簡略化されたエヴァンス (1973)の議論によって導かれる。λ = Re aおよび μ = Re bとすると、一般性を失うことなく、λ < 0 ≤ μ となる​​。辺に関する 3 つの鏡映は次のように与えられる。

${\displaystyle R_{1}(z)={\frac {1}{\overline {z}}},\ R_{2}(z)=-{\overline {z}}+\lambda ,\ R_{3}(z)=-{\overline {z}}+\mu .}$

したがって、T = R ₃ ∘ R ₂は μ − λ による並進です。上半平面内の任意のz _{1に対して、} Tによって生成される Γ の部分群 Γ _1に要素g _{1が存在し、} w ₁ = g ₁ ( z ₁ ) が λ ≤ Re w ₁ ≤ μ を満たします。つまり、この帯は並進群 Γ _1の基本領域です。 | w ₁ | ≥ 1 の場合、w _1はXに含まれ、結果が証明されます。 そうでない場合は、z ₂ = R ₁ ( w ₁ )とし、 w ₂ = g ₂ ( z ₂ ) が λ ≤ Re w ₂ ≤ μ を満たす g 2 Γ 1 を見つけます。 | w 2 | ≥ 1 の場合、結果_が 証明_され_ます。 このように続けると、あるw _nが| w _n | ≥ 1 を満たし、その場合は結果が証明されます。または | w _n |すべてのnに対して < 1 です。g n _{+ 1は}Γ ₁に含まれ、| w _n | < 1なので、

${\displaystyle \operatorname {Im} g_{n+1}(z_{n+1})=\operatorname {Im} z_{n+1}=\operatorname {Im} {\frac {w_{n}}{|w_{n}|{}^{2}}}={\frac {\operatorname {Im} w_{n}}{|w_{n}|{}^{2}}}。}$

特に

${\displaystyle \operatorname {Im} w_{n+1}\geq \operatorname {Im} w_{n}}$

そして

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Im} w_{n+1}}{\operatorname {Im} w_{n}}}=|w_{n}|^{-2}\geq 1.}$

したがって、上記の不等式から、点 ( w _n ) はコンパクト集合 | z | ≤ 1、λ ≤ Re z ≤ μ および Im z ≥ Im w ₁に含まれる。このことから、| w _n | は 1 に収束することがわかる。そうでなければ、無限個のmに対して| w _m | ≤ rとなるr < 1が存在し、上記の最後の式から Im w _{n が}無限大に収束することになり、矛盾が生じる。

w をw _nの極限点とすると、| w | = 1 となる。したがって、 wはuとvの間の単位円弧上にある。w ≠ u 、 v の場合、R 1 w nは_、n_が十分に大きいときX内にあり、仮定に反する。したがって、w = uまたはvである。したがって、nが十分に大きいとき、w _{n は}uまたはvの近くにあり、したがって、頂点uまたはvに関する三角形の反射のいずれかになければならない。なぜなら、これらはuとvの近傍を埋めるからである。したがって、 g ( w _{n ) が}X内にあるような Γ の要素gが存在する。構成により、w _nはz ₁の Γ 軌道内にあるので、この軌道内にX内にある点が存在することが導かれる。これは要求どおりである。^{[ 10 ]}

単位円上にすべての頂点を持ち、すべての角が0である理想的な三角形のテセレーションは、 1つの尖点と2つの非ゼロ角π /3およびπ /2を持つ三角形のテセレーションの特殊な場合と考えることができます。実際、理想的な三角形は、小さな三角形を角π / 3の頂点に関して対称移動することによって得られる、尖点が1つの三角形の6つのコピーで構成されています。

しかし、タイリングの各ステップは、円または等価的に実軸上の新しい尖点の位置によって一意に決定され、これらの点は、Series (2015)、Hatcher (2013 、pp. 20–32)、およびHardy & Wright (2008 、pp. 23–31)に従って、 Farey 級数の観点から直接理解できます。これは、テセレーションを生成する基本ステップ、つまり理想的な三角形をその辺の 1 つで反射することから始まります。反射は、射影幾何学における反転のプロセスに対応し、交差比で定義できる射影調和共役を取ることになります。実際、 p、q、r、s がリーマン球面上の異なる点である場合、 p、q、sをそれぞれ 0、∞、1 に送る一意の複素メビウス変換gが存在します。交差比 ( p , q ; r , s ) はg ( r )と定義され、次の式で与えられる。  

${\displaystyle (p,q;r,s)={\frac {(pr)(qs)}{(ps)(qr)}}.}$

定義により、メビウス変換に対して不変です。a、b が実軸上にある場合、aと b に関する c の調和共役は、( a 、 b ; c 、 d ) = −1 となる唯一の実数dとして定義されます。したがって、たとえばa = 1 かつb = −1 の場合、 rの共役は1/ rです。一般に、メビウス不変性を使用して、 a、b、cに関するdの明示的な式を得ることができます。実際、直径がaとbの端点を持つ円の中心t = ( a + b )/ 2を 0 に平行移動すると、d − tはa − tとb − tに関するc − tの調和共役になります。円の半径は ρ = ( b − a )/2 なので、( d − t )/ρ は1 と −1 に関する( c − t )/ρの調和共役になります。したがって

$\displaystyle {\frac {dt}{\rho }}={\frac {\rho }{ct}}}$

となることによって

${\displaystyle d={\frac {\rho ^{2}}{rt}}+t={\frac {(ca)b+(cb)a}{(ca)+(cb)}}.}$

これから、そのような理想三角形のパラメーター化が、簡約形の有理数によって与えられることを示す。

${\displaystyle a={\frac {p_{1}}{q_{1}}},\ b={\frac {p_{1}+p_{2}}{q_{1}+q_{2}}},\ c={\frac {p_{2}}{q_{2}}}}$

aとcは「隣接条件」p ₂ q ₁ − q ₂ p ₁ = 1を満たす。

中間項bは、外側の項のファレイ和またはメディアンと呼ばれ、次のように表記されます。

${\displaystyle b=a\oplus c.}$

反射三角形の公式は次のようになります。

${\displaystyle d={\frac {p_{1}+2p_{2}}{q_{1}+2q_{2}}}=a\oplus b.}$

同様に、2 番目の半円内の反射三角形は新しい頂点b ⊕ cを与えます。 aとb が隣接条件を満たし、 bとcも同様に隣接条件を満たすことがすぐに確認できます。

この手順は、頂点が 0、1、∞ の基本三角形 Δ を順次反射して得られる三角形を追跡するために使用できます。 0 ≤ Re z ≤ 1 の帯を考慮すれば十分です。なぜなら、直線 Re z = 0 と 1 で反射を適用することで、同じ図が平行な帯に再現されるからです。頂点が 0、1、∞ の理想的な三角形は、底辺が [0,1] の半円で反射され、頂点がa = 0、b = 1/2、c = 1 の三角形になります。したがって、a = 0/1 とc = 1/1 は隣接しており、b = a ⊕ cです。半円は、底辺が [ a、b ] と [ b、c ]の 2 つの小さな半円に分割されます。これらの各区間は、同じプロセスで 2 つの区間に分割され、結果として 4 つの区間になります。この手順を続けると、8、16、32といったように、さらに細かく分割されます。n番目の段階では、 2n個の隣接する区間があり^、それぞれに²ⁿ +1個の端点があります。上記の構成から、連続する端点が隣接条件を満たすことがわかり、鏡映によって得られる新しい端点はFareyの和の公式で与えられます。

タイリングが双曲平面全体を覆っていることを証明するには、[0,1] のすべての有理数が最終的に端点として現れることを示せば十分です。これを確認する方法はいくつかあります。最も基本的な方法の 1 つは、Graham、Knuth 、およびPatashnik (1994)が、 n番目の段階で現れる新しい有理数の端点をコード化するStern–Brocot 木の理論を、連分数を使用せずに展開した際に説明されています。彼らは、すべての有理数が現れることを直接証明しています。実際、{0/1,1/1} から始めて、n番目のレベルのすべての連続する項p / q、r / sの間にFarey 和またはメディアン( p + r )/( q + s )を追加することによって、レベルn +1で連続する端点が導入されます(上記のように) 。x = a / bを、 aとbが互いに素である 0 と 1 の間の有理数とします。あるレベルでxが連続する項p / q < x < r / sの間に挟まれていると仮定します。これらの不等式によりaq – bp ≥ 1および br – as ≥ 1となり、したがってrp – qs = 1なので、

${\displaystyle a+b=(r+s)(ap-bq)+(p+q)(br-as)\geq p+q+r+s.}$

これにより、分子と分母の合計に上限が設定されます。一方、中央値( p + r )/( q + s ) を導入すると、xと等しくなるか、または、分子と分母の合計が厳密に大きいxを含む新しい区間が得られます。したがって、このプロセスは最大でa + bステップで終了する必要があり、これによりxが現れることが証明されます。^{[ 11 ]}

2つ目のアプローチは、モジュラー群G = SL(2, Z ) に依存している。^{[ 12 ]}ユークリッドアルゴリズムによれば、この群は行列によって生成される。

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\,\,\,T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

実際、H をSとTによって生成されるGの部分群とする。

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

SL(2, Z )の要素とする。したがってad − cb = 1 となり、aとc は互いに素である。

${\displaystyle v={\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}},\,\,\,u={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

必要に応じてSを適用すると、| a | > | c |であると仮定できます（互いに素であるため、等号は成立しません）。0 ≤ r ≤ | c |でa = mc + rと書きます。しかし、

${\displaystyle T^{-m}{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\\c\end{pmatrix}}.}$

このプロセスは、いずれかのエントリが 0 になるまで続けることができ、その場合、もう一方のエントリは必然的に ±1 になります。必要に応じてSのべき乗を適用すると、あるh ∈ Hに対してv = h uとなります。したがって

${\displaystyle h^{-1}g={\begin{pmatrix}1&p\\0&q\end{pmatrix}}}$

p、qは整数である。明らかにp = 1なので、h ⁻¹ g = T ^qとなる。したがって、g = h T ^qはHに含まれる。

[0,1] のすべての有理数が存在することを証明するには、G がΔ をテセレーション内の三角形に写像することを示せば十分です。これは、まずSとTが Δ をそのような三角形に写像することに注目することで導かれます。実際、メビウス変換として、S ( z ) = −1/ zおよびT ( z ) = z + 1 なので、これらは Δ の 2 つの辺の鏡映を与えます。しかし、SとT はΔ の辺の鏡映を、Γ 内にあるS Δ とT Δ の辺の鏡映に共役します。したがって、 G はΓ を正規化します。テセレーション内の三角形は、 gがΓ 内にあるg Δの形の三角形とまったく同じなので、 SとT、したがってGのすべての要素がテセレーション内の三角形を置換します。すべての有理数は、g が G内にあるg (0) の形なので、[0,1] 内のすべての有理数はテセレーション内の三角形の頂点です。

理想的な三角形の反射群とテセレーションは、リーマン球面上の互いに素な入れ子になっていない 3 つの円のショットキー群の極限の場合とみなすこともできます。この群もまた、3 つの円における双曲反射によって生成されます。どちらの場合も、3 つの円は直交する共通の円を持ちます。メビウス変換を使用すると、それは単位円、または同等に上半平面の実軸であると仮定できます。^{[ 13 ]}

この小節では、カール・ルートヴィヒ・ジーゲルによる三角形のテセレーション定理へのアプローチの概要を説明します。ジーゲルのより初等的ではないアプローチは凸性を使用せず、代わりにリーマン面、被覆空間、および被覆に関するモノドロミー定理のバージョンに依拠しています。これは、より一般的なポアンカレ多角形定理の証明を与えるように一般化されています。（内角が 2π/n の正 n 角形によるタイリングの特殊なケースは、角度がπ / n、π / n、およびπ /2のシュワルツ三角形によるテセレーションの直接的な結果であることに注意してください。）^{[ 14 ] [ 15 ]}

Γ を自由積Z ₂ ∗ Z ₂ ∗ Z ₂とする。 Δ = ABCが角度π / a、π / bおよびπ / cを持つシュワルツ三角形であり、a、b、c ≥ 2 である場合、Γ から Δ の辺の鏡映によって生成される群への自然な写像が存在する。 Γ の要素は、隣接する 2 つの生成元が等しくない 3 つの生成元の積によって記述される。 頂点A、BおよびCでは、頂点で交わる辺の鏡映の積によって、角度 2 π / a、2 π / bおよび 2 π / cによる回転が定義される。g _A、g _Bおよびg _Cを Γ = Z ₂ ∗ Z ₂ ∗ Z ₂の対応する生成元の積とする。 Γ _{0 を}Γ の指数 2 の正規部分群とし、偶数個の生成元の積である要素から構成される。そして、Γ _{１ を、（} ｇ_Ａ）^ａ、（ｇ_Ｂ）^ｂ、および（ｇ_Ｃ）^ｃによって生成されるΓ の正規部分群とする。これらはΔに対して自明に作用します。Γ = Γ/Γ ₁およびΓ ₀ = Γ ₀ /Γ ₁とします。

Γの要素と辺の識別によってインデックス付けされたΔのコピーの非交和は、リーマン面 Σ の自然な構造を持つ。三角形の内部点には、明らかなチャートが存在する。辺の内部点として、チャートは三角形を辺に関して反射することによって得られる。内角π / nの三角形の頂点では、チャートはその頂点を中心に三角形を順次反射することによって得られる 2 n個のコピーから得られる。群Γは Σ のデッキ変換によって作用し、 Γ ₀の要素は正則写像として作用し、Γ ₀に含まれない要素は反正則写像として作用する。

Σから双曲平面への自然な写像Pが存在する。Γ内のラベルgを持つ三角形の内部はg (Δ)に写像され、辺は辺に、頂点は頂点に写像される。辺の内部点の近傍が像の近傍に写像されることも容易に確認でき、頂点についても同様である。したがって、Pは局所的に同相写像であり、開集合を開集合に写像する。像P (Σ)、すなわち平行移動g ( Δ )の和集合は、上半平面の開部分集合である。一方、この集合は閉集合でもある。実際、点がΔに十分近い場合、それはΔの平行移動内にあるはずである。実際、各頂点の近傍はΔの鏡像で満たされ、点がこれら 3 つの近傍の外側にあるが、それでもΔに近い場合、それはΔの 3 つの鏡像の辺上にあるはずである 。したがって、 z がΔから δ 未満の距離にあるならば、zはΔのΓ平行移動に含まれるような δ > 0 が存在する。双曲距離はΓ不変であるため、z がΓ( Δ )から δ 未満の距離にあるならば、実際には Γ( Δ ) に含まれることになり、この和集合は閉じている。連結性により、 P (Σ) は上半平面全体であることがわかる。

一方、Pは局所同相写像なので、被覆写像です。上半平面は単連結なので、Pは単射であり、したがって Δ の平行移動は上半平面を敷き詰めます。これは、リーマン面の被覆に関するモノドロミー定理の次のバージョンの帰結です。Qがリーマン面 Σ ₁と Σ ₂の間の被覆写像である場合、Σ ₂の任意のパスはΣ ₁のパスに持ち上げることができ、同じ端点を持つ任意の 2 つの同相パスは同じ端点を持つ同相パスに持ち上げられます。その直接の系として、Σ ₂が単連結であれば、Q は同相写像でなければなりません。^{[ 16 ]}これを適用するには、Σ ₁ = Σ、Σ ₂を上半平面、Q = Pとします。モノドロミー定理の系により、P は単射でなければなりません。

また、g (Δ) = Δ となるのは、 g がΓ ₁に含まれる場合のみであり、したがってΓ ₀からメビウス群への準同型写像は忠実である。

シュワルツ三角形のテセレーションは、ジャック・ティッツ^{[ 17 ]}によって代数的に、またアーネスト・ヴィンバーグ^{[ 18 ]}によって幾何学的に発展した双曲反射群の理論に続く、無限コクセター群の理論の一般化と見なすことができる。ロバチェフスキー平面または双曲平面の場合、そのアイデアは19世紀のアンリ・ポアンカレとヴァルター・フォン・ダイクの研究に由来する。しかし、ジョセフ・レーナーがMathematical Reviewsで指摘しているように、シュワルツ三角形の反射がテセレーションを生成するという厳密な証明はしばしば不完全であり、彼自身の1964年の著書「不連続群と保型関数」はその一例である。^{[ 19 ] [ 20 ]}カラテオドリの1950年の教科書『関数理論』における初歩的な扱い（1954年に英語に翻訳）と、シーゲルの1954年のモノドロミー原理を用いた説明は厳密な証明である。ここでは、双曲反射群の分類の一般的な枠組みの中で、コクセター群を用いたアプローチを要約する。^{[ 21 ]}

r 、s、tを記号とし、a、b、c ≥ 2を整数（場合によっては∞）とする。

$${\displaystyle {1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over c}<1.}$$

Γ を、生成元r、s、tがすべて対合であり、以下 の条件を満たす表示を持つ群と定義する。$${\displaystyle {\begin{aligned}(st)^{a}&=1,\\[2pt](tr)^{b}&=1,\\[2pt](rs)^{c}&=1.\end{aligned}}}$$ いずれかの整数が無限大であれば、積の位数は無限大になります。生成元r、s、tは単純反射と呼ばれます。

セット^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{a}}&{\text{if }}a\geq 2{\text{ is finite,}}\\[2pt]\cosh x,\ x>0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\\[8pt]B&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{b}}&{\text{if }}b\geq 2{\text{ is finite,}}\\[2pt]\cosh y,\ y>0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\\[8pt]C&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{c}}&{\text{if }}c\geq 2{\text{ is finite,}}\\[2pt]\cosh z,\ z>0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$ e r、e _s、e _tを対称 双線形形式Λを持つ3 次元実ベクトル空間Vの基底とする_。$${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda (\mathbf {e} _{s},\mathbf {e} _{t})&=-A,\\[2pt]\Lambda (\mathbf {e} _{t},\mathbf {e} _{r})&=-B,\\[2pt]\Lambda (\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{s})&=-C,\end{aligned}}}$$ 3つの対角成分が1に等しい。対称双線形形式Λは非退化であり、符号は(2, 1)である。定義： $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{r})\mathbf {e} _{r}\\[2pt]\sigma (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{s})\mathbf {e} _{s}\\[2pt]\tau (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{t})\mathbf {e} _{t}\end{aligned}}}$$

定理（幾何学的表現）。演算子ρ、σ、τはV上の対合であり、それぞれの固有ベクトルe _r、 e _s、e _tは単純固有値−1 を持つ。演算子の積は、上記の表現に対応する位数を持つ（したがって、στの位数はaなど）。演算子ρ、σ、τ は、 Λを保存するV上のΓの表現を誘導する 。

基底の双線形形式Λは行列を持つ

$${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&-C&-B\\-C&1&-A\\-B&-A&1\\\end{pmatrix}},}$$

行列式も $${\displaystyle \det(M)=1-A^{2}-B^{2}-C^{2}-2ABC.}$$c = 2 の場合、行列の固有値は次のようになります。${\displaystyle 1,\ 1\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}.}$状態${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}+{\tfrac {1}{b}}<{\tfrac {1}{2}}}$直ちに${\displaystyle A^{2}+B^{2}>1,}$したがって、Λ は符号(2, 1)を持たなければなりません。一般にa、b、c ≥ 3です。明らかに、すべてが 3 に等しいケースは不可能です。しかし、その場合、行列の行列式は負で、トレースは正になります。結果として、2 つの固有値は正で 1 つの固有値は負になります。つまり、Λは符号(2, 1)を持ちます。明らかに、ρ、σ、τは対合であり、与えられた −1 の固有ベクトルでΛを保存します。

στのような積の順序を確認するには、次の点に注意すれば十分です。

1. 反射σとτは有限または無限の二面体群を生成する。
2. e _sとe _tの2 次元線形スパンU は、 Λが正定値であるという制約の下で、σとτの下で不変である。
3. Uの直交補空間であるWはΛ上で負定値であり、 σとτ はW上で自明に作用する。

（１）は、 γ = στの場合、 σγσ ⁻¹ = γ ⁻¹の正規部分群を生成するため明らかである。 （２）については、Uは定義により不変であり、行列は正定値である。${\displaystyle 0<\cos {\tfrac {\pi }{a}}<1.}$Λの符号は(2, 1)なので、 W内の非ゼロベクトルw はΛ( w , w ) < 0を満たさなければなりません。定義により、σ はU上で固有値 1 と −1 を持つので、w はσによって固定されなければなりません。同様に、 w はτによって固定されなければならないので、(3) が証明されます。最後に、(1) において

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\sigma (\mathbf {e} _{s})&=-{\mathbf {e} }_{s},&\quad \tau (\mathbf {e} _{s})&=2\cos({\tfrac {\pi }{a}})\,\mathbf {e} _{s}+\mathbf {e} _{t},\\[2pt]\sigma (\mathbf {e} _{t})&=2\cos({\tfrac {\pi }{a}})\,\mathbf {e} _{s}+\mathbf {e} _{t},&\quad \tau (\mathbf {e} _{t})&=-{\mathbf {e} }_{t},\end{alignedat}}}$$

したがって、aが有限であれば、 στの固有値は−1、ς、およびς ⁻¹であり、ここで ${\displaystyle \varsigma =e^{\frac {2\pi i}{a}};}$aが無限大の場合、固有値は−1、X、X ⁻¹であり、ここで${\displaystyle X=e^{2x}.}$さらに、簡単な帰納法の議論により、${\displaystyle \theta ={\tfrac {\pi }{a}}}$それから^{[ 23 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sin(2m+1)\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sin 2m\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{t},\\[4pt]\tau (\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sin(2m+1)\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sin(2m+2)\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{t},\end{aligned}}}$$

そして、x > 0 の場合

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sinh(2m+1)x}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sinh 2mx}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{t},\\[4pt]\lim _{x\to 0}\ (\sigma \tau )^{m}(\mathbf {e} _{s})&=(2m+1)\mathbf {e} _{s}+2m\mathbf {e} _{t};\\[12pt]\tau (\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sinh(2m+1)x}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sinh(2m+2)x}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{t},\\[4pt]\lim _{x\to 0}\,\tau (\sigma \tau )^{m}(\mathbf {e} _{s})&=(2m+1)\mathbf {e} _{s}+(2m+2)\mathbf {e} _{t}.\end{aligned}}}$$

Γ _{a を}sとtによって生成されるΓの二面体部分群とし、 Γ _bとΓ _cについても同様の定義とする。同様に、Γ _{r を}2 次元群{1, r } によって与えられるΓの巡回部分群とし、Γ _sとΓ _tについても同様の定義とする。幾何学的表現の性質から、これら 6 つの群はすべてVに忠実に作用する。特に、 Γ _{a は}σとτによって生成される群と同一視できる。上記のように、Γ a は 2 次元既約部分空間Uと 1 次元部分空間Wの直和として明示的に分解され、自明な作用を持つ。したがって、一意のベクトルが存在する。 $${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {e} _{r}+\lambda \mathbf {e} _{s}+\mu \mathbf {e} _{t}}$$W においてσ ( w ) = wおよびτ ( w ) = w を満たす。具体的には、 $${\displaystyle \lambda ={\frac {C+AB}{1-A^{2}}},\quad \mu ={\frac {B+AC}{1-A^{2}}}.}$$

二面体群の表現に関する注記。有限次元実内積空間の場合、2 つの直交対合 S と T は、2 次元または 1 次元の不変空間の直交直和として分解できることはよく知られています。たとえば、これは、正の自己共役作用素 ( S − T ) 2 が SとTの両方と可換であるというPaul Halmosらの観察^から導き出すことができます。しかし、上記のケースでは、双線形形式Λはもはや正定値内積ではないため、別のアドホックな推論を与える必要があります。

定理（ティッツ）。コクセター群の幾何学的表現は忠実である。

この結果は1960年代初頭にティッツによって初めて証明され、多数の演習問題とともにブルバキ（1968）の本文で初めて発表された。本文では、基本室は帰納的議論によって導入された。第V章§4の演習8は、ヴィナイ・デオダールによって拡張され、正負の根の理論を展開し、ティッツの元の議論を短縮した。^{[ 24 ]}

X を、すべてがゼロではない実数の非負係数を持つ和κ e _r + λ e _s + μ e _tの凸錐とする。群Γのgに対して、 ℓ( g )、語長または長さを、 g を単純な反射の順序付き合成として書くために必要なr、s、tからの反射の最小数と定義する。正の根を、 Γのgを含むX 内のベクトルg e _r、g e _sまたはg e _rと定義する。^{[ b ]}

定義から確認するのはルーチンである^{[ 25 ]}

• 単純反射qに対して| ℓ( gq ) – ℓ( g ) | = 1であり、g ≠ 1の場合、 ℓ( g ) = ℓ( gq ) + 1となるような単純反射qが常に存在する。
• gとhがΓに属する場合、ℓ( gh ) ≤ ℓ( g ) + ℓ( h )が成り立つ。

命題。gがΓに属し、単純反射qに対してℓ( gq ) = ℓ( g ) ± 1 であるならば、 g e q_は± Xに属し、したがって符号に応じて正または負の根となる。

gをgqに置き換えると、正の符号だけを考慮すればよい。この主張はℓ( g ) = mに関する帰納法で証明され、 m = 0の場合は自明である。ℓ ( gs ) = ℓ( g ) + 1と仮定する。ℓ ( g ) = m > 0の場合、一般性を損なうことなく、 gの最小表現は...tで終わると仮定できる。sとt は二面体群Γ _aを生成するので、g は積g = hkとして書くことができ、ここでk = ( st ) ⁿまたはt ( st ) ⁿであり、 h は...rで終わる最小表現を持つが、sまたはtで終わることはない。これは、 ℓ( hs ) = ℓ( h ) + 1およびℓ( ht ) = ℓ( h ) + 1を意味する。ℓ( h ) < mなので、帰納法の仮定により、 h e _sとh e _{t の}両方がXに含まれることがわかります。したがって、 k e _{s が}λ e _s + μ e _tの形であり、λとμ ≥ 0であって、両方とも 0 ではないことを示せば十分です。しかし、それは既に上記の式で検証されています。^{[ 25 ]}

系（ティッツの定理の証明）。幾何学的表現は忠実である。

gがe _r、e _s、e _tを固定する場合、g = 1であることを示せば十分である。g ≠ 1の最小表現を考えると、条件ℓ( gq ) = ℓ( g ) + 1 は、 3 つの単純な反射qによって同時に満たされることは明らかにない。

なお、ティッツの定理の結果として、生成器（左）は条件（右）を満たす。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}(g&=st)\ \ {\text{ s.t. }}&g^{a}=1,\\[4pt](h&=tr)\ \ {\text{ s.t. }}&h^{b}=1,\\[4pt](k&=rs)\ \ {\text{ s.t. }}&k^{c}=1,\\[4pt]&&ghk=1.\end{alignedat}}}$$これは、 Γの 向き保存指数 2 正規部分群Γ ₁の表示を与える。この表示は、測地線三角形の 2 辺を反射して測地線平行四辺形を形成することによって得られる基本領域に対応する(ポアンカレの多角形定理の特殊な場合)。^{[ 26 ]}

さらに、次のような結果が考えられます。根は、正の根と負の根の非交和です。単純な反射q は、e _q以外のすべての正の根を置換します 。gが Γに属する場合、ℓ( g )は、 gによって負になる正の根の数です。

基本領域とティッツコーン。^{[ 27 ]}

G をΛを保存するGL( V )の 3 次元閉リー部分群とする。Vは符号 (2,1) を持つ 3 次元ローレンツ空間またはミンコフスキー空間と同一視できるため、群Gはローレンツ群O(2,1)と同型であり、したがって${\displaystyle \mathrm {SL} _{\pm }(2,\mathbb {R} )\setminus \{\pm \,I\,\}.}$^{[ c ]} e をXの正の根ベクトルとするとeの安定化群GのO(2)と同型な極大コンパクト部分群K。同質空間X=G/K対称空間であり双曲面またはロバチェフスキー平面と同一視できる。${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{2}}$離散群Γ はG / Kに不連続に作用します。商空間Γ \ G / Kは、 a、b、cがすべて有限であればコンパクトであり、そうでなければ有限面積です。ティッツ基本チャンバーに関する結果は、対応するシュワルツ三角形の観点から自然に解釈でき、双曲反射群Γを介して測地線三角形のテセレーションの性質に直接変換されます。コクセター群からテセレーションへの移行は、ティッツによるBourbaki (1968)の第 V 章 §4 の演習とIwahori (1966)に初めて見られます。現在では、対称空間の観点から直接表現されていない他の多くの同等の扱いが利用可能です。

Maskit (1971)は双曲空間におけるポアンカレの多角形定理の一般的な証明を与え、同様の証明はde Rham (1971)で与えられた。双曲平面とシュワルツ三角形に特化することで、 Beardon (1983)およびMaskit (1988)で説明されているように、シュワルツ三角形のテセレーションの存在を確立するための現代的なアプローチを与えることができる。スイスの数学者de la Harpe (1991)とHaefliger は、幾何学的群論を起点として入門的な説明を提供している。 ^{[ 28 ]}