根系

数学において、ルート系は、特定の幾何学的性質を満たすユークリッド空間内のベクトルの構成である。この概念は、リー群とリー代数の理論、特に半単純リー代数の分類と表現の理論において基本的なものである。リー群（および代数群などのいくつかの類似物）とリー代数は、20世紀の間に数学の多くの部分で重要になったため、ルート系の一見特別な性質は、ルート系が適用される領域の多さを物語っている。さらに、ディンキン図によるルート系の分類体系は、リー理論と明白な関係のない数学の部分（特異点理論など）で使用されている。最後に、ルート系は、スペクトルグラフ理論のように、それ自体が重要である。^[1]

最初の例として、右の図に示すように、 2 次元ユークリッド空間R 2^{の6 つのベクトルを考えます。これらを}ルートと呼びます。これらのベクトルは空間全体に広がります。任意のルートに垂直な直線(たとえばβ )を考えると、その直線でのR ²の反射は、他の任意のルート (たとえばα ) を別のルートに送信します。さらに、送信先のルートはα + nβに等しく、ここでnは整数です (この場合、n は1 です)。これらの 6 つのベクトルは次の定義を満たしているため、ルート システムを形成します。これはA ₂と呼ばれます。

E を有限次元ユークリッド ベクトル空間とし、標準ユークリッド内積を と表記する。Eのルート系は、以下の条件を満たす非ゼロベクトル（ルートと呼ばれる）の有限集合である: ^{[2] [3]}${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle \Phi }$

1. 根はEに広がります 。
2. ルートのスカラー倍数のうちに属するものは、ルート自身とのみです。${\displaystyle \alpha \in \Phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle -\alpha }$
3. あらゆる根 に対して、集合はに垂直な超平面を通した鏡映の下で閉じています。${\displaystyle \alpha \in \Phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \alpha }$
4. (整数性)および がの根である場合、 を通る直線上へのの射影はの整数倍または半整数倍になります。${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

条件 3 と 4 を同等に記述する方法は次のとおりです。

3. 任意の2つの根に対して、集合には要素が含まれる。${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta ):=\beta -2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha .}$
4. 任意の 2 つの根については、その数は整数です。${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle :=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}}$

著者によっては、ルート系の定義に条件 1 ～ 3 のみを含めている人もいます。^[4] この文脈では、整数条件も満たすルート系は結晶学的ルート系と呼ばれます。^{[5]他の著者は条件 2 を省略し、条件 2 を満たすルート系を}簡約 と呼ん でいます。^[6] この記事では、すべてのルート系が簡約かつ結晶学的であると仮定しています。

性質 3 を考慮すると、整数条件は、βとその反射σ _α ( β ) がαの整数倍だけ異なること を述べることと同等です。 性質 4 で定義される演算子は 内積ではないことに注意してください。 必ずしも対称ではなく、最初の引数でのみ線形です。 $${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z} }$$

ルート系 Φ の階数は E の次元です。2つのルート系は、それらが張るユークリッド空間を共通のユークリッド空間の相互に直交する部分空間と見なすことによって結合できます。右に示す系A ₂、B ₂、G _{2など、このような結合から生じないルート系は}既約であると言われています。

2つのルート系( E ₁ , Φ ₁ )と( E ₂ , Φ ₂ )は、各ルートのペアの数が保存されるようにΦ _{1をΦ 2}に変換する可逆な線形変換E ₁  →  E ₂が存在する場合、同型と呼ばれます。^[7]${\displaystyle \langle x,y\rangle }$

のルート系 Φ のルート格子は、 Φ によって生成されるEのZ。これはE内の 格子。

Φ の根に関連付けられた超平面を通した反射によって生成されるEの 等長写像の群は、Φ のワイル群と呼ばれます。ワイル群は有限集合 Φ に忠実に作用するため、常に有限です。反射平面は根に垂直な超平面であり、下の図では破線で示されています。ワイル群は、6 つの要素を持つ正三角形の対称群です。この場合、ワイル群は根系の完全な対称群ではありません (たとえば、60 度の回転は根系の対称ですが、ワイル群の要素ではありません)。 ${\displaystyle A_{2}}$

階数 1 のルート系は 1 つだけ存在し、2 つの非ゼロベクトルで構成されます。このルート系は と呼ばれます。 ${\displaystyle \{\alpha ,-\alpha \}}$${\displaystyle A_{1}}$

ランク2には、 に対応する4つの可能性があります。ここで、 です。 ^[8]右の図はこれらの可能性を示していますが、いくつかの冗長性があります。 はと同型であり、 はと同型です。 ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha }$${\displaystyle n=0,1,2,3}$${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$${\displaystyle D_{2}}$${\displaystyle B_{2}}$${\displaystyle C_{2}}$

ルート システムは、それが生成する格子によって決定されるわけではないことに注意してください。と はどちらも正方格子を生成し、とはどちらも六角格子を生成します。 ${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$${\displaystyle B_{2}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$

Φ がEのルート系であり、SがΨ = Φ ∩  Sによって張られるEの部分空間である場合、 Ψ はSのルート系です 。したがって、ランク 2 の 4 つのルート系の網羅的なリストは、任意のランクのルート系から選択された 2 つのルートの幾何学的可能性を示しています。特に、そのような 2 つのルートは、0、30、45、60、90、120、135、150、または 180 度の角度で交わる必要があります。

が複素半単純リー代数でがカルタン部分代数である場合、次のようにルート系を構築できます。がに対してのルートであるとは、 すべての に対してとなる ものが存在する場合です。ルートの集合がルート系を形成する内積が存在することが示されます^[9] 。 のルート系は、 の構造を分析し、その表現を分類するための基本的なツールです。(ルート系とリー理論については、以下のセクションを参照してください。) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \alpha \neq 0}$${\displaystyle X\neq 0\in {\mathfrak {g}}}$$${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$$${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ルート系の概念は、もともとヴィルヘルム・キリングによって1889年頃に導入された（ドイツ語ではヴュルツェルシステム^[10]）。^[11]彼は複素数体上のすべての単純なリー代数を分類する試みでルート系を使用した。（キリングは当初、例外的なランク4のルート系を2つ挙げるという分類ミスを犯したが、実際にはランク4のルート系は1つしかなく、現在ではF ₄として知られている。カルタンは後に、キリングの2つのルート系が同型であることを示し、このミスを修正した。^[12]）

キリングは、現在カルタン部分代数と呼ばれるものを考察することで、リー代数の構造を研究した。次に、 の特性多項式の根を研究した。ここで、根はの関数、または実際には双対ベクトル空間 の要素として考えられている。この根の集合は、上で定義したように の内部に根系を形成し、その内積はキリング形式である。^[11]${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \det(\operatorname {ad} _{L}x-t)}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$

2つの根の間の角度の余弦は、正の整数の平方根の半分に制限されます。これは、仮定により、とが両方とも整数である ためであり、${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle }$${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \beta ,\alpha \rangle \langle \alpha ,\beta \rangle &=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\cdot 2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\beta ,\beta )}}\\&=4{\frac {(\alpha ,\beta )^{2}}{\vert \alpha \vert ^{2}\vert \beta \vert ^{2}}}\\&=4\cos ^{2}(\theta )\\&=(2\cos(\theta ))^{2}\in \mathbb {Z} .\end{aligned}}}$$

なので、 の唯一の可能な値はと で、それぞれ 90°、60° または 120°、45° または 135°、30° または 150°、および 0° または 180° の角度に対応します。条件 2 は、 1 と −1 以外のαのスカラー倍数は根になることができないと言っているため、2 αまたは −2 αに対応する 0 または 180° は除外されます。右の図は、角度 60° または 120° が等しい長さの根に対応し、角度 45° または 135° が の長さの比に対応し、角度 30° または 150° が の長さの比に対応することを示しています。 ${\displaystyle 2\cos(\theta )\in [-2,2]}$${\displaystyle \cos(\theta )}$${\displaystyle 0,\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {\sqrt {2}}{2}},\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$${\displaystyle \pm {\tfrac {\sqrt {4}}{2}}=\pm 1}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

要約すると、各ルートのペアには、次の2つの可能性しかありません。^[13]

• 角度が90度の場合、長さの比率は制限されません。
• 角度は 60 度または 120 度、長さの比は 1 です。
• 角度は 45 度または 135 度、長さの比は です。${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• 角度は 30 度または 150 度、長さの比は です。${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

根系が与えられた場合、常に（さまざまな方法で）正根の集合を選択できます。これは、 ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi ^{+}}$${\displaystyle \Phi }$

• 各根に対して、根 のちょうど 1 つが に含まれます。${\displaystyle \alpha \in \Phi }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle -\alpha }$${\displaystyle \Phi ^{+}}$
• が根であるような任意の2 つの異なる点に対して、 。${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi ^{+}}$${\displaystyle \alpha +\beta }$${\displaystyle \alpha +\beta \in \Phi ^{+}}$

正の根の集合が選ばれる場合、 の元は負の根と呼ばれる。 正の根の集合は、根を含まない超平面を選択し、の固定された側にあるすべての根を と設定することによって構成することができる。 さらに、すべての正の根の集合はこのようにして生じる。^[14]${\displaystyle \Phi ^{+}}$${\displaystyle -\Phi ^{+}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \Phi ^{+}}$${\displaystyle V}$

の元は、 の2つの元の和として表すことができない場合、単純ルート（または基本ルート）と呼ばれます。（単純ルートの集合はの基底とも呼ばれます。）単純ルートの集合は、次の追加の特別な性質を持つの基底です。 ^[15]${\displaystyle \Phi ^{+}}$${\displaystyle \Phi ^{+}}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle E}$

• すべての根は整数係数を持つの要素の線形結合です。${\displaystyle \alpha \in \Phi }$${\displaystyle \Delta }$
• それぞれの について、前の点の係数はすべて非負か、すべて非正のいずれかです。${\displaystyle \alpha \in \Phi }$

各ルートシステムには、正ルートの集合（または、それと同等の単純ルート）のさまざまな選択肢がありますが、任意の2つの正ルートの集合はワイル群の作用によって異なります。^[16]${\displaystyle \Phi }$

Φ がEのルート系である場合、ルート α の コルートα ^{∨ は次のように定義されます。}$${\displaystyle \alpha ^{\vee }={2 \over (\alpha ,\alpha )}\,\alpha .}$$

コルートの集合は、Eのルート系 Φ ^∨も形成します。これは、双対ルート系（または逆ルート系と呼ばれることもあります）と呼ばれます。定義により、 α ^{∨ ∨} = α なので、 Φ は Φ ^∨の双対ルート系です。 Φ ^{∨によって張られる}Eの格子は、コルート格子と呼ばれます。 Φ と Φ ^{∨ は}どちらも同じワイル群W を持ち、Wのsに対して、 $${\displaystyle (s\alpha )^{\vee }=s(\alpha ^{\vee }).}$$

ΔがΦの単純ルートの集合であるならば、Δ∨^はΦ∨の単純ルートの集合である。^[17]

以下に説明する分類では、タイプおよびのルート系は例外的なルート系とともにすべて自己双対であり、双対ルート系は元のルート系と同型であることを意味します。対照的に、およびルート系は互いに双対ですが、同型ではありません ( の場合を除く)。 ${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle n=2}$

Eのベクトルは、各コルートとの内積が整数であるとき、整数である と呼ばれます^[18] 。 の集合 は双対ルート系の基底を形成するため、 が整数であることを確認するには、 について上記の条件をチェックするだけで十分です。 ${\displaystyle \lambda }$$${\displaystyle 2{\frac {(\lambda ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} ,\quad \alpha \in \Phi .}$$${\displaystyle \alpha ^{\vee }}$${\displaystyle \alpha \in \Delta }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \alpha \in \Delta }$

積分元の集合は、与えられたルート システムに関連付けられた重み格子と呼ばれます。この用語は半単純リー代数の表現理論に由来しており、積分元は有限次元表現の可能な重みを形成します。

ルート システムの定義は、ルート自体が整数要素であることを保証します。したがって、ルートのすべての整数線形結合も整数です。ただし、ほとんどの場合、ルートの整数結合ではない整数要素が存在します。つまり、一般に、重み格子はルート格子と一致しません。

ルート系が既約であるとは、すべてのおよびに対してとなるような、 2 つの適切な部分集合の和集合に分割できない場合を指します。 ${\displaystyle \Phi =\Phi _{1}\cup \Phi _{2}}$${\displaystyle (\alpha ,\beta )=0}$${\displaystyle \alpha \in \Phi _{1}}$${\displaystyle \beta \in \Phi _{2}}$

既約ルート系は、ユージン・ディンキンにちなんで名付けられたディンキン図と呼ばれる特定のグラフに対応します。これらのグラフの分類は単純な組合せ論の問題であり、既約ルート系の分類を導きます。

ルート システムが与えられた場合、前のセクションと同様に単純ルートの集合 Δ を選択します。関連する Dynkin 図の頂点は Δ のルートに対応します。頂点間のエッジは、角度に応じて次のように描画されます。(単純ルート間の角度は常に少なくとも 90 度であることに注意してください。)

• ベクトルが直交する場合はエッジなし、
• 120度の角度を形成する場合は無向の単一辺、
• 135度の角度を形成する場合は有向両辺となり、
• 150 度の角度を形成する場合は、有向三辺になります。

「有向エッジ」という用語は、二重エッジと三重エッジが短いベクトルを指す矢印でマークされていることを意味します。(矢印を「より大きい」記号と考えると、矢印がどの方向を指すのかが明確になります。)

上で述べた根の基本的な性質により、ディンキン図を作成するための規則は次のようにも記述できることに留意してください。根が直交している場合は辺なし。直交しない根の場合は、長い根と短い根の長さの比が 1、、であるかどうかに応じて、1 辺、2 辺、または 3 辺になります。たとえば、根系の場合、150 度の角度で 2 つの単純根があります (長さの比は)。したがって、ディンキン図には 2 つの頂点が 3 辺で結合され、長い方の根に関連付けられた頂点から他の頂点を指す矢印があります。(この場合、矢印は多少冗長です。図は矢印の方向に関係なく同等だからです。) ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

与えられたルート系には複数の単純ルートの集合が存在する可能性があるが、ワイル群はそのような選択に対して推移的に作用する。^[19]したがって、ディンキン図は単純ルートの選択とは独立しており、ルート系自体によって決定される。逆に、同じディンキン図を持つ2つのルート系が与えられた場合、基底のルートから始めてルートを一致させ、それらの系が実際には同じであることを示すことができる。^[20]

したがって、ルートシステムを分類する問題は、可能なディンキン図を分類する問題に帰着する。ルートシステムが既約であるのは、そのディンキン図が連結されている場合のみである。^[21]連結されている可能性のある図は図に示されている。下付き文字は図の頂点の数（したがって、対応する既約ルートシステムのランク）を示す。

がルート システムである場合、双対ルート システムの Dynkin 図は、の Dynkin 図から、頂点と辺はすべて同じまま、矢​​印の方向をすべて逆にすることで得られます。したがって、Dynkin 図から、と は互いに双対であること がわかります。${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle C_{n}}$

がルート系である場合、各ルートに垂直な超平面を考えることができます。 は超平面についての反射を表し、ワイル群はすべての によって生成されるの変換の群であることを思い出してください。 超平面の集合の補集合は分離されており、各連結成分はワイルチェンバーと呼ばれます。 単純ルートの特定の集合 Δ を固定した場合、 Δ に関連付けられた基本的なワイルチェンバーを、すべての に対してとなる点の集合として定義できます。 ${\displaystyle \Phi \subset E}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \sigma _{\alpha }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \sigma _{\alpha }}$${\displaystyle v\in E}$${\displaystyle (\alpha ,v)>0}$${\displaystyle \alpha \in \Delta }$

反射はを保存するので、根に垂直な超平面の集合も保存します。したがって、各ワイル群の要素はワイル室を並べ替えます。 ${\displaystyle \sigma _{\alpha },\,\alpha \in \Phi }$${\displaystyle \Phi }$

この図はルート システムの例を示しています。ルートに直交する「超平面」(この場合は 1 次元) は破線で示されています。6 つの 60 度セクターはワイル チェンバーであり、網掛けされた領域は示された基数に関連付けられた基本ワイル チェンバーです。 ${\displaystyle A_{2}}$

ワイルチェンバーに関する基本的な一般定理は次の通りである: ^[22]

定理: ワイル群はワイル室に対して自由かつ推移的に作用します。したがって、ワイル群の位数はワイル室の数に等しくなります。

たとえば、この場合、ワイル群には 6 つの要素があり、ワイル室も 6 つあります。 ${\displaystyle A_{2}}$

関連する結果は次の通りである: ^[23]

定理: ワイル チェンバーを固定します。すると、すべての に対して、 のワイル軌道には の閉包内にちょうど 1 つの点が含まれます。${\displaystyle C}$${\displaystyle v\in E}$${\displaystyle v}$${\displaystyle {\bar {C}}}$${\displaystyle C}$

既約ルート系は、リー理論において、特に次の関連するオブジェクトを分類します。

• 単純複素リー代数（半単純リー代数から生じるルート系に関する上記の議論を参照）、
• 単純連結複素リー群は中心を法とする単純な群であり、
• 中心を法とする単純な単連結コンパクト リー群。

いずれの場合も、根は随伴表現のゼロ以外の重みです。

ここでは、ハンフリーズの議論に従って、既約ルート系が 上の単純リー代数をどのように分類するかについて簡単に説明します。 ^[24]予備的な結果によれば、半単純リー代数が単純であるためには、関連するルート系が既約である必要があります。^[25]したがって、ここでは既約ルート系と単純リー代数にのみ注目します。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• まず、各単純代数に対してルート系は1つだけであることを証明する必要があります。この主張は、のカルタン部分代数が自己同型を除いて一意であるという結果から導かれ、 ^[26]そこから、任意の2つのカルタン部分代数が同型ルート系を与えることがわかります。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• 次に、各既約ルート系に対してリー代数は最大でも1つしか存在できないこと、つまりルート系が同型性までリー代数を決定することを示す必要がある。^[27]
• 最後に、各既約ルート系には、関連する単純なリー代数が存在することを示さなければならない。この主張は、関連するリー代数が古典的なリー代数であるA、B、C、D型のルート系については明らかである。そうすれば、例外的な代数をケースバイケースで分析することが可能になる。あるいは、セールの関係を使用して、ルート系からリー代数を構築するための体系的な手順を開発することもできる。^[28]

例外ルート系とそのリー群およびリー代数との関係については、E ₈、E ₇、E ₆、F ₄、およびG ₂を参照してください。

既約ルート系は、対応する連結ディンキン図に従って命名されます。4 つの無限族 (A _n、 B _n、 C _n、および D _n、これらは古典ルート系と呼ばれます) と 5 つの例外的なケース (例外ルート系) があります。下付き文字はルート系のランクを示します。

既約ルート系では、長さ( α , α ) ^1/2の値は最大で 2 つあり、それぞれ短いルートと長いルートに対応します。すべてのルートが同じ長さである場合、定義により長いとみなされ、ルート系は単純に関連付けられていると言われます。これは、ケース A、D、および E で発生します。同じ長さの任意の 2 つのルートは、ワイル群の同じ軌道にあります。単純に関連付けられていないケース B、C、G、および F では、ルート格子は短いルートによって張られ、長いルートは、ワイル群で不変で、コルート格子のr ² /2 倍に等しい部分格子を張ります。ここで、rは長いルートの長さです。

隣の表では、| Φ ^< |は短い根の数、I は長い根によって生成される部分格子の根格子のインデックス、D はカルタン行列の行列式、| W | はワイル群の位数を表します。

E をR ^{n +1}の、座標の合計が 0 となる部分空間とし、 Φ をEの長さ√ 2で整数ベクトル、つまりR ^{n +1}で整数座標を持つベクトルの集合とします。このようなベクトルは、2 つを除くすべての座標が 0 に等しく、1 つの座標が 1 に等しく、1 つの座標が -1 に等しい必要があります。したがって、全体でn ² + n 個の根があります。標準基底で表現される単純根の 1 つの選択肢は、1 ≤ i ≤ nに対してα _i = e _i − e _{i +1}です。

α _iに垂直な超平面を通るσ _{i の}鏡映は 、隣接するi番目と ( i + _{1 ) 番目の}座標の置換と同じです。このような 転置により、完全な置換群が生成されます。隣接する単純根の場合、 σ _i ( α _i  +1 ) = α _{i +1}  +  α _i =  σ _{i +1} ( α _i ) =  α _i  +  α _{i +1}、つまり、鏡映は 1 の倍数を加算することと同等です。ただし、隣接しない単純根に垂直な単純根の鏡映は、変化せず、0 の倍数だけ異なります。

A _nルート格子、つまりA _nルートによって生成される格子は、 R ^{n +1}内の要素の合計がゼロになる 整数ベクトルの集合として最も簡単に記述できます。

A ₂ルート格子は、三角形のタイリングの頂点配置です。

A3ルート格子は、結晶学者には面心立方格子（または立方最密充填格子）として知られています。^{[29]これは}_、四面体-八面体ハニカムの頂点配置です。

A3根系（および他のランク3根系）は、ゾムツール構築セットでモデル化することができ_ます。[ 30 ^]

一般に、A _nルート格子はn次元単体ハニカムの頂点配置です。

E = R ⁿとし、 Φ をEの長さ 1 または√ 2のすべての整数ベクトルから構成するとします。根の総数は 2 n ²です。単純根の 1 つの選択肢は、1 ≤ i ≤ n – 1に対してα _i = e _i – e _{i +1}であり ( A _{n −1}に対する上記の単純根の選択)、より短い根はα _n = e _nです。

短い根α _nに垂直な超平面を通る反射σ _{n は}、もちろんn番目の座標の単なる否定です。長い単純根α _{n −1}の場合、 σ _{n −1} ( α _n ) = α _n + α _{n −1}ですが、短い根に垂直な反射の場合はσ _n ( α _{n −1} ) = α _{n −1} + 2 α _nとなり、差は 1 ではなく 2 の倍数になります。

B _nルート格子、つまりB _nルートによって生成される格子は、すべて整数ベクトルで構成されます。

B _{1 は}√ 2によるスケーリングによってA ₁と同型であり、したがって異なるルート システムではありません。

E = R ⁿとし、 Φ はEの長さ√ 2のすべての整数ベクトルと、 2 λの形式のベクトルすべて（ λは長さ 1 の整数ベクトル）から構成されるものとします。根の総数は 2 n ²です。単純根の 1 つの選択肢は、 1 ≤ i ≤ n − 1に対してα _i = e _i − e _{i +1 （} A _{n −1}に対する上記の単純根の選択）、およびより長い根α _n = 2 e _nです。反射σ _n ( α _{n −1} ) = α _{n −1} + α _nですが、σ _{n −1} ( α _n ) = α _n + 2 α _{n −1}です。

C _nルート格子、つまりC _nルートによって生成される格子は、その成分の合計が偶数になるすべての整数ベクトルで構成されます 。

C _{2 は、} √ 2のスケーリングと 45 度の回転によりB ₂と同型であるため、異なるルート システムではありません。

E = R ⁿとし、 Φ をEの長さ√ 2のすべての整数ベクトルから構成するとします。根の総数は2 n ( n − 1)です。単純根の 1 つの選択肢は、1 ≤ i ≤ n − 1に対してα _i = e _i − e _{i +1 (} A _{n −1}に対する上記の単純根の選択) とα _n = e _{n −1} + e _nです。

α _nに垂直な超平面を通した反射は、隣接するn番目と ( n − 1) 番目の座標を転置して反転することと同じです。任意の単純根と、別の単純根に垂直な反射は、2 番目の根の 0 倍または 1 倍だけ異なり、それ以上の倍数ではありません。

D _nルート格子、つまりD _nルートによって生成される格子は、要素の合計が偶数になるすべての整数ベクトルで構成されます。これはC n_ルート格子と同じです。

D _n根は、修正されたn直交複素数、コクセター・ディンキン図の頂点として表現されます。 ...2n ( n −1)個の頂点はn-直交複体の辺の中央に存在する。

D _{3 は}A ₃と一致するため、別個のルートシステムではない。12個のD ₃ルートベクトルは、、立方八面体の低対称性構造。

D _{4 に}は、三元対称性と呼ばれる追加の対称性があります。24個のD ₄ルートベクトルは、、 24 セルの低対称性構成。

• E ₈ルート系は、次の集合と合同な R 8 のベクトルの任意の集合です^。$${\displaystyle D_{8}\cup \left\{{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{8}\varepsilon _{i}\mathbf {e} _{i}\right):\varepsilon _{i}=\pm 1,\,\varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{8}=+1\right\}.}$$

ルート システムには 240 個のルートがあります。ここで挙げた集合は、E8 ルート格子 (単にE8 格子または Γ _{8とも呼ばれる) 内の長さ}√ 2のベクトルの集合です。これは、 R ⁸内の次の点の集合です。

1. すべての座標が整数であるか、すべての座標が半整数であるか（整数と半整数の混在は許可されません）、
2. 8 つの座標の合計は偶数になります。

したがって、 $${\displaystyle E_{8}=\left\{\alpha \in \mathbb {Z} ^{8}\cup \left(\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\right)^{8}:|\alpha |^{2}=\sum \alpha _{i}^{2}=2,\,\sum \alpha _{i}\in 2\mathbb {Z} .\right\}}$$

• ルート系E _7は、 E ₈内の固定ルートに垂直なE ₈内のベクトルの集合です。ルート系E ₇には 126 個のルートがあります。
• ルート システムE _6は、 E ₇内の固定ルートに垂直なE ₇内のベクトルの集合ではありません。実際、そのようにしてD _{6が得られます。ただし、} E _{6 は、}E ₈の適切に選択された 2 つのルートに垂直なE ₈のサブシステムです。ルート システムE ₆には 72 個のルートがあります。

E ₈格子の別の記述法として、R ⁸のすべての点の集合 Γ' ₈として記述する方法があり、これは便利な場合がある。

• すべての座標が整数であり、座標の合計が偶数である、または
• すべての座標は半整数であり、座標の合計は奇数です。

格子 Γ ₈と Γ' _{8 は}同型であり、任意の奇数の座標の符号を変更することで、一方から他方へ移動できます。格子 Γ _8はE ₈の偶座標系と呼ばれることもあり、格子 Γ' _{8 は}奇座標系と呼ばれます。

代替（非標準）ディンキン図（上記）のノード順序で行が並べられた偶数座標系における E ₈の単純根の 1 つの選択肢は次のとおりです。

α _i = e _i − e _{i +1}（1 ≤ i ≤ 6の場合）であり、

α ₇ = e ₇ + e ₆

（上記のD ₇の単純ルートの選択）と $${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{8}={\boldsymbol {\beta }}_{0}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{8}\mathbf {e} _{i}=(-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2).}$$

交互（非正準）ディンキン図（上記）のノード順で並べられた行を持つ奇座標系における E ₈の単純根の1つの選択肢は、

α _i = e _i − e _{i +1}、ただし 1 ≤ i ≤ 7

（ A ₇の単純ルートの上記の選択）と

α ₈ = β ₅、ここで

${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}_{j}={\frac {1}{2}}\left(-\sum _{i=1}^{j}e_{i}+\sum _{i=j+1}^{8}e_{i}\right).}$

( β ₃を使用すると同型の結果が得られます。β _1,7またはβ _2,6を使用すると、単にA ₈またはD _{8が得られます。β 4}に関しては、その座標の合計は 0 になり、同じことがα _{1...7にも当てはまります。したがって、それらは座標の合計が 0 に}なる7 次元の部分空間のみを張ります。実際、−2 β _{4 は}基底 ( α _i ) に座標 (1,2,3,4,3,2,1) を持ちます。)

α ₁に垂直であるということは、最初の 2 つの座標が等しいことを意味するので、E _{7 は最初の 2 つの座標が等しい}E ₈の部分集合であり、同様にE _{6は最初の 3 つの座標が等しい}E ₈の部分集合である。これにより、 E ₇とE _{6 を}次のように 明示的に定義することができる。

E ₇ = { α ∈ Z ⁷ ∪ ( Z +1/2) ⁷  : Σ α _i ² + α ₁ ² = 2, Σ α _i + α ₁ ∈ 2 Z },

E ₆ = { α ∈ Z ⁶ ∪ ( Z +1/2) ⁶  : Σ α _i ² + 2 α ₁ ² = 2, Σ α _i + 2 α ₁ ∈ 2 Z }

α _{1 を}削除し、次にα _{2 を削除すると、} E ₇とE ₆の単純根の集合が得られることに注意してください。ただし、これらの単純根の集合は、α ₁やα ₂に直交していないため、上記のものとは異なるE ₈のE ₇およびE ₆部分空間にあります。

F ₄について、E = R ^{4とし、 Φ を長さ 1 または}√ 2のベクトル α の集合とし、 2α の座標がすべて整数で、すべて偶数かすべて奇数になるようにします。このシステムには 48 個の根があります。単純根の 1 つの選択肢は、 B ₃について上記で示した単純根の選択肢にを加えたものです。 ${\textstyle {\boldsymbol {\alpha }}_{4}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{4}e_{i}}$

F ₄ルート格子、つまりF _{4ルート システムによって生成される格子は、} R ⁴内の点の集合であり、すべての座標が整数であるか、すべての座標が半整数である (整数と半整数の混合は許可されない) かのいずれかである。この格子は、フルヴィッツ四元数の格子と同型である。

ルートシステムG _{2には 12 個のルートがあり、}六芒星の頂点を形成します。上の図を参照してください。

単純根の1つの選択肢は(α1,β=α2−α1)であり、ここでαi = ei − _ei + 1 ( _i = 1,2 ₎は_A2の単純根の上記_の選択肢_である。

G ₂ルート格子、つまりG _{2ルートによって生成される格子は}、A ₂ルート格子と同じです。

正の根の集合は、が単純根の非負線形結合である場合に限り となることから自然に順序付けられる。このposet はによって次数が付けられ、多くの注目すべき組合せ論的性質を持つ。その 1 つは、この poset から対応する Weyl 群の基本不変量の次数を決定できることである。^[31]ハッセグラフは、根 poset の順序を視覚化したものである。 ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$${\displaystyle \beta -\alpha }$${\textstyle \deg \left(\sum _{\alpha \in \Delta }\lambda _{\alpha }\alpha \right)=\sum _{\alpha \in \Delta }\lambda _{\alpha }}$

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• ワイル群

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