均一なタイリング

幾何学において、均一なタイリングは、頂点推移的であるという制限を伴う、正多角形の面による平面のテッセレーションです。

均一なタイリングは、ユークリッド平面と双曲平面の両方に存在できます。均一なタイリングは有限均一多面体と関連しており、球面の均一なタイリングと考えることができます。

ほとんどの均一なタイリングは、対称群と基本領域内の特異生成点から始まるWythoff 構成から作成できます。平面対称群は多角形の基本領域を持ち、その群表記法、つまり基本領域頂点の反射順序のシーケンスによって表すことができます。

基本領域の三角形は ( pqr ) と表記されます。ここで、p、q、r は1 より大きい整数、つまり ≥ 2 です。基本領域の直角三角形は ( pq 2 ) と表記されます。三角形は、 p、q、rの値に応じて、球面三角形、ユークリッド平面三角形、または双曲平面三角形として存在します。

これらの数字を表す記号体系はいくつかあります。

• 直角三角形の領域の修正されたシュレーフリ記号: ( pq 2) → { p , q }。
• Coxeter -Dynkin ダイアグラムは、辺にp、q、rのラベルが付いた三角形のグラフです。r = 2 の場合、接続性 2 のダイアグラム ノードはダイアグラム ブランチによって互いに接続されていないため、グラフは線形です (90 度で交わるドメイン ミラーは新しいミラーを生成しないため)。
• ワイトフ記号は3つの整数を取り、縦棒 (|) で区切ります。生成点がドメイン頂点の反対側の鏡像から外れている場合は、このドメイン頂点の反射順序が縦棒の前に示されます。
• 最後に、均一なタイリングは、頂点の構成、つまり各（同等の）頂点の周りの（同一の）ポリゴンのシーケンスによって記述できます。

すべての均一タイリングは、通常のタイリングに適用されるさまざまな操作から構築できます。これらの操作は、ノーマン ジョンソンによって名付けられ、切り詰め(頂点の切断)、整列(辺が消えるまで頂点の切断)、およびカンテレーション(辺と頂点の切断) と呼ばれます。オムニトランケーションは、切り詰めとカンテレーションを組み合わせた操作です。スナッビングは、オムニトランケーションされたフォームの交互の切り詰め操作です。(詳細については、 均一多面体#ウィトフ構築演算子を参照してください。)

平面のコクセター群はウィトフ構成を定義し、コクセター-ディンキン図で表すことができます。

整数反射順序を持つグループの場合、次のようになります。

ユークリッド平面には、基本三角形 (4 4 2)、(6 3 2)、(3 3 3) から構成される対称群があります。それぞれは、平面を基本三角形に分割する反射線の集合によって表されます。

これらの対称グループは、3 つの規則的なタイリングと 7 つの半規則的なタイリングを作成します。半規則的なタイリングの多くは、さまざまな対称コンストラクターから繰り返されます。

プリズム対称群 (2 2 2 2) は、2 組の平行な鏡によって表され、一般に長方形の基本領域を作成できます。新しいタイリングは生成されません。

さらに別のプリズム対称群 (∞ 2 2) には無限の基本領域があります。これは、アピロゴナル プリズムとアピロゴナル アンチプリズムという 2 つの均一なタイリングを構成します。

これら 2 つの角柱状タイルの有限面を積み重ねると、平面の非ウィソフ的均一タイルが 1 つ構成されます。これは、正方形と三角形が交互に重なった 細長い三角形タイルと呼ばれます。

直角の基本三角形: ( pq 2)

一般的な基本三角形: ( pqr )

非単純基本領域

ユークリッド2次元空間において単体ではない唯一の基本領域は長方形(∞ 2 ∞ 2)であり、コクセター図は次のようになる。そこから生成されるすべてのフォームは正方形のタイリングになります。

双曲平面上には凸正多角形による均一なタイリングが無数に存在し、それぞれが異なる反射対称群 ( pqr ) に基づいています。

ここでは、ポアンカレ円板投影によるサンプリングを示します。

Coxeter -Dynkin 図は線形形式で表されますが、実際には三角形であり、末尾の線分rが最初のノードに接続されます。

双曲面には、新しい形を生成できる四辺形の基本領域（(2 2 2 3) などから始まる）を持つ対称群がさらに存在します。また、(∞ 2 3) などの頂点を無限遠に配置する基本領域もあります。

直角の基本三角形: ( pq 2)

一般的な基本三角形: ( pqr )

均一なタイリングのリストを拡張する方法はいくつかあります。

1. 頂点図形は逆行面を持つことができ、頂点の周りを複数回回転することができます。
2. 星型ポリゴンタイルも含めることができます。
3. アペイロゴン、{∞} はタイリング面として使用できます。
4. ジグザグ（2 つの角度が交互に現れるアペイロゴン）も使用できます。
5. タイルが端から端まで接するという制限を緩和して、ピタゴラスのタイル張りなどの追加のタイル張りを許可することができます。

逆行する対称群の三角形には次のものがあります。

(4/3 4/3 2)、(6 3/2 2)、(6/5 3 2)、(6 6/5 3)、(6 6 3/2)。

無限大を持つ対称群の三角形には次のものがあります。

(4 4/3 ∞)、(3/2 3 ∞)、(6 6/5 ∞)、(3 3/2 ∞)。

ブランコ・グリュンバウムとGCシェパードは、1987年の著書『タイリングとパターン』の12.3節で、11の凸型を含む25の均一タイリングのリストを列挙し、さらに上記の最初の2つの拡張である星型多角形面と一般化頂点図形を使用して、中空タイリングと呼ぶ14を追加しています。^[1]

HSM Coxeter、MS Longuet-Higgins、JCP Millerは、1954年の論文「Uniform polyhedra」の表8: Uniform Tessellationsで、最初の3つの展開を使用して、合計38の均一なタイリングを列挙しています。2つのアペイロゴンで作られたタイリングも数えると、合計39の均一なタイリングと見なすことができます。

1981年、グリューンバウム、ミラー、シェパードは論文「中空タイルによる均一なタイリング」の中で、最初の2つの拡張を使用した25のタイリングと、3つ目を追加するとさらに28のタイリング（コクセターらの定義を使用すると53になる）を列挙した。4つ目を追加すると、さらに23の均一なタイリングと10のファミリー（連続パラメータに依存する8つと離散パラメータに依存する2つ）が列挙される。^[2]

11 個の凸解のほかに、共有エッジ グラフごとにグループ化された、Coxeter らによってリストされた 28 個の均一なスター タイリングが以下に示され、その後に、Coxeterらの定義を満たしているが、 Grünbaumらによって見落とされた 15 個がさらにリストされます。

このセットは完全であるとは証明されていません。「2.25」は、1981 年の Grünbaumらの表 2 の 25 を並べることを意味します。

次の 3 つのタイリングは、1 つの面タイプが有限個しか存在しないという点で例外的です (それぞれに 2 つのアペイロゴンがあります)。2 つの面が複数のエッジで交わるため、次数 2 のアペイロゴン タイリングが含まれない場合もあります。

わかりやすくするために、これ以降のタイリングは色付けされていません (重なり合うため)。1 つの頂点の周りのポリゴンのセットが強調表示されています。McNeill は、Coxeterら(1954) によって示されたタイリングのみをリストしています。11 個の凸型均一タイリングは、参考のために繰り返して表示されています。

頂点配置 4.8.-4.8.-4.∞ には 2 つの均一タイリング (Grünbaum et al.、2.10 および 2.11) があり、また頂点配置 4.8/3.4.8/3.-4.∞ にも 2 つの均一タイリング (Grünbaum et al. 、2.12 および 2.13) があり、これらは対称性が異なります。また、各頂点配置には、擬似均一(頂点が 2 つの対称軌道をとる)のみの 3 番目のタイリングもあります。これらは異なる正方形面のセットを使用します。したがって、星型ユークリッドタイリングでは、頂点配置によってタイリングが決まるとは限りません。^[2]

下の図では、水平方向と垂直方向のエッジを持つ正方形が中央の点でマークされています。単一の正方形のエッジは強調表示されています。^[2]

• 
  2.10 と 2.12 (p4m)
• 
  2.11 および 2.13 (p4g)
• 
  擬似均一

ジグザグのタイリングを以下に挙げる。{∞ ^𝛼 } は角度 0 < 𝛼 < π のジグザグを表す。アペイロゴンは 𝛼 = π の特殊なケースと考えることができる。対称性は一般的なケースについて与えられているが、対称性を高める 𝛼 の特殊な値が存在する場合がある。タイリング 3.1 と 3.12 は正規化することさえ可能であり、3.32 はすでに正規化されている (自由パラメータを持たない)。タイリングを退化させる 𝛼 の特殊な値が存在する場合がある。^[2]

タイリングペア3.17と3.18、および3.19と3.20は、頂点構成は同じですが、対称性が異なります。^[2]

タイル3.7から3.10は2.1と2.2と同じエッジ配置を持ち、3.17から3.20は2.10から2.13と同じエッジ配置を持ち、3.21から3.24は2.18から2.23と同じエッジ配置を持ち、3.25から3.33は1.25（正三角形のタイル）と同じエッジ配置を持ちます。^[2]

タイリングは自己双対になることもできます。Schläfli記号{4,4}を持つ正方形のタイリングは自己双対です。ここでは、互いに双対である 2 つの正方形のタイリング (赤と黒) を示します。

正星型多角形を、2 倍の (短い) 辺を持ち、同じ外角と「内」の内角が交互になっている非凸等倍単純多角形として見ると、正星型多角形をタイリングに使用できます。また、等倍単純多角形を「正」と見なすと、正星型多角形を (すべてではありませんが) 「均一な」タイリングに使用できます。

また、特定の非正規の等倍星型多角形のアウトラインは、同じ数の（短い）辺を持ち、同じ外角と「内」内角が交互に並ぶ非凸等倍（単純）多角形です。この種の等倍星型多角形をアウトラインとして見ると、タイリングに使用できます。また、等倍単純多角形を「正規」として見ると、この種の等倍星型多角形を「均一」なタイリングに使用できます（ただし、すべてが使用できるわけではありません）。

外角 𝛼 を持つ等角単純2 n角形は { n _𝛼 } で表され、その外頂点はnとラベル付けされる。^*
_𝛼、内側のものはn^**
_𝛼。

タイリングの定義を拡張するには、2 つのポリゴンのみを持つコーナーを頂点と見なさないことが必要です。これは、少なくとも 3 つのポリゴンを持つ頂点の頂点構成で、このような「均一な」タイリングを定義するのに十分であり、後者は 1 つの頂点構成を持つことになります (そうでない場合は 2 つになります)。調整可能な角度 𝛼 を持つこのような均一なタイリングは 4 つあり、特定の角度でのみ機能するこのような均一なタイリングは 18 個あり、合計で 22 個の星型ポリゴンを使用する均一なタイリングが生成されます。^[4]

これらすべてのタイリングは、可能性のある 2 次頂点を無視し、可能性のある二重エッジと三重エッジを単一エッジに削減し、通常の均一タイリング (凸正多角形のみを使用) と位相的に関連しています。

非正規の等角星形または単純な 2 n角形では、常に 2 つの角度が交互に配置されます。等角単純 2 n角形 ({ n _{𝛼 }) は}凸型になることがあります。最も単純なのは菱形 (2×2 角形) ({2 _𝛼 }) です。これらの凸型 { n _𝛼 } を「正規」多角形と見なすと、より多くのタイリングを「均一」と見なすことができます。

ウィキメディア・コモンズには、 Uniform tilingsに関連するメディアがあります。

• ウィトフシンボル
• 均一なタイリングのリスト
• 双曲面上の均一なタイリング
• 一様多面体

• ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
  • NW ジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966 年
• グリュンバウム、ブランコ、シェパード、GC (1987)。『タイルとパターン』。WHフリーマンアンドカンパニー。ISBN 0-7167-1193-1。（スタータイリングセクション12.3）
• HSM Coxeter、MS Longuet-Higgins、JCP Miller、「均一多面体」、Phil. Trans.、1954、246 A、401–50 JSTOR  91532（表8）

• Weisstein、Eric W.「均一テッセレーション」。MathWorld。
• ユークリッド平面上の均一なテッセレーション
• 平面のモザイク模様
• デイヴィッド・ベイリーのテッセレーションの世界
• k-均一タイリング
• n 均一タイリング
• Klitzing、Richard。「4D ユークリッド タイル」。