コンウェイグループ

群論として知られる現代代数学の分野において、コンウェイ群は、 ( Conway  1968、1969) によって導入された関連する有限群Co ₀とともに、3 つの散在単純群 Co ₁、Co ₂、Co _{3である。}

コンウェイ群の中で最大のものCo ₀は、リーチ格子Λの加法と内積に関する自己同型群である。その順序は

8,315,553,613,086,720,000

しかし、それは単純群ではない _。

4,157,776,806,543,360,000 = 2 ²¹  · 3 ⁹  · 5 ⁴  · 7 ²  · 11  · 13  · 23

は、 Co ₀をその中心で割った商として定義され、スカラー行列±1で構成される _。次数

42,305,421,312,000 = 2 ¹⁸  · 3 ⁶  · 5 ³  · 7  · 11  · 23

およびCo ₃の順序

495,766,656,000 = 2 ¹⁰  · 3 ⁷  · 5 ³  · 7  · 11  · 23

はそれぞれタイプ2とタイプ3の格子ベクトルを固定するΛの自己同型から成ります。スカラー−1は非ゼロベクトルを固定しないので、これら2つの群はCo ₁のサブグループと同型です。

リーチ格子上の内積は、2 つの被乗数ベクトルのそれぞれの座標の積の合計の 1/8 として定義され、整数です。ベクトルの平方ノルムは、そのベクトル自身との内積であり、常に偶数です。リーチ格子ベクトルのタイプは、平方ノルムの半分と呼ばれるのが一般的です。サブグループは、関連する固定点のタイプを参照して名前が付けられることがよくあります。この格子には、タイプ 1 のベクトルはありません。

トーマス・トンプソン (1983) は、1964 年頃にジョン・リーチが大次元のユークリッド空間における球の最密充填を調査した経緯を説明しています。リーチの発見の 1 つは、後にリーチ格子 Λ と呼ばれるようになったものに基づく、24 次元空間における格子充填でした。彼は、自分の格子の対称群に興味深い単純群が含まれているのではないかと考えましたが、群​​論に詳しい人の助けが必要だと感じました。数学者たちは自分たちの課題で頭がいっぱいだったので、彼はあちこちに尋ね回らなければなりませんでした。ジョン・コンウェイは、この問題を検討することに同意しました。ジョン・G・トンプソンは、群の順序がわかれば興味があると言いました。コンウェイは、この問題に数か月から数年かかると予想していましたが、わずか数回のセッションで結果を見つけました。

_{ウィット（1998、329ページ）は、1940年にリーチ格子を発見し、その自己同型群Co 0}の順序を計算したことを示唆した。

_{コンウェイは Co 0}の研究を、彼がNと呼ぶサブグループから始めました。これは、 (拡張) 2 進ゴレイ符号(対角要素として 1 または -1 を持つ対角行列) のマシュー群 M ₂₄ (置換行列) による正則写像です。N ≈ 2 ¹² :M ₂₄。

この記事全体で使用されているバイナリ ゴレイ コードの標準的な表現では、24 個の座標が、4 個の連続するブロック (テトラッド) 6 つで6 重奏を構成するように配置されます。

_{Co 0}の行列は直交します。つまり、内積は不変です。逆は転置です。Co _0には行列式が−1 の行列はありません。

リーチ格子は、2型ベクトルの 集合Λ _{2によって生成される}Zモジュールとして簡単に定義でき、次のものからなる。

（4、4、0 ²²）

(2 ⁸ , 0 ¹⁶ )

（−3, 1 ²³）

およびNでのそれらの像。NでのΛ _{2 は}、サイズが1104、97152、および 98304の 3 つの軌道に含まれます。この場合、| Λ ₂ | =196,560 = 2 ⁴ ⋅3 ³ ⋅5⋅7⋅13。コンウェイは Co _{0 が}Λ _2上で推移的であると強く疑い、実際に単項式でも整数行列でもない 新しい行列を発見しました

ηを4行4列の行列と する

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1\end{pmatrix}}}$

ここで、ζ を 6 つの行列のブロック和とします。これは、 ηと − ηがそれぞれ奇数です。^{[1] [2]} ζ は対称直交行列であるため、反転です。いくつかの実験により、 Nの異なる軌道間でベクトルが交換されることが示されています。

|Co ₀ | を計算するには、タイプ 4 のベクトルの集合Λ ₄を考慮するのが最適です。任意のタイプ 4 ベクトルは、2Λ を法として互いに合同なちょうど 48 個のタイプ 4 ベクトルの 1 つであり、24 個の直交ペア{ v , – v } に該当します。このような 48 個のベクトルの集合は、フレームまたはクロスと呼ばれます。N は、軌道として、形式 (±8, 0 ²³ )のベクトル 48 個の標準フレームを持ちます。特定のフレームを固定するサブグループは、Nの共役です。ゴレイ コードと同型のグループ 2 ^{12は、フレームのベクトルの符号変更として機能し、 M} _{24 は}フレームの 24 個のペアを並べ替えます。Co _{0は、 Λ 4}上で推移的であることが示されます。コンウェイは、 Nの位数 2 ¹² |M ₂₄ |にフレームの数を掛け合わせ、後者は商|に等しくなります。 Λ ₄ |/48 =8,252,375 = 3 ⁶ ⋅5 ³ ⋅7⋅13 。その積は、 Nを適切に含む_{Co 0}の任意の部分群の順序ですしたがって、 NはCo ₀の最大部分群であり_{、Co 0}の2-シロー部分群を含みます。Nは、整数成分を持つすべての行列の _{Co 0}の部分群でもあります

Λには(±8, 0 ²³ )の形状のベクトルが含まれるため、Co _0は分母がすべて8の約数である有理行列で構成されます。

_{任意の体上の Co 0}の最小の非自明な表現は、リーチ格子から得られる 24 次元の表現であり、これは 2 以外の特性を持つ体に対して忠実です。

Co ₀の任意の反転は、 Golay コードの要素と共役であることが示されます。Co ₀には、反転の共役クラスが 4 つあります。

^{2 12}の形状の置換行列は、 12進行列と共役であることが示されます。その中心化行列は 2 ¹² :M ₁₂の形式を持ち、単項式部分群内に共役行列を持ちます。この共役クラスの行列はいずれもトレース 0 を持ちます。

^{2 8} 1 ⁸の形状の置換行列は、オクタッドと共役であることが示され、トレース8を持ちます。これとその負のトレース（トレース-8）は、Co ₀における最大部分群である（2 ¹⁺⁸ ×2）の形式の共通の中心化子O ₈ ⁺（2）を持ちます。

Conway と Thompson は、会議の議事録 (Brauer & Sah 1969) に記載されている、最近発見された 4 つの散在単純群が、Co ₀の部分群または部分群の商と同型であることを発見しました。

コンウェイ自身は、点と部分空間の安定子にドットを前に付ける記法を採用しました。例外は.0と.1で、それぞれ Co ₀と Co ₁です。整数n ≥ 2の場合、 .n はリーチ格子内のタイプn (上記参照)の点の安定子を表します。

Conway は、原点を頂点とする三角形によって定義される平面の安定群に名前を付けました。.hkl を、タイプh、k、lの辺 (頂点の差) を持つ三角形の点ごとの安定群とします。この三角形は一般にhkl 三角形と呼ばれます。最も単純なケースでは、 Co ₀は問題の点または三角形上で推移的であり、安定群は共役性まで定義されます。

コンウェイは.322をマクラフリングループMcL（順序898,128,000）およびヒグマン・シムズグループHS（順序44,352,000 ) 、これらは両方とも最近発見されたものです。

ここにいくつかの部分格子群の 表^{[3] [4]を示す。}

2つの散在部分群は、リーチ格子上の構造の安定子の商として定義できます。R ²⁴をC ¹²、Λを

${\displaystyle \mathbf {Z} \left[e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right]^{12},}$

結果として得られる自己同型群（すなわち、複素構造を保存するリーチ格子自己同型群）を複素スカラー行列の6元群で割ると、鈴木群Suz（順序448,345,497,600）。このグループは1968 年に鈴木道雄によって発見されました。

同様の構成により、ホール・ヤンコ群J ₂（次数604,800 ) を、Λ の四元数自己同型群をスカラー群 ±1 で割った商として求めます。

上で説明した 7 つの単純群は、ロバート グリースが「ハッピー ファミリーの第二世代」と呼ぶもので、モンスター群の中にある 20 個の散発的な単純群で構成されています。7 つの群のいくつかには、第一世代を構成する5 つのマシュー群の少なくとも一部が含まれています。

Co ₀には、位数 3 の元の共役類が 4 つあります_{。M 24}では、形状 3 ^{8の元が S} ₃のコピーに正規群を生成し、これは位数 168 の単純部分群と可換です。M ₂₄の直積 PSL(2,7) × S ₃は、トリオのオクタッドを並べ替え、単項式部分群の 14 個の 12 次元対角行列を並べ替えます。Co ₀では、この単項式正規化子2 ⁴ :PSL(2,7) × S ₃は、形式2.A ₉ × S ₃の最大部分群に展開されます。ここで、2.A ₉は交代群 A ₉の二重被覆です。

_{ジョン・トンプソンは、2.A n}の形のより小さな部分群の正規化子を調べることは有益であると指摘しました(Conway 1971、p. 242)。この方法で、Co ₀のその他の最大部分群がいくつか見つかります。さらに、結果として得られる連鎖には 2 つの散在群が出現します。

2.A ₈ × S ₄というサブグループがあり、これはこのチェーンの中で Co ₀で最大ではない唯一のものです。次にサブグループ(2.A ₇ × PSL ₂ (7)):2があります。次は(2.A ₆ × SU ₃ (3)):2です。ユニタリグループ SU ₃ (3) (順序6,048 ) は、次の部分群を見越して 36 頂点のグラフを持っています。その部分群は(2.A ₅ o 2.HJ):2で、ここでHall–Janko 群HJ が出現します。前述のグラフは、100 頂点のHall–Janko グラフに拡張されます。次は(2.A ₄ o 2.G ₂ (4)):2 で、G ₂ (4) はリー型の例外的な群です。

この連鎖は 6.Suz:2 (Suz =鈴木散在群) で終わります。これは、前述のように、リーチ格子の複素表現を尊重します。

コンウェイとノートンは1979年の論文で、怪物的な密造酒は怪物に限らないと示唆した。その後、ラリッサ・クイーンらは、散在群の次元の単純な組み合わせから多くのハウプトモジュロンの展開を構築できることを発見した。コンウェイ群の場合、関連するマッケイ・トンプソン級数は= {1, 0, 276,${\displaystyle T_{2A}(\tau )}$−2,048、11,202、−49,152 , ...} ( OEIS : A007246 ) および= {1, 0, 276,${\displaystyle T_{4A}(\tau )}$2,048 ,11,202、49,152、...}（OEIS：A097340）ここで定数項a（0）= 24と設定することができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{4A}(\tau )&=T_{4A}(\tau )+24\\&=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+24+276q+2048q^{2}+11202q^{3}+49152q^{4}+\dots \end{aligned}}}$

η ( τ )はデデキントのイータ関数です。

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