電気抵抗率と導電率

理想的な場合、検査対象材料の断面積と物理的組成は試料全体で均一であり、電界と電流密度はどこでも平行かつ一定です。実際、多くの抵抗器や導体は均一な断面積と均一な電流の流れを持ち、単一の材料でできているため、これは良いモデルとなります。（隣の図を参照。）このような場合、導体の抵抗はその長さに比例し、断面積に反比例します。ここで、電気抵抗率ρ （ギリシャ語：rho）は比例定数です。これは次のように表されます。

$${\displaystyle R\propto {\frac {\ell }{A}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}R&=\rho {\frac {\ell }{A}}\\[3pt]{}\Leftrightarrow \rho &=R{\frac {A}{\ell }},\end{aligned}}}$$

どこ

抵抗率は、 SI単位であるオームメートル（Ω⋅m）を用いて表すことができる。すなわち、オームに平方メートル（断面積）を掛け、メートル（長さ）で割った値である。 

抵抗と抵抗率はどちらも、物質に電流を流すのがどれほど難しいかを表す指標ですが、抵抗とは異なり、抵抗率は物質固有の性質であり、物質の幾何学的特性には依存しません。つまり、結晶構造の歪みなどを受けていない純銅（Cu）線は、形状やサイズに関係なく、すべて同じ抵抗率を持ちますが、細長い銅線は、太くて短い銅線よりもはるかに大きな抵抗値を持ちます。すべての物質には、それぞれ固有の抵抗率があります。例えば、ゴムは銅よりもはるかに大きな抵抗率を持っています。

水力学のアナロジーで言えば、高抵抗物質に電流を流すのは、砂で満たされたパイプに水を押し込むようなもの で、低抵抗物質に電流を流すのは、空のパイプに水を押し込むようなものだ。パイプのサイズと形状が同じであれば、砂で満たされたパイプの方が流れに対する抵抗が大きい。しかし、抵抗は砂の有無だけで決まるわけではない。パイプの長さと幅にも左右される。短くて幅の広いパイプは、細くて長いパイプよりも抵抗が小さい。

上記の式を転置すると、プイエの法則（クロード・プイエにちなんで名付けられた）が得られます。

$${\displaystyle R=\rho {\frac {\ell }{A}}.}$$ある要素の抵抗は長さに比例し、断面積に反比例します。例えば、A  =1^平方 メートル、${\displaystyle \ell }$ =1  m (対向面に完全導電性接点を持つ立方体を形成する) の場合、この素子の抵抗 (オーム) は、それが作られている材料の抵抗率 (Ω⋅m) と数値的に等しくなります。

導電率σは抵抗率の逆数である。

$$\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\rho }}.}$$

導電率のSI単位はジーメンス毎メートル（S/m）です。

導電率、${\displaystyle \sigma }$は、に正比例する${\displaystyle n\mu _{n}+p\mu _{p}}$

$${\displaystyle \sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})}$$

どこ：${\displaystyle q}$= 電子電荷、${\displaystyle n}$= 電子濃度、${\displaystyle p}$= ホール濃度、$\displaystyle \mu _{n}}$= 電子移動度、$\mu_p$＝正孔移動度。

形状がより複雑な場合、あるいは材料内部で抵抗率が場所によって異なる場合、電流と電場は位置の関数となります。その場合、特定の点における抵抗率を、その点における電場と電流密度との比として定義する、より一般的な式を用いる必要があります。

$${\displaystyle \rho (x)={\frac {E(x)}{J(x)}},}$$

どこ

電流密度は必然的に電場と平行になる。

導電率は抵抗率の逆数（逆数）です。ここでは、次のように表されます。

$${\displaystyle \sigma (x)={\frac {1}{\rho (x)}}={\frac {J(x)}{E(x)}}.}$$

例えば、ゴムはρが大きくσが小さい材料です 。なぜなら、ゴムには非常に大きな電場がかかっても、ほとんど電流が流れないからです。一方、銅はρが小さくσが大きい材料です 。なぜなら、銅には小さな電場でも大きな電流が流れるからです。

この式は、材料の抵抗率が一定で、形状の断面が均一な場合、「理想的な場合」の項で示した式に簡略化されます。この場合、電界と電流密度は一定で平行になります。

材料の抵抗率に方向性成分がある場合、最も一般的な抵抗率の定義を用いる必要があります。これは、材料内部の電場と電流の流れを関連付けるオームの法則のテンソルベクトル形式から始まります。この式は完全に一般的であり、上記で述べた場合を含め、あらゆる場合に有効です。ただし、この定義は最も複雑であるため、より単純な定義が適用できない異方性の場合にのみ直接使用されます。材料が等方性の場合は、テンソルベクトル定義を無視して、より単純な式を使用しても問題ありません。

ここで、異方性とは、材料が異なる方向で異なる特性を持つことを意味します。たとえば、グラファイトの結晶は微視的にはシートの積層体で構成されており、電流は各シートを非常に容易に流れますが、隣接するシートへははるかに流れにくくなります。^{[ 4 ]}このような場合、電流は電場と全く同じ方向には流れません。したがって、適切な方程式は3次元テンソル形式に一般化されます。^{[ 5 ] [ 6 ]}

$${\displaystyle \mathbf {J} ={\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {E} \,\,\rightleftharpoons \,\,\mathbf {E} ={\boldsymbol {\rho }}\mathbf {J} ,}$$

ここで、導電率σと抵抗率ρはランク 2 のテンソルであり、電場Eと電流密度Jはベクトルです。これらのテンソルは 3×3 行列で、ベクトルは 3×1 行列で表すことができ、これらの式の右辺では行列乗算が用いられます。行列形式で表すと、抵抗率の関係は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}E_{x}\\E_{y}\\E_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{xx}&\rho _{xy}&\rho _{xz}\\\rho _{yx}&\rho _{yy}&\rho _{yz}\\\rho _{zx}&\rho _{zy}&\rho _{zz}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}J_{x}\\J_{y}\\J_{z}\end{bmatrix}},}$$

どこ

同様に、抵抗率はより簡潔なアインシュタイン表記で表すこともできる。

$${\displaystyle \mathbf {E} _{i}={\boldsymbol {\rho }}_{ij}\mathbf {J} _{j}~.}$$

いずれの場合も、各電場成分の最終的な式は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{x}&=\rho _{xx}J_{x}+\rho _{xy}J_{y}+\rho _{xz}J_{z},\\E_{y}&=\rho _{yx}J_{x}+\rho _{yy}J_{y}+\rho _{yz}J_{z},\\E_{z}&=\rho _{zx}J_{x}+\rho _{zy}J_{y}+\rho _{zz}J_{z}.\end{aligned}}}$$

座標系の選択は自由であるため、通常の慣例では、現在の方向に平行なx軸を選択することで式を簡略化し、 J _y = J _z = 0とします。これにより、次の式が得られます。

$$\displaystyle \rho _{xx}={\frac {E_{x}}{J_{x}}},\quad \rho _{yx}={\frac {E_{y}}{J_{x}}},{\text{ および }}\rho _{zx}={\frac {E_{z}}{J_{x}}}.}$$

導電率は同様に定義される：^{[ 7 ]}

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}J_{x}\\J_{y}\\J_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{x}\\E_{y}\\E_{z}\end{bmatrix}}}$$

または

$${\displaystyle \mathbf {J} _{i}={\boldsymbol {\sigma }}_{ij}\mathbf {E} _{j},}$$

どちらも以下の結果をもたらす：

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{x}&=\sigma _{xx}E_{x}+\sigma _{xy}E_{y}+\sigma _{xz}E_{z}\\J_{y}&=\sigma _{yx}E_{x}+\sigma _{yy}E_{y}+\sigma _{yz}E_{z}\\J_{z}&=\sigma _{zx}E_{x}+\sigma _{zy}E_{y}+\sigma _{zz}E_{z}\end{aligned}}.}$$

2つの表現を見ると、${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$そして${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$これらは互いに逆行列です。ただし、最も一般的な場合、個々の行列要素は必ずしも互いに逆数ではありません。たとえば、 σxx_は1/ ρxxと等しくない場合があります。これは_、ホール効果で確認できます。${\displaystyle \rho _{xy}}$はゼロではない。ホール効果では、 z軸周りの回転不変性により、${\displaystyle \rho _{yy}=\rho _{xx}}$そして${\displaystyle \rho _{yx}=-\rho _{xy}}$抵抗率と導電率の関係は次のように単純化されます。^{[ 8 ]}

$${\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {\rho _{xx}}{\rho _{xx}^{2}+\rho _{xy}^{2}}},\quad \sigma _{xy}={\frac {-\rho _{xy}}{\rho _{xx}^{2}+\rho _{xy}^{2}}}.}$$

電場が印加電流と平行である場合、${\displaystyle \rho _{xy}}$そして${\displaystyle \rho _{xz}}$ゼロです。ゼロの場合、1 つの数値、${\displaystyle \rho _{xx}}$は電気抵抗率を表すのに十分である。したがって、それは単純に次のように書かれる。${\displaystyle \rho }$、そしてこれはより単純な表現に簡略化されます。

初等量子力学によれば、原子または結晶中の電子は、特定の正確なエネルギー準位しか持つことができません。これらの準位間のエネルギーは存在し得ません。このような許容準位が多数存在し、それらのエネルギー値が近接している場合（つまり、エネルギー差がごくわずかである場合）、それらの近接したエネルギー準位の組み合わせを「エネルギーバンド」と呼びます。構成原子の原子番号^{[ a ]}と結晶内でのそれらの分布^{[ b ]に応じて、物質中にこのようなエネルギーバンドが多数存在する可能性があります。}

物質中の電子は、低エネルギー状態に落ち着くことで物質全体のエネルギーを最小化しようとします。しかし、パウリの排他原理により、各状態には1つの電子しか存在できません。そのため、電子はバンド構造の底から順に「満たしていく」ように存在していきます。電子が満たしたエネルギー準位をフェルミ準位と呼びます。フェルミ準位の位置は、バンド構造に対して電気伝導において非常に重要です。フェルミ準位付近またはそれ以上のエネルギー準位にある電子のみが、より広い物質構造内を自由に移動できます。これは、電子がその領域にある部分的に占有された状態間を容易に移動できるためです。一方、低エネルギー状態は常に一定の数の電子で完全に満たされており、高エネルギー状態は常に電子が存在しません。

電流は電子の流れによって成り立っています。金属ではフェルミ準位付近に多くの電子エネルギー準位が存在するため、移動可能な電子が多数存在します。これが金属の高い電気伝導率の原因です。

バンド理論の重要な点の一つは、エネルギー準位が存在しないエネルギー区間、すなわち禁制帯が存在する可能性があることです。絶縁体や半導体では、電子の数がちょうど適切な数だけあり、特定の整数個の低エネルギーバンドを境界まで満たしています。この場合、フェルミ準位はバンドギャップ内に位置します。フェルミ準位付近には利用可能な状態がなく、電子は自由に移動できないため、電子伝導率は非常に低くなります。

金属は原子の格子から成り、各原子は外殻電子を持ち、これらの電子は親原子から自由に分離して格子内を移動します。これは正イオン格子とも呼ばれます。^{[ 9 ]}この分離可能な電子の「海」によって、金属は電流を伝導することができます。金属に電位差（電圧）が印加されると、結果として生じる電場によって電子が正極に向かってドリフトします。電子の実際のドリフト速度は通常小さく、毎時メートルのオーダーです。しかし、移動する電子の数が非常に多いため、遅いドリフト速度でも大きな電流密度が生じます。^{[ 10 ]}このメカニズムはニュートンのゆりかご内のボールの運動量の伝達に似ていますが^{[ 11 ]}、電線に沿って電気エネルギーが急速に伝播するのは機械的な力によるものではなく、電線によって導かれるエネルギーを運ぶ電磁場の伝播によるものです。

金属はゼロではない電気抵抗を持ちますが、半導体や絶縁体のそれよりもかなり小さいです。より単純なモデル（非量子力学的モデル）では、電子と結晶格子を波のような構造に置き換えることで説明できます。電子波が格子を通過すると、波が干渉し、抵抗が生じます。格子がより規則的であるほど、乱れが少なくなり、抵抗も小さくなります。したがって、抵抗の量は主に 2 つの要因によって引き起こされます。1 つ目は、温度、つまり結晶格子の振動の量によって引き起こされます。温度が高いほど振動が大きくなり、格子の不規則性として作用します。2 つ目は、異なるイオンの混合物も不規則性であるため、金属の純度が関係します。^{[ 12 ] [ 13 ]}純金属の融解時に導電率がわずかに低下するのは、長距離結晶秩序が失われるためです。短距離秩序は残り、イオンの位置間の強い相関により、隣接するイオンによって回折された波の間にコヒーレンスが生じます。^{[ 14 ]}

金属では、フェルミ準位は伝導帯（上記のバンド理論を参照）にあり、自由伝導電子が生じます。しかし、半導体では、フェルミ準位の位置はバンドギャップ内にあり、伝導帯の最小値（電子が満たされていないエネルギー準位の最初のバンドの底）と価電子帯の最大値（伝導帯の下にある、電子が満たされているエネルギー準位のバンドの頂上）のほぼ中間に位置します。これは、真性（無添加）半導体の場合に当てはまります。つまり、絶対零度では自由伝導電子は存在せず、抵抗は無限大になります。しかし、伝導帯の電荷キャリア密度（つまり、これ以上複雑なことを導入せずに言えば、電子密度）が増加すると、抵抗は減少します。外因性（添加）半導体では、ドーパント原子が伝導帯に電子を供与するか、価電子帯に正孔を生成することによって、多数キャリア濃度を増加させます。 （「ホール」とは電子が欠落している位置のことで、このようなホールは電子と同様の挙動を示すことがあります。）ドナー原子とアクセプター原子のどちらの場合も、ドーパント密度が増加すると抵抗が減少します。したがって、高濃度にドープされた半導体は金属的な挙動を示します。非常に高温になると、熱によって生成されたキャリアの寄与がドーパント原子からの寄与を上回り、抵抗は温度とともに指数関数的に減少します。

電解質では、電気伝導はバンド電子や正孔ではなく、それぞれが電荷を帯びた完全な原子種（イオン）の移動によって起こります。イオン溶液（電解質）の抵抗率は濃度によって大きく変化します。蒸留水はほぼ絶縁体ですが、塩水は適度な電気伝導体です。イオン液体における伝導もイオンの移動によって制御されますが、ここでは溶媒和イオンではなく溶融塩について述べています。生体膜では、電流はイオン塩によって運ばれます。細胞膜にあるイオンチャネルと呼ばれる小さな穴は、特定のイオンを選択的に通過させ、膜抵抗を決定します。

液体（例えば水溶液）中のイオン濃度は、溶解物質の解離度合いに依存し、その解離度合いは解離係数によって特徴づけられる。${\displaystyle \alpha }$これはイオン濃度の比率です${\displaystyle N}$溶解した物質の分子濃度に対して${\displaystyle N_{0}}$:

$${\displaystyle N=\alpha N_{0}~.}$$

比電気伝導率（${\displaystyle \sigma }$溶液の ) は以下と等しい:

$${\displaystyle \sigma =q\left(b^{+}+b^{-}\right)\alpha N_{0}~,}$$

どこ${\displaystyle q}$イオン電荷のモジュール、${\displaystyle b^{+}}$そして${\displaystyle b^{-}}$: 正負に帯電したイオンの移動度、${\displaystyle N_{0}}$: 溶解した物質の分子の濃度、${\displaystyle \alpha }$：解離係数。

金属導体の電気抵抗率は、温度が下がると徐々に減少します。銅や銀などの通常の（つまり、超伝導ではない）導体では、この減少は不純物やその他の欠陥によって制限されます。絶対零度に近い場合でも、通常の導体の実際のサンプルはいくらかの抵抗を示します。超伝導体では、材料が臨界温度以下に冷却されると、抵抗は急激にゼロに低下します。通常の導体では、電流は電圧勾配によって駆動されますが、超伝導体では電圧勾配はなく、電流は代わりに超伝導秩序パラメータの位相勾配に関連しています。^{[ 15 ]}この結果として、超伝導ワイヤのループを流れる電流は、電源なしで無限に持続することができます。^{[ 16 ]}

既知の高温超伝導体すべてを含む、タイプII超伝導体と呼ばれる超伝導体群では、電流を流し、同時に強い磁場を印加すると、公称超伝導転移温度よりそれほど低くない温度で、極めて低いがゼロではない抵抗値が現れます。これは、電流によって引き起こされる可能性のある、電子超流体中の磁気渦の運動によるものです。この運動によって、電流が運ぶエネルギーの一部が散逸します。この効果による抵抗は、非超伝導物質の抵抗に比べて非常に小さいですが、高感度な実験では考慮する必要があります。しかし、温度が公称超伝導転移温度より十分に低くなると、これらの渦が凍結し、物質の抵抗が真にゼロになることがあります。

プラズマは非常に優れた導体であり、電位が重要な役割を果たす。

荷電粒子間の空間に平均的に存在する電位は、測定方法とは無関係に、プラズマ電位または空間電位と呼ばれます。電極をプラズマに挿入すると、デバイ鞘と呼ばれるものにより、その電位は一般的にプラズマ電位よりもかなり低くなります。プラズマの電気伝導性が高いため、電場は非常に小さくなります。この結果、準中性という重要な概念が生じます。これは、プラズマの大きな体積では負電荷の密度が正電荷の密度とほぼ等しい（n _e = ⟨Z⟩  > n _i  ）ものの、デバイ長のスケールでは電荷の不均衡が生じる可能性があることを意味します。二重層が形成される特殊なケースでは、電荷分離は数十デバイ長に及ぶことがあります。

電位と電場の大きさは、単に正味電荷密度を求める以外の方法で決定する必要がある。よくある例として、電子がボルツマン関係を満たすと仮定することが挙げられる。 $${\displaystyle n_{\text{e}}\propto \exp \left(e\Phi /k_{\text{B}}T_{\text{e}}\right).}$$

この関係式を微分することで、密度から電場を計算する手段が得られる。 $${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {k_{\text{B}}T_{\text{e}}}{e}}{\frac {\nabla n_{\text{e}}}{n_{\text{e}}}}.}$$

（∇はベクトル勾配演算子です。詳しくはナブラ記号と勾配の項を参照してください。）

準中性ではないプラズマを生成することは可能である。例えば、電子ビームは負電荷のみを持つ。非中性プラズマの密度は、一般的に非常に低いか、非常に小さい必要がある。そうでなければ、静電反発力によって散逸してしまう。

天体プラズマでは、デバイ遮蔽効果により、電場がデバイ長よりも長い距離にわたってプラズマに直接影響を与えることが防がれます。しかし、荷電粒子の存在により、プラズマは磁場を生成し、また磁場の影響を受けます。これにより、プラズマ二重層の生成など、極めて複雑な挙動が生じる可能性があります。プラズマ二重層とは、電荷を数十デバイ長にわたって分離する物体です。外部磁場および自己生成磁場と相互作用するプラズマのダイナミクスは、磁気流体力学という学問分野で研究されています。

プラズマは、固体、液体、気体に続く第4の状態と呼ばれることが多い。^{[ 18 ] [ 19 ]}これは、これらの状態や他の低エネルギー状態の物質とは区別される。プラズマも一定の形や体積を持たないという点で気相と密接に関連しているが、以下のような多くの点で異なっている。

この表は、 20 °C (68 °F; 293 K)におけるさまざまな材料の抵抗率 ( ρ )、導電率、および温度係数を示しています。   

有効温度係数は、温度と材料の純度レベルによって変化します。20  °C の値は、他の温度で使用する場合は近似値にすぎません。たとえば、銅の場合、高温になるほど係数は低くなり、0.00427 という値が一般的に指定されます。0  °C . ^{[ 53 ]}

銀の極めて低い抵抗率（高い導電率）は金属の特徴である。ジョージ・ガモフは、著書『1、2、3…無限』（1947年）の中で、金属と電子の相互作用の性質を簡潔にまとめている。

金属は、原子の最外殻電子が比較的緩く結合しており、しばしば電子を自由に放出するという点で、他のすべての物質とは異なります。そのため、金属の内部は、まるで行き場を失った人々の群れのように、無秩序に動き回る多数の自由電子で満たされています。金属線の両端に電気力が加わると、これらの自由電子は力の方向に一斉に移動し、いわゆる電流を形成します。

より専門的に言えば、自由電子モデルは金属中の電子の流れの基本的な説明を与えるものである。

木材は極めて優れた絶縁体として広く認識されているが、その抵抗率は含水率に大きく依存し、湿った木材は少なくとも10 ¹⁰オーブンで乾燥させたものよりも絶縁性が劣る。^{[ 46 ]}いずれにせよ、落雷や高圧送電線のような十分に高い電圧は、見た目が乾燥した木材であっても絶縁破壊や感電の危険につながる可能性がある。

ほとんどの物質の電気抵抗率は温度によって変化します。温度Tがあまり変化しない場合は、通常、線形近似が使用されます。 $${\displaystyle \rho (T)=\rho _{0}[1+\alpha (T-T_{0})],}$$

どこ${\displaystyle \alpha }$抵抗率の温度係数と呼ばれ、${\displaystyle T_{0}}$は固定された基準温度（通常は室温）であり、${\displaystyle \rho _{0}}$温度における抵抗率${\displaystyle T_{0}}$パラメータ${\displaystyle \alpha }$は測定データから適合された経験的パラメータであり、1/ に等しい。${\displaystyle \kappa }$線形近似はあくまで近似であるため、${\displaystyle \alpha }$基準温度によって異なる。そのため、通常は、${\displaystyle \alpha }$接尾辞を付けて測定しました。${\displaystyle \alpha _{15}}$また、この関係は基準温度付近の温度範囲内でのみ成り立ちます。^{[ 54 ]}温度が広い範囲で変化する場合は、線形近似は不十分であり、より詳細な分析と理解が必要となります。

一般的に、金属の電気抵抗率は温度とともに増加します。電子-フォノン相互作用が重要な役割を果たすことがあります。高温では、金属の抵抗は温度とともに直線的に増加します。金属の温度が低下すると、抵抗率の温度依存性は温度のべき乗関数に従います。数学的には、金属の抵抗率ρの温度依存性は、ブロッホ-グリューナイゼン式によって近似できます。^{[ 55 ]}

$${\displaystyle \rho (T)=\rho (0)+A\left({\frac {T}{\Theta _{R}}}\right)^{n}\int _{0}^{\Theta _{R}/T}{\frac {x^{n}}{(e^{x}-1)(1-e^{-x})}}\,dx,}$$

どこ${\displaystyle \rho (0)}$は欠陥散乱による残留抵抗率であり、Aはフェルミ面における電子の速度、デバイ半径、および金属中の電子の数密度に依存する定数である。${\displaystyle \Theta _{R}}$は抵抗率測定から得られるデバイ温度であり、比熱測定から得られるデバイ温度の値と非常によく一致する。nは相互作用の性質に依存する整数である。

• n  =  5 は、抵抗がフォノンによる電子の散乱に起因することを意味する（単純な金属の場合と同様）。
• n  =  3 は、抵抗が sd 電子散乱によるものであることを意味する (遷移金属の場合と同様)。
• n  =  2 は、抵抗が電子間相互作用によるものであることを意味する。

ブロッホ・グリューナイゼン式は、研究対象の金属が第一ブリルアンゾーン内に球状のフェルミ面を持ち、デバイフォノンスペクトルを持つと仮定して得られる近似式である。^{[ 56 ]}

複数の散乱源が同時に存在する場合、マティッセンの法則（1860年代にオーガスタス・マティッセンによって最初に定式化された） ^{[ 57 ] [ 58 ]}によれば、全抵抗は、それぞれ適切なnの値を持ついくつかの異なる項を合計することによって近似できる。 

金属の温度が十分に低下すると（すべてのフォノンが「凍結」するほど）、抵抗率は通常、残留抵抗率と呼ばれる一定値に達します。この値は、金属の種類だけでなく、その純度や熱履歴にも依存します。金属の残留抵抗率は、不純物濃度によって決まります。一部の材料は、超伝導と呼ばれる効果により、十分に低い温度で電気抵抗を完全に失います。

金属の低温抵抗率の研究は、 1911年に超伝導の発見につながったハイケ・カメルリング・オネスの実験の動機となった。詳細は「超伝導の歴史」を参照のこと。

一般的に、真性半導体の抵抗率は温度の上昇とともに減少します。電子は熱エネルギーによって伝導帯に励起され、そこで自由に移動します。その際、価電子帯には正孔が残り、これも自由に移動します。典型的な真性（非ドープ）半導体の電気抵抗は、アレニウスモデルに従って温度とともに指数関数的に減少します。

$${\displaystyle \rho =\rho _{0}e^{\frac {E_{A}}{k_{B}T}}.}$$

半導体の抵抗率の温度依存性をより正確に近似する式として、スタインハート・ハート方程式がある。

$${\displaystyle {\frac {1}{T}}=A+B\ln \rho +C(\ln \rho )^{3},}$$

ここで、 A、B、Cは、いわゆるスタインハート・ハート係数である。

この方程式はサーミスタの校正に使用されます。

外因性（ドーピングされた）半導体は、はるかに複雑な温度プロファイルを示します。絶対零度から温度が上昇すると、キャリアがドナーまたはアクセプターから離れるため、抵抗はまず急激に減少します。ほとんどのドナーまたはアクセプターがキャリアを失うと、キャリアの移動度が低下するため（金属の場合と同様）、抵抗は再びわずかに増加し始めます。高温では、ドナー/アクセプターからのキャリアが熱的に生成されたキャリアに比べて無視できるほど小さくなるため、真性半導体のように振る舞います。^{[ 59 ]}

非結晶性半導体では、電荷が量子トンネル効果によってある局在サイトから別の局在サイトへ移動することで伝導が起こる。これは可変範囲ホッピングとして知られており、次のような特徴的な形式をとる 。$${\displaystyle \rho =A\exp \left((T_{0}/T)^{1/n}\right),}$$

ここで、n = 2、3、4 はシステムの次元に応じて異なり、${\displaystyle T_{0}}$これは、特徴的な温度目盛です。

近藤絶縁体は、抵抗率が次の式に従う材料である。

${\displaystyle \rho (T)=\rho _{0}+aT^{2}+bT^{5}+c_{m}\ln {\frac {\mu }{T}}}$

どこ${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c_{m}}$そして${\displaystyle \mu }$定数パラメータ、${\displaystyle \rho _{0}}$残留抵抗率、${\displaystyle T^{2}}$フェルミ液体の寄与、${\displaystyle T^{5}}$格子振動項と${\displaystyle \ln {\frac {1}{T}}}$近藤効果。

1774年にオランダ生まれのイギリス人科学者ヤン・インゲンホウスに宛てた手紙の中で、ベンジャミン・フランクリンは、別のイギリス人科学者ジョン・ウォルシュが行った実験について述べている。その実験は、次のような驚くべき事実を示したとされている。希薄な空気は通常の空気よりも電気をよく伝導するが、真空は全く電気を伝導しない。^{[ 63 ]}

ウォルシュ氏は電気に関して興味深い発見をしました。ご存知のように、希薄な空気中では電気はより自由に流れ、密度の高い空気中よりも広い空間を飛び越えます。そのため、完全な真空中では電気は全く妨げられることなくどんな距離でも流れると結論付けられました。しかし、長いトリチェリ管に沸騰した水銀を入れ、その両端を水銀で満たされたカップに浸して完全な真空状態を作り出したところ、真空は全く電気を伝導せず、電気流体の通過を完全に阻害することが分かりました。

しかし、この声明には、手紙を掲載しているウェブページの編集者（アメリカ哲学協会とイェール大学）によって（現代の知識に基づいて）注釈が追加されました。^{[ 63 ]}

ウォルシュの研究結果に何らかの誤りがあったと推測するしかない。…気体の導電率は真空に近づくにつれてある点まで増加し、その後減少するが、その点は、記述された手法で到達できると予想される範囲をはるかに超えている。沸騰によって空気が水銀蒸気に置き換えられ、それが冷却されるにつれて真空状態が作り出されたが、その真空状態は蒸気の導電率を減少させるどころか、完全に除去するには到底不十分だっただろう。

バーロウの法則は1825年に発表され、 オームの法則は1827年に発表された。どちらも測定データに対する経験的な近似値である。

電子がこのような振る舞いをする理由を科学的に初めて説明したのが、1900年に初めて提唱されたドルーデモデルである。