ドルーデモデル

ドルーデの論文が発表された直後、マックス・レインガヌムは比熱に問題があり、デュロン・プティの法則に合致していないと指摘した。^{[ 10 ]}

1901年、アルベルト・アインシュタインは博士課程在学中に、ドルーデに手紙を書き、彼のモデルの統計的根拠に疑問を呈した。手紙は見つかっていないが、その内容はアインシュタインとミレヴァ・マリッチの書簡から部分的に復元されている。アインシュタインの最初の異議は、ルートヴィヒ・ボルツマンの統計力学の欠陥に関するもので、ドルーデはボルツマンを擁護する形で返答した。2番目の異議もなされたが、その内容は不明である。このやり取りの後、アインシュタインは1902年に統計力学に関する論文を執筆するに至った。^{[ 16 ] [ 17 ]}

ヘンドリック・アントーン・ローレンツは、ローレンツ・エーテル理論とローレンツ振動子モデルにおいて電子の役割を研究した。1903年、彼はドルーデモデルを用いて長波長極限におけるプランクの法則を導出した。 ^{[ 10 ]} 1904年にベルリンで行われた講演で、彼は改良されたドルーデモデルを発表し、1905年に発表した。そのため、ドルーデ・ローレンツモデルとしても知られている。^{[ 18 ] [ 19 ] [ 10 ]}彼は電場と温度の影響を自己無撞着な方法で導入した。ルドルフ・ゼーリガーは、ローレンツが「電子統計に関して、ボルツマンと[ジェームズ・クラーク]マクスウェルが[ルドルフ]クラウジウスの元の方程式を拡張することによって当時達成したのと同じことを成し遂げた」と考えた。^{[ 10 ]}

ローレンツはまた、ドルーデによるヴィーデマン・フランツの法則の導出における係数2を修正したが、これは予測精度の低下につながった。^{[ 10 ]}

1906年、リヒャルト・ガンスは、ドルーデモデルがホール効果実験、特にホール係数の符号に関して、正確ではないことを発見した。1911年までに、カール・ベデカーは、ドルーデモデルがすべてのガルバノ磁気現象に対して不正確であることを発表した。同年、ニールス・ボーアも論文の中で、（ボーア・ファン・レーウェンの定理によれば）ドルーデモデルでは金属の反磁性を説明できないことを示した。これが、ボーアが原子のボーアモデルを定式化するきっかけとなった。 ^{[ 10 ]}

1911年当時も、ドルーデのモデルで予測された比熱に問題があるという共通認識があった。予測が間違っているか、比熱に対する電子の寄与が無視できるほど小さいかのどちらかだった。^{[ 10 ]} 1912年、ピーター・デバイはデバイモデルにおいて、低温での比熱の挙動は、最近開発された量子論を用いて格子の寄与によって説明できることを示した。^{[ 10 ]}

ヴィルヘルム・ウィーンは1913年に、ドルーデモデルが誤った憶測の源泉になり始めたと書いた。彼は「熱伝導の問題と量子論との関連性は、理論を定式化できるほど発展していないようだ」と考えていた。^{[ 10 ]}

1924年、ドルーデモデルの問題点について第4回ソルベー会議が開催された。この頃、縮退理論が議論されていた。1924年、アインシュタインはサティエンドラ・ナート・ボースと共同で、最近開発されたボース＝アインシュタイン統計を金属中の電子に適用しようとしたが、互換性がないことを示した。1925年、ヴォルフガング・パウリは電子の排他原理を提唱した。エンリコ・フェルミとポール・ディラックは1926年にそれぞれ独立にフェルミ＝ディラック統計を発表した。特にフェルミはドルーデモデルの失敗に触発された。^{[ 10 ]}

ドルーデは電子ガスのモデルを導出するためにマクスウェル・ボルツマン統計を用いましたが、これは当時唯一利用可能なものでした。アーノルド・ゾンマーフェルトは、この統計を正しいフェルミ・ディラック統計に置き換えることで、1927年に自由電子モデルを構築し、予測を大幅に改善しました。^{[ 20 ]}ゾンマーフェルトの理論は、ローレンツ数の実験値とより正確に一致しました。^{[ 10 ]}彼は比熱の問題も解決しました。彼はコモ会議で自身の凝縮された理論を発表しました。^{[ 10 ]}

ドルーデモデルの最も単純な解析では、電場Eは均一かつ一定であり、電子の熱速度は十分に高く、平均τ秒ごとに発生する衝突の間に運動量dpがごくわずかしか蓄積されないと仮定している。^{[ 7 ]}

すると、時刻tで孤立した電子は、平均して最後の衝突から τの時間移動しており、その結果、運動量を蓄積していることになる。$${\displaystyle \Delta \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}$$

最後の衝突の際、この電子は前方に跳ね返る可能性も後方に跳ね返る可能性も同じなので、電子の運動量に対するそれまでのすべての寄与は無視でき、その結果、次の式が得られます。 $${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}$$

関係式を代入すると $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {p} \rangle &=m\langle \mathbf {v} \rangle ,\\\mathbf {J} &=nq\langle \mathbf {v} \rangle ,\end{aligned}}}$$ その結果、上述のオームの法則が定式化される。 $${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {nq^{2}\tau }{m}}\mathbf {E} .}$$

有効な抗力を導入することで、その運動を記述することもできる。時刻t = t ₀ + dtにおける電子の運動量は次のようになる。 $${\displaystyle \mathbf {p} (t_{0}+dt)=\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left[\mathbf {p} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})\right]+{\frac {dt}{\tau }}\left(\mathbf {g} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})\right)}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {f} (t)}$これは、キャリアに作用する一般的な力（例えばローレンツ力）として、あるいはより具体的には電子に作用する力として解釈できる。${\displaystyle \mathbf {g} (t_{0})}$は、衝突後のランダムな方向を持つキャリアの運動量です（つまり、運動量を持つキャリアの運動量です）。${\displaystyle \langle \mathbf {g} (t_{0})\rangle =0}$）そして絶対運動エネルギー $${\displaystyle {\frac {\langle |\mathbf {g} (t_{0})|\rangle ^{2}}{2m}}={\frac {3}{2}}KT.}$$

平均して、${\displaystyle \textstyle 1-{\frac {dt}{\tau }}}$電子のうち、別の衝突を経験しなかったものは、平均してランダムな方向に出て、全体の運動量に寄与するのはわずか数パーセントに過ぎない。${\displaystyle \textstyle {\frac {dt}{\tau }}\mathbf {f} (t)dt}$これは2次である。^{[ 25 ]}

少し代数計算をして、次数項を省略すると$\displaystyle dt^{2}}$これにより、一般的な微分方程式が得られます。 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=\mathbf {f} (t)-{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}}$$

2番目の項は、実際にはドルーデ効果による余分な抗力または減衰項です。

時刻t = t ₀ + dt における電子の平均運動量は $${\displaystyle \langle \mathbf {p} (t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left(\langle \mathbf {p} (t_{0})\rangle +q\mathbf {E} \,dt\right),}$$ その後 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\mathbf {E} -{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},}$$ ここで、 ⟨ p ⟩ は平均運動量、q は電子の電荷を表す。これは非斉次微分方程式であり、これを解くことで一般解が得られる。 $${\displaystyle \langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\tau \mathbf {E} (1-e^{-t/\tau })+\langle \mathbf {p} (0)\rangle e^{-t/\tau }}$$p ( t )の 場合、定常状態解⁠d / dt⁠⟨p⟩ =0は次のようになります 。$${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\tau \mathbf {E} .}$$

上記のように、平均運動量は平均速度と関連があり、これは電流密度と関連がある可能性があります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {p} \rangle &=m\langle \mathbf {v} \rangle ,\\\mathbf {J} &=nq\langle \mathbf {v} \rangle ,\end{aligned}}}$$ そして、その材料はオームの法則を満たすことが示される。${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma _{0}\mathbf {E} }$直流伝導率σ0の 場合_：$${\displaystyle \sigma _{0}={\frac {nq^{2}\tau }{m}}}$$

ドルーデモデルは、角周波数ωを持つ時間依存電場に対する応答としての電流も予測できる。複素導電率は $${\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }}={\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}+i\omega \tau {\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}.}$$

ここでは以下のことが前提とされている。 $${\displaystyle {\begin{aligned}E(t)&=\Re {\left(E_{0}e^{-i\omega t}\right)};\\J(t)&=\Re \left(\sigma (\omega )E_{0}e^{-i\omega t}\right).\end{aligned}}}$$ 工学分野では、一般的にすべての式においてiは− i (または− j )に置き換えられます。これは、時間とともに移動する観測点における遅延ではなく、原点に対する位相差を反映しています。

虚数部は、電流が電場に遅れていることを示しています。これは、電子が電場の変化に応じて加速するのに約τの時間を要するためです。ここではドルーデモデルを電子に適用していますが、電子と正孔（半導体中の正電荷キャリア）の両方に適用できます。σ(ω)の曲線はグラフに示されています。

周波数が正弦波状に変化する電場の場合${\displaystyle \omega }$固体に電場を印加すると、負に帯電した電子はプラズマのように振る舞い、正に帯電した背景から距離xだけ離れる傾向があります。その結果、試料は分極し、試料の反対側の表面に過剰な電荷が生じます。

試料の誘電率は次のように表さ れる。$${\displaystyle \varepsilon _{r}={\frac {D}{\varepsilon _{0}E}}=1+{\frac {P}{\varepsilon _{0}E}}}$$ どこ${\displaystyle D}$は電気変位であり、${\displaystyle P}$は分極密度です。

分極密度は次のように表される。 $${\displaystyle P(t)=\Re {\left(P_{0}e^{i\omega t}\right)}}$$そして、 n個の電子密度 を持つ分極密度は$${\displaystyle P=-nex}$$ 少し代数計算をすると、分極密度と電場の関係は次のように表すことができます。 $${\displaystyle P=-{\frac {ne^{2}}{m\omega ^{2}}}E}$$ 固体の周波数依存誘電関数は $${\displaystyle \varepsilon _{r}(\omega )=1-{\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m\omega ^{2}}}}$$

共振周波数において${\displaystyle \omega _{\rm {p}}}$プラズマ周波数​​と呼ばれる周波数では、誘電関数の符号が負から正に変化し、誘電関数の実部がゼロに低下します。 $${\displaystyle \omega _{\rm {p}}={\sqrt {\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m}}}}$$ プラズマ周波数​​は、プラズマ振動共鳴またはプラズモンを表します。プラズマ周波数​​は、固体中の価電子密度の平方根を直接測定するために使用できます。観測値は、多くの材料についてこの理論的予測と合理的に一致しています。^{[ 28 ]}プラズマ周波数​​より低い場合、誘電関数は負であり、電場はサンプルを透過できません。プラズマ周波数​​より低い角周波数の光は完全に反射されます。プラズマ周波数​​より高い場合、光波はサンプルを透過できます。典型的な例は、紫外線領域で透明になるアルカリ金属です。^{[ 29 ]}

ドルーデモデルの大きな成功の一つは、ヴィーデマン・フランツの法則の説明である。これは、ドルーデの当初の計算における誤差が偶然相殺されたことによる。ドルーデはローレンツ数の値を予測した。 $${\displaystyle {\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}\,\mathrm {W{\cdot }\Omega /K^{2}} }$$ 実験値は通常、以下の範囲です。${\displaystyle 2-3\times 10^{-8}~\mathrm {W{\cdot }\Omega /K^{2}} }$0～100℃の温度範囲の金属の場合。^{[ 30 ]}

細い棒状の物体に一般的な温度勾配を設けると、低温側に向かって電子の流れが生じます。実験が開回路で行われる場合、この電流はその側に蓄積され、電流に逆らう電場が発生します。この電場を熱電場と呼びます。 $${\displaystyle \mathbf {E} =Q\nabla T}$$ Qは熱電能と呼ばれる。ドルーデの推定値は、比熱との直接的な関係を考慮すると、実際よりも100倍低い値である。 $${\displaystyle Q=-{\frac {c_{v}}{3ne}}=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}\mathrm {~V/K} }$$ 室温における典型的な熱電能は100分の1程度で、マイクロボルトオーダーである。^{[ 32 ]}

時間領域または周波数領域におけるドルーデ金属の特性挙動、すなわち時定数τによる指数関数的緩和、または上述のσ ( ω )の周波数依存性は、ドルーデ応答と呼ばれます。従来の単純な実際の金属（例えば、室温のナトリウム、銀、または金）では、特性周波数τ ^-1が赤外周波数領域にあるため、このような挙動は実験的に見られません。この領域では、ドルーデモデルで考慮されていない他の特徴（バンド構造など）が重要な役割を果たします。^{[ 34 ]}しかし、金属特性を持つ他の特定の材料では、周波数依存性伝導率がσ ( ω )の単純なドルーデ予測に非常によく従うことがわかっています。これらは、緩和率τ ^-1がはるかに低い周波数にある材料です。^{[ 34 ]}これは、特定のドープされた半導体単結晶^{[ 36 ]} 、高移動度二次元電子ガス^{[ 37 ]}、および重いフェルミオン金属^{[ 38 ]}の場合です。

• アシュクロフト、ニール；マーミン、N.デイビッド（1976）。固体物理学。ニューヨーク：ホルト・ラインハート・アンド・ウィンストン。ISBN 978-0-03-083993-1。
• キッテル、チャールズ（2005）。固体物理学入門（第8 版）。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社。ISBN 0-471-41526-X。
• ジマン、JM（1972）。固体理論の原理（第2 版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-29733-8。