浸透閾値付近の導電率

物理学におけるパーコレーション閾値付近の導電性は、誘電体と金属成分の混合物で発生します。この混合物の導電性 と誘電率は、金属成分の割合がパーコレーション閾値に達すると臨界挙動を示します。^[1]${\displaystyle \sigma}$ ${\displaystyle \epsilon }$

この浸透閾値付近の導電率の挙動は、誘電体成分の導電率から金属成分の導電率への滑らかな変化を示します。この挙動は、2 つの臨界指数「s」と「t」を使用して記述できますが、閾値にどちらかの側から近づくと誘電率は発散します。電子部品の周波数依存の挙動を含めるには、抵抗器-コンデンサモデル (RC モデル) が使用されます。

誘電体と金属成分のこのような混合物を記述するために、結合パーコレーションのモデルを使用します。規則的な格子上では、2 つの最も近い隣接結合間の結合は、確率 で占有されるか、確率 で占有されません。臨界値 が存在します。占有確率では、占有された結合の無限のクラスターが形成されます。この値はパーコレーションしきい値と呼ばれます。このパーコレーションしきい値に近い領域は、2 つの臨界指数 と で記述できます(パーコレーション臨界指数を参照)。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle 1-p}$${\displaystyle p_{c}}$${\displaystyle p>p_{c}}$${\displaystyle p_{c}}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \beta }$

これらの臨界指数から相関長は次のように表される。${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \xi (p)\propto (p_{c}-p)^{-\nu }}$

浸透確率P :

${\displaystyle P(p)\propto (p-p_{c})^{\beta }}$

電気パーコレーションの記述では、結合パーコレーションモデルの占有された結合を、導電性を持つ金属成分と同一視します。また、導電性を持つ誘電体成分は、非占有結合に対応します。導体と絶縁体の混合物と超伝導体と導体の混合物という、よく知られた2つのケースを検討します。 ${\displaystyle \sigma _{m}}$${\displaystyle \sigma _{d}}$

導体と絶縁体の混合物の場合は、 となります。このケースは、パーコレーション閾値に上から近づいた場合の挙動を説明しています。 ${\displaystyle \sigma _{d}=0}$

${\displaystyle \sigma _{DC}(p)\propto \sigma _{m}(p-p_{c})^{t}}$

のために${\displaystyle p>p_{c}}$

パーコレーション閾値以下では、完全な絶縁体と有限の金属クラスターのため、導電性はありません。指数 t は、電気パーコレーションの 2 つの重要な指数の 1 つです。

超伝導体と伝導体の混合物のもう一つのよく知られたケースはです。このケースは、パーコレーション閾値以下の説明に役立ちます。 ${\displaystyle \sigma _{m}=\infty }$

${\displaystyle \sigma _{DC}(p)\propto \sigma _{d}(p_{c}-p)^{-s}}$

のために${\displaystyle p<p_{c}}$

さて、パーコレーション閾値を超えると、超伝導クラスターが無限大になるため、導電率は無限大になります。また、電気パーコレーションの 2 番目の臨界指数 s も得られます。

パーコレーション閾値付近の領域では、導電率は次のようなスケーリング形式をとる：^[2]

${\displaystyle \sigma (p)\propto \sigma _{m}|\Delta p|^{t}\Phi _{\pm }\left(h|\Delta p|^{-s-t}\right)}$

と​${\displaystyle \Delta p\equiv p-p_{c}}$${\displaystyle h\equiv {\frac {\sigma _{d}}{\sigma _{m}}}}$

浸透閾値では、導電率は次の値に達する：^[1]

${\displaystyle \sigma _{DC}(p_{c})\propto \sigma _{m}\left({\frac {\sigma _{d}}{\sigma _{m}}}\right)^{u}}$

と${\displaystyle u={\frac {t}{t+s}}}$

異なる情報源では、3 次元における臨界指数 s、t、u の値が異なります。

誘電率もパーコレーション閾値付近で臨界挙動を示す。誘電率の実数部は次の式で表される: ^[1]

${\displaystyle \epsilon _{1}(\omega =0,p)={\frac {\epsilon _{d}}{|p-p_{c}|^{s}}}}$

RCモデルでは、パーコレーションモデルの結合は、占有結合に対しては導電性を持つ純粋な抵抗器で表され、非占有結合に対しては導電性を持つ完全なコンデンサ（ここで角周波数を表す）で表されます。ここで、スケーリング則は次の形をとります。^[2]${\displaystyle \sigma _{m}=1/R}$${\displaystyle \sigma _{d}=iC\omega }$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \sigma (p,\omega )\propto {\frac {1}{R}}|\Delta p|^{t}\Phi _{\pm }\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}|\Delta p|^{-(s+t)}\right)}$

このスケーリング則には、純粋に虚数のスケーリング変数と臨界時間スケールが含まれている。

${\displaystyle \tau ^{*}={\frac {1}{\omega _{0}}}|\Delta p|^{-(s+t)}}$

これは、浸透閾値に上からも下からも近づくと発散する。^[2]

高密度ネットワークの場合、パーコレーションの概念は直接適用できず、有効抵抗はネットワークの幾何学的特性に基づいて計算されます。^[4]エッジ長 << 電極間隔でエッジが均一に分布していると仮定すると、電位は1つの電極から別の電極に均一に低下すると考えられます。このようなランダムネットワークのシート抵抗 ( ) は、エッジ (ワイヤ) 密度 ( )、抵抗率 ( )、幅 ( )、およびエッジ (ワイヤ) の厚さ ( )によって次のように表すことができます。 ${\displaystyle R_{sn}}$${\displaystyle N_{E}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle w}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle R_{sn}={\frac {\pi }{2}}{\frac {\rho }{wt{\sqrt {N_{E}}}}}}$

• 浸透理論