フェルミ面

凝縮系物理学では、フェルミ面は、ゼロ温度で占有電子状態と非占有電子状態を分離する逆格子空間の表面です。 ^{[ 1 ]}フェルミ面の形状は、結晶格子の周期性と対称性、および電子エネルギーバンドの占有から導き出されます。フェルミ面の存在は、量子状態ごとに最大1つの電子を許容するパウリの排他原理の直接的な結果です。 ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}物質のフェルミ面の研究は、フェルミ学と呼ばれます。

スピンのない理想フェルミガスを考える${\displaystyle N}$粒子。フェルミ・ディラック統計によれば、エネルギーを持つ状態の平均占有数は$\displaystyle \epsilon _{i}}$^{[ 7 ]}で与えられる

${\displaystyle \langle n_{i}\rangle ={\frac {1}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}},}$

どこ

• ${\displaystyle \left\langle n_{i}\right\rangle }$は、${\displaystyle i}$州
• ${\displaystyle \epsilon _{i}}$は運動エネルギーです${\displaystyle i}$州
• ${\displaystyle \mu }$は化学ポテンシャル（零温度では、これは粒子が持つことができる最大の運動エネルギー、すなわちフェルミエネルギーである）である。${\displaystyle E_{\rm {F}}}$）
• ${\displaystyle T}$絶対温度​
• ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$はボルツマン定数です

極限を考えてみましょう${\displaystyle T\to 0}$すると、

${\displaystyle \left\langle n_{i}\right\rangle \to {\begin{cases}1&(\epsilon _{i}<\mu )\\0&(\epsilon _{i}>\mu )\end{cases}}.}$

パウリの排他原理により、2つのフェルミオンが同じ状態にあることはできません。さらに、絶対零度では電子のエンタルピーは最小でなければならず、つまり電子は状態変化できません。ある状態にある粒子に対して、占有されていないより低い状態が存在し、それを占有できる場合、それらの状態間のエネルギー差によって電子は追加のエンタルピーを得ます。したがって、電子のエンタルピーは最小になりません。したがって、絶対零度では、すべての最低エネルギー状態が飽和していなければなりません。大きなアンサンブルの場合、フェルミ準位は系の化学ポテンシャルとほぼ等しくなり、したがって、このエネルギーより低いすべての状態が占有されていなければなりません。したがって、絶対零度では、粒子はフェルミ準位より低いすべてのエネルギー準位を満たします。これは、フェルミ準位より低いエネルギー準位にはちょうど粒子が存在することと同等です。${\displaystyle N}$州。

運動量空間では、これらの粒子は半径の球体を満たす。${\displaystyle k_{\rm {F}}}$その表面はフェルミ面と呼ばれる。^{[ 8 ]}

金属の電場、磁場、または熱勾配に対する線形応答は、フェルミ面の形状によって決まります。これは、電流がフェルミエネルギー近傍の状態の占有率の変化によって生じるためです。逆格子空間では、理想フェルミガスのフェルミ面は半径の球です。

${\displaystyle k_{\rm {F}}={\frac {p_{\rm {F}}}{\hbar }}={\frac {\sqrt {2mE_{\rm {F}}}}{\hbar }}}$、

価電子濃度によって決定される${\displaystyle \hbar }$は換算プランク定数です。フェルミ準位がバンド間のギャップにある物質は、バンドギャップの大きさに応じて絶縁体または半導体になります。物質のフェルミ準位がバンドギャップにある場合、フェルミ面は存在しません。

複雑な結晶構造を持つ材料は、非常に複雑なフェルミ面を持つことがあります。図2は、グラファイトの異方性フェルミ面を示しています。グラファイトのフェルミ面には、フェルミエネルギーに沿って複数のバンドが交差するため、電子ポケットと正孔ポケットの両方が存在します。${\displaystyle \mathbf {k} _{z}}$方向。多くの場合、金属では、フェルミ面半径は${\displaystyle k_{\rm {F}}}$は第一ブリルアンゾーンのサイズよりも大きいため、フェルミ面の一部が第二（またはそれ以上）のゾーンに位置することになります。バンド構造自体と同様に、フェルミ面は拡張ゾーンスキームで表示できます。${\displaystyle \mathbf {k} }$任意に大きな値を取ることが許されるか、波数ベクトルが法で示される縮小ゾーンスキームが許される。${\textstyle {\frac {2\pi }{a}}}$（1次元の場合）ここで、aは格子定数である。3次元の場合、縮小ゾーンスキームは、任意の波数ベクトルから${\displaystyle \mathbf {k} }$適切な数の逆格子ベクトルが存在する${\displaystyle \mathbf {K} }$新しい${\displaystyle \mathbf {k} }$現在は原点に近く、${\displaystyle \mathbf {k} }$- スペースはどのスペースよりも${\displaystyle \mathbf {K} }$フェルミ準位に状態密度が大きい固体は低温で不安定になり、フェルミ面にギャップを開くことで凝縮エネルギーが生じる基底状態を形成する傾向がある。このような基底状態の例としては、超伝導体、強磁性体、ヤーン・テラー歪み、スピン密度波などが挙げられる。

電子などのフェルミオンの状態占有はフェルミ・ディラック統計によって支配されるため、有限温度ではフェルミ面はそれに応じて広がります。原理的には、すべてのフェルミオンのエネルギー準位の占有はフェルミ面によって制限されますが、この用語は一般的に凝縮系物理学以外では使用されません。

電子フェルミ面は、磁場中の輸送特性の振動を観測することによって測定された。${\displaystyle H}$例えば、デハース・ファンアルフェン効果（dHvA）とシュブニコフ・デハース効果（SdH）が挙げられる。前者は磁化率の振動であり、後者は抵抗率の振動である。これらの振動は、に対して周期的である。${\displaystyle 1/H}$これは、磁場に垂直な平面におけるエネルギー準位の量子化によって生じる現象であり、レフ・ランダウによって最初に予測された。これらの新しい状態はランダウ準位と呼ばれ、エネルギーによって分離されている。${\displaystyle \hbar \omega _{\rm {c}}}$どこ${\displaystyle \omega _{\rm {c}}=eH/m^{*}c}$サイクロトロン周波数と呼ばれる。${\displaystyle e}$は電気電荷であり、${\displaystyle m^{*}}$電子の有効質量と${\displaystyle c}$は光速です。有名な結果で、ラース・オンサーガーは振動周期が光速であることを証明しました。${\displaystyle \Delta H}$これは、磁場方向に対して垂直なフェルミ面の断面積（通常はÅ⁻²で表される）に関連している^。${\displaystyle A_{\perp }}$方程式により

${\displaystyle A_{\perp }={\frac {2\pi e\Delta H}{\hbar c}}}$。

このように、様々な印加磁場方向における振動周期を決定することで、フェルミ面のマッピングが可能になります。dHvA振動とSdH振動の観測には、サイクロトロン軌道の円周が平均自由行程よりも小さくなるほど大きな磁場が必要です。そのため、dHvAおよびSdH実験は通常、オランダの高磁場研究所、フランスのグルノーブル高磁場研究所、日本のつくば磁気研究所、または米国の国立高磁場研究所のような高磁場施設で行われます。

運動量-エネルギー空間（逆格子を参照）における結晶の電子構造、ひいてはフェルミ面を解明する最も直接的な実験手法は、角度分解光電子分光法（ARPES）である。ARPESによって測定された超伝導銅酸化物のフェルミ面の例を図3に示す。

• フェルミエネルギー
• ブリルアンゾーン
• 超伝導銅酸化物のフェルミ面
• ケルビンプローブ力顕微鏡
• ルッティンガーの定理

• 「銅酸化物超伝導体の角度分解光電子分光法（レビュー論文）」（2002年）における、いくつかの超伝導銅酸化物およびストロンチウムルテニウム酸化物の実験的フェルミ面
• 「準2次元金属のフェルミ学におけるARPES実験（レビュー論文）」（2014年）における、いくつかの銅酸化物、遷移金属ジカルコゲナイド、ルテニウム酸塩、および鉄系超伝導体の実験的フェルミ面
• Dugdale, SB (2016-01-01). "Life on the edge: a beginners's guide to the Fermi surface" . Physica Scripta . 91 (5) 053009. Bibcode : 2016PhyS...91e3009D . doi : 10.1088/0031-8949/91/5/053009 . hdl : 1983/18576e8a-c769-424d-8ac2-1c52ef80700e . ISSN 1402-4896 .