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物理学、化学、電子工学において、電子ホール（単にホールと呼ばれることが多い）とは、原子または原子格子において電子が存在しうる位置に電子が存在しない状態を示す準粒子である。通常の原子または結晶格子では、電子の負電荷は原子核の正電荷によって相殺されているため、電子が存在しないことで、ホールの位置には正味の正電荷が生じる。
金属[ 1 ]または半導体結晶格子中の正孔は、電子と同様に格子内を移動でき、正に帯電した粒子と同様の振る舞いをします。これらは、トランジスタ、ダイオード（発光ダイオードを含む）、集積回路などの半導体デバイスの動作において重要な役割を果たします。電子がより高い状態に励起されると、元の状態に正孔が残ります。この意味は、オージェ電子分光法（およびその他のX線技術）、計算化学、および結晶（金属および半導体）における電子間散乱率の低さを説明するために用いられます。正孔は素粒子のように振る舞いますが、むしろ準粒子であり、電子の反粒子である陽電子とは異なります。（ディラックの海も参照。）
結晶では、電子バンド構造の計算により、電子はバンドの頂上で負の有効質量を持つことが示されています。負の質量は直感的ではありませんが、[ 2 ]代わりに正の電荷と正の質量を持つ正孔を考えると、より馴染みのある直感的なイメージが浮かび上がります。
半導体において、電子正孔（通常は単に正孔と呼ばれる）とは、完全な価電子帯から電子が欠落している状態を指します。正孔は、結晶格子のほぼ完全な価電子帯内で、電子のごく一部が欠落している状態における電子の相互作用を概念化する方法と言えます。半導体結晶格子内の正孔の挙動は、ある意味で、満杯の水が入ったボトルの中の泡の挙動に似ています。[ 3 ]
より一般的には、ホールとは、系の基底状態に対して電子が存在しない状態と定義されます。この概念は半導体だけでなく、部分的に満たされたバンドを持つ金属やその他の電子系にも適用されます。波数ベクトルを持つホールそして回転する波数ベクトルを持つ電子を取り除くことによって生成されるそして回転する[ 4 ] [ 5 ]
ホール概念は1929年にルドルフ・パイエルスによって提唱され、彼はブロッホの定理を用いてホール効果を解析し、ほぼ満たされたブリルアンゾーンとほぼ空のブリルアンゾーンでは逆のホール電圧が生じることを実証した。[ 6 ]
価電子帯における正孔伝導は、以下の類推によって説明できる。
講堂に人が一列に並んで座っていると想像してみてください。空席はありません。列の真ん中に座っている人が席を立ちたくなったので、座席の背もたれを飛び越えて別の列に移り、そのまま出て行きました。空席の列は伝導帯に、席を立つ人は伝導電子に例えることができます。
さて、別の人がやってきて座りたいとしましょう。空いている列は眺めが悪いので、その人はそこに座りたくありません。そこで、混雑した列の誰かが、前の人が空けた席に移動します。空席は列の端に一歩近づき、座ろうとしている人に近づきます。次の人が続き、また次の人が、といった具合です。つまり、空席は列の端に向かって移動していくと言えるでしょう。空席が端に達すると、新しい人が座ることができます。
この過程で、列に座っている全員が移動しました。もしこれらの人々が（電子のように）負に帯電していたとしたら、この動きは伝導に相当します。座席自体が正に帯電していたとしたら、空席だけが正に帯電します。これは、正孔伝導の仕組みを非常に単純化したモデルです。
価電子帯の空状態の動きを多数の電子の動きとして分析する代わりに、「正孔」と呼ばれる単一の等価な仮想粒子を考える。印加された電場において、電子は一方向に動き、それに対応して正孔は反対方向に動く。正孔が中性原子と結合すると、その原子は電子を失って正に帯電する。したがって、正孔は+ eの正電荷を持つとみなされ、これは電子の電荷と正反対である。
実際には、量子力学の不確定性原理と結晶内のエネルギー準位の組み合わせにより、ホールは前の例で説明したように単一の位置に局在化することはできません。むしろ、ホールを表す正電荷は、結晶格子内の数百個の単位格子にまたがる領域に広がっています。これは、どの切断された結合が「失われた」電子に対応するのかを判別できないことと同等です。伝導帯の電子も同様に非局在化しています。
上記のアナロジーは非常に単純化されており、半導体中の正孔がホール効果やゼーベック効果において電子とは逆の効果を生み出す理由を説明することはできません。より正確で詳細な説明は以下に記載します。[ 7 ]
分散関係は、電子が力にどのように反応するかを決定します（有効質量の概念を介して）。[ 7 ]
分散関係とは、電子バンド構造の一部であるバンド内の波数ベクトル（kベクトル）とエネルギーの関係のことです。量子力学では、電子は波であり、エネルギーは波の周波数です。局在化した電子は波束であり、電子の運動は波の群速度の式で表されます。電場は波束内のすべての波数ベクトルを徐々にシフトさせることで電子に影響を与え、波の群速度が変化すると電子は加速します。したがって、ここでも、電子が力に反応する方法は、その分散関係によって完全に決定されます。空間に浮遊する電子の分散関係はE = ℏ 2 k 2 /(2 m )であり、ここでmは（実際の）電子の質量、ℏ は換算プランク定数です。半導体の伝導帯の底付近では、分散関係は代わりにE = ℏ 2 k 2 /(2 m * ) ( m *は有効質量) となるため、伝導帯の電子は質量m *を持っているかのように力に反応します。
価電子帯の上端付近の電子は、負の質量を持つかのように振る舞う。[ 7 ]
価電子帯の上端付近の分散関係は、有効質量が負であるE = ℏ 2 k 2 /(2 m * )で表されます。そのため、価電子帯の上端付近の電子は、負の質量を持つかのように振る舞います。力が電子を右方向に引っ張ると、これらの電子は実際には左方向に移動します。これは価電子帯の形状のみによるものであり、価電子帯が満たされているか空であるかとは関係ありません。もし何らかの方法で価電子帯を空にして、価電子帯の最大値付近に電子を1つだけ配置できたとしたら（不安定な状態ですが）、この電子は力に対して「逆方向」に移動することになります。
正に帯電した正孔は、ほぼ満たされたバンドの全電流を計算するための近道となる。[ 7 ]
完全に満たされたバンドでは、電流は常にゼロです。この事実を理解する一つの方法は、バンドの上端付近の電子状態は負の有効質量を持ち、バンドの下端付近の電子状態は正の有効質量を持つため、正味の運動は正確にゼロになるということです。ほぼ満たされている価電子帯に電子が存在しない状態がある場合、その状態は正孔で占められていると言います。価電子帯全体のすべての電子による電流を計算するための数学的な近道があります。ゼロ電流（バンドが満たされている場合の合計）から始めて、各正孔状態が正孔でなかった場合に存在するはずの電子による電流を差し引きます。運動する負電荷によって引き起こされる電流を差し引くことは、同じ経路を移動する正電荷によって引き起こされる電流を加えることと同じなので、数学的な近道は、価電子帯の他のすべての電子状態を無視して、各正孔状態が正電荷を運んでいるとみなすことです。
価電子帯の上端付近の正孔は、価電子帯の上端付近の電子が移動するのと同じ方向に移動します[ 7 ]（これは、同じ力を受ける伝導帯の電子とは逆方向です）。
この事実は、上記の議論と定義から導き出されます。これは、上記の講堂のアナロジーが誤解を招く例です。満員の講堂で人が左に移動すると、空席が右に移動します。しかし、このセクションでは、電子が実空間ではなくk空間をどのように移動するかを想像しており、力の効果は、すべての電子をk空間内で同じ方向に同時に移動させることです。この文脈では、川の水中の泡の方が適切なアナロジーです。泡は水と同じ方向に移動し、反対方向には移動しません。
力＝質量×加速度であるため、価電子帯の上端付近にある負の有効質量を持つ電子は、伝導帯の下端付近にある正の有効質量を持つ電子とは、与えられた電気力または磁力に対して逆方向に移動する。したがって、正孔も同様に移動する。
結論：ホールは正電荷、正質量の準粒子である。
上記より、ホールは（1）正電荷を持ち、（2）正電荷と正質量を持つかのように電場と磁場に反応する。（後者は、正電荷と正質量を持つ粒子が負電荷と負質量を持つ粒子と同じように電場と磁場に反応するためである。）これが、ホールがあらゆる状況において通常の正電荷を持つ準粒子として扱われる理由である。
シリコンなどの一部の半導体では、正孔の有効質量は方向によって変化する（異方性を持つ）が、マクロな計算においては、すべての方向について平均した値を使用することもできる。
ほとんどの半導体では、正孔の実効質量は電子の実効質量よりもはるかに大きい。このため、電界の影響下では正孔の移動度が低くなり、その半導体で作られた電子デバイスの速度が低下する可能性がある。これが、半導体デバイスで可能な限り正孔ではなく電子を主要な電荷キャリアとして採用する主な理由の 1 つです。また、これがNMOS ロジックがPMOS ロジックよりも高速である理由でもあります。OLED スクリーンは、追加の層を追加したり、1 つのプラスチック層の電子密度を下げたりすることで、非放射再結合による不均衡を低減するように改良されており、発光領域内で電子と正孔が正確にバランスするようにしています。しかし、多くの半導体デバイスでは、電子と正孔の両方が重要な役割を果たします。例としては、p-n ダイオード、バイポーラトランジスタ、CMOS ロジックなどがあります。
半導体物理学におけるホールは、ほぼ満たされた価電子帯に電子が存在しない状態と定義され、ポール・ディラックの電子の相対論的理論における陽電子と形式的に類似している（ディラック方程式を参照）。[ 8 ]どちらの場合も、システムは負のエネルギーまたは価電子状態の満たされた海として記述され、電子の除去は電流を運ぶことができる正に帯電した実体につながる。この類似性は電磁気的挙動にも及ぶ。ホールと陽電子はどちらも、電子の電荷と等しく反対の電荷を持つ。電子と陽電子が衝突すると、互いに消滅し、エネルギーは光子またはその他の放射線として放出される。半導体では、再結合という類似のプロセスが起こり、電子が空のホール状態に落ちてそれを満たし、放射線を放出するものとして記述できる。[ 9 ]
しかし、この類推にも限界がある。ディラック理論の対称性により、陽電子と電子は全く同じ質量を持つが、結晶中の正孔と電子は一般的に質量が異なる。[ 10 ]陽電子は正の慣性質量と静止エネルギーを持つ実粒子であるのに対し、正孔は負の慣性質量を持つ準粒子である。このため、非慣性系では応答が異なる。加速する結晶格子では、陽電子は遅れるが、正孔は格子と共に前進する。これらの違いは複合系でも現れる。例えば、励起子（電子-正孔対）は格子と共に剛体的に動き、正味の運動量を持たないが、加速系に対して運動量とエネルギーを得るポジトロニウム原子（電子-陽電子対）とは異なる。 [ 8 ]
固体物理学における電子ホールの概念は、ディラック方程式におけるホールの概念よりも古いが、それがディラックの思考に影響を与えたという証拠はない。[ 6 ]
