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数学、特に抽象代数学において、べき乗結合性は、結合性の弱い形式である二項演算の特性です。

代数（またはより一般的にはマグマ）は、任意の要素によって生成される部分代数が結合的である場合に、べき結合的であると言われます。具体的には、要素がそれ自体で複数回演算を実行する場合、演算が実行される順序は重要ではないことを意味します。 たとえば、 。${\displaystyle x}$${\displaystyle *}$${\displaystyle x*(x*(x*x))=(x*(x*x))*x=(x*x)*(x*x)}$

すべての結合代数はべき結合的ですが、他のすべての代替代数（非結合的な八元数など）や、セデニオン、三元数、大久保代数などの非代替柔軟な代数もべき結合的です。要素がべき等である代数もすべてべき結合的です。

任意の正の整数のべき乗は、乗算がべき乗結合的である場合は常に一貫して定義できます。たとえば、x ^{3 を(} xx ) xと定義するか、 x ( xx )と定義するかを区別する必要はありません。これらは等しいからです。ゼロのべき乗は、演算に単位元がある場合にも定義できます。そのため、単位元の存在はべき乗結合的なコンテキストで役立ちます。

特性0の体上で、代数がべき結合的であるためには、 および を満たす必要がある (ただしは結合子) ( Albert 1948)。 ${\displaystyle [x,x,x]=0}$${\displaystyle [x^{2},x,x]=0}$${\displaystyle [x,y,z]:=(xy)zx(yz)}$

素特性の無限体上では、冪結合性を特徴付ける恒等式の有限集合は存在しないが、Gainov (1970) によって記述されているように、無限の独立集合が存在します。 ${\displaystyle p>0}$

• :および(の場合${\displaystyle p=2}$${\displaystyle [x,x^{2},x]=0}$${\displaystyle [x^{n-2},x,x]=0}$${\displaystyle n=3,2^{k}}$${\displaystyle k=2,3...)}$
• 対象:対象(${\displaystyle p=3}$${\displaystyle [x^{n-2},x,x]=0}$${\displaystyle n=4,5,3^{k}}$${\displaystyle k=1,2...)}$
• 対象:対象(${\displaystyle p=5}$${\displaystyle [x^{n-2},x,x]=0}$${\displaystyle n=3,4,6,5^{k}}$${\displaystyle k=1,2...)}$
• 対象:対象(${\displaystyle p>5}$${\displaystyle [x^{n-2},x,x]=0}$${\displaystyle n=3,4,p^{k}}$${\displaystyle k=1,2...)}$

単位を持つ実数のべき乗結合代数に対して置換法則が成り立ち、基本的には多項式の乗算が期待どおりに機能することを主張します。xの実多項式f、およびそのような代数内の任意のaに対して、 f ( a ) を、 aをfに明らかに置換した結果生じる代数の要素として定義します。すると、任意の 2 つのそのような多項式fとgに対して、 ( fg )( a ) = f ( a ) g ( a )が成り立ちます。

• 代替性

• アルバート、A. エイドリアン(1948) 。「べき結合環」。アメリカ 数学会誌。64 : 552–593。doi : 10.2307 / 1990399。ISSN 0002-9947。JSTOR  1990399。MR  0027750。Zbl 0033.15402  。
• Gainov, AT (1970). 「有限特性体上のべき結合代数」.代数と論理. 9 (1): 5–19. doi :10.1007/BF02219846. ISSN  0002-9947. MR  0281764. Zbl  0208.04001.
• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998). The book of involutions . Colloquium Publications. Vol. 44. Jacques Titsによる序文付き。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会。ISBN 0-8218-0904-0.ZBL0955.16001  。​
• 大久保進(1995)。物理学における八元数とその他の非結合代数入門。モンロール記念数理物理学講義シリーズ。第2巻。ケンブリッジ大学出版局。p. 17。ISBN 0-521-01792-0. MR  1356224. Zbl  0841.17001.
• シェーファー、RD (1995) [1966]. 非結合代数入門. ドーバー. pp. 128–148. ISBN 0-486-68813-5。