E n（リー代数）

数学、特にリー理論において、E n_はカッツ・ムーディー代数であり、そのディンキン図は長さ 1、2、kの 3 つの枝を持つ分岐グラフであり、k = n − 4である。

古い書籍や論文の中には、E ₂とE _4をG ₂とF ₄の名称として使用しているものもあります。

E _n群は A _n群と似ていますが、n 番目のノードが 3 番目のノードに接続されている点が異なります。そのため、カルタン行列は、最後の行と列を除いて対角線の上下に −1 があり、3 行目と 3 列目に −1 があるという点で似ています。E _nのカルタン行列の行列式は9 − nです。

• E _{3 は}、カルタン行列式が 6 である次元 11 の リー代数A ₁ A ₂の別名です。

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0\\-1&2&0\\0&0&2\end{matrix}}\right]}$

• E _{4 は}、カルタン行列式が 5 の次元 24 の リー代数A ₄の別名です。

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0\\-1&2&-1&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{matrix}}\right]}$

• E _{5 は}、カルタン行列式が 4 である次元 45 の リー代数D ₅の別名です。

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0\\-1&2&-1&0&0\\0&-1&2&-1&-1\\0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&2\end{matrix}}\right]}$

• E ₆は次元 78 の 例外的なリー代数であり

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&2\end{matrix}}\right]}$

• E ₇は次元 133 の例外的なリー代数であり、カルタン行列式は 2 である。

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&2\end{matrix}}\right]}$

• E ₈は次元 248 の例外的なリー代数であり、カルタン行列式は 1 である。

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&2\end{matrix}}\right]}$

• E _{9 は}、無限次元アフィン リー代数Ẽ ₈ ( E ⁺ ₈または E ⁽¹⁾ ₈とも呼ばれ、 (1 つのノードを持つ)拡張E ₈ ) (またはE ₈格子) の別名であり、タイプE ₈のリー代数に対応します。E _{9 は}、行列式が 0 のカルタン行列を持ちます。

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&0&2\end{matrix}}\right]}$

• E ₁₀ (またはE ⁺⁺ ₈またはE ^{(1)^} ₈は (2 つのノードを持つ)拡張されたE ₈ ) であり、そのルート格子が次元 10 の偶数ローレンツユニモジュラー格子II _9,1である無限次元のKac–Moody 代数です。そのルートの重複度のいくつかが計算されています。小さなルートの場合、重複度はよく振る舞うようですが、大きなルートの場合、観測されたパターンは崩れます。E ₁₀は、行列式 −1 のカルタン行列を持ちます。

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&0&0&2\end{matrix}}\right]}$

• E ₁₁ (または(3 つのノードを持つ)非常に拡張されたE _{8としての}E ⁺⁺⁺ ₈ ) は、1 つの時間のような虚数次元を含むローレンツ代数であり、 M 理論の対称「群」を生成すると予想されている。
• n ≥ 12の場合のE _nは、あまり研究されていない無限次元のKac–Moody 代数の族である。

E _nのルート格子は行列式9 − nを持ち、ノルムn × 1 2 − 3 2 = n − ⁹のベクトル(1,1,1,1,...,1|3)^に直交するユニモジュラー ローレンツ格子Z _{n ,1のベクトル}の格子として 構成できます。

ランズバーグとマニヴェルは、整数nに対する E _nの定義を拡張し、 n = 7 + 1 ⁄ 2の場合を含めるようにしました。これは、ツヴィタノヴィッチ、ドリーニュ、コーエン、ド・マンによって指摘された、 E _n系列の表現の次元公式の「穴」を埋めるためでした。E _{7 + 1 ⁄ 2}は次元が 190 ですが、単純なリー代数ではありません。その零根基として57 次元のハイゼンベルク代数を含んでいます。

• _{E n}リー代数に基づくk ₂₁、2 _k1、1 _k2多面体。

• Kac, Victor G; Moody, RV; Wakimoto, M. (1988). "On E ₁₀ ". Differential geometrical methods in theoretical physics (Como, 1987) . NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. Vol.  250. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. pp. 109– 128. MR 0981374 .  

• West, P. (2001). "E ₁₁と M 理論". Classical and Quantum Gravity . 18 (21): 4443–4460 . arXiv : hep-th/0104081 . Bibcode : 2001CQGra..18.4443W . doi : 10.1088/0264-9381/18/21/305 . S2CID 250872099 . クラス量子重力18（2001）4443-4460
• ゲベール、RW。ニコライ、H. (1994)。 「初心者向けE10」。初心者向けのE ₁₀。物理学の講義ノート。 Vol.  447. pp. 197–210 . arXiv : hep-th/9411188。土井: 10.1007/3-540-59163-X_269。ISBN  978-3-540-59163-4. S2CID 14570784 . ガーシー記念会議議事録 '94
• Landsberg, JM; Manivel, L. (2006). "The sextonions and E _7½ " . Advances in Mathematics . 201 (1): 143– 179. arXiv : math.RT/0402157 . doi : 10.1016/j.aim.2005.02.001 .
• カッツ・ムーディー代数とM理論の関連性、ポール・P・クック、2006年
• ローレンツ型カッツ・ムーディー代数のクラス、マティアス・R・ガバーディエル、デイビッド・I・オリーブ、ピーター・C・ウェスト、2002年