4 21 多面体

8次元幾何学において、4 _{21 は}、 E ₈群の対称性の範囲内で構築された半正則一様8 次元多面体です。これはソロルド・ゴセットによって発見され、1900 年の論文で発表されました。彼はこれを8 次元半正則図形と呼びました。^[1]

そのコクセター記号は4 ₂₁で、 4つのノードのシーケンスの端に1つのリングを持つ分岐コクセター-ディンキン図を表します。。

平行四辺形4 ₂₁は、 4 ₂₁の中央辺の点によって構成されます。二重平行四辺形 4 ₂₁は、 4 ₂₁の三角形の面の中心の点によって構成されます。三重平行四辺形 4 _{21 は}、 4 ₂₁の四面体の中心の点によって構成されます。

これらの多面体は、均一な 7 次元多面体面と頂点図形で構成される255 = 2 ⁸  − 1 個の凸均一8 次元多面体の族の一部であり、このコクセター-ディンキン図の 1 つ以上の環のすべての順列によって定義されます。。

4 ₂₁多面体には、17,280 個の 7 単体面と 2,160 個の 7 直交 複合面、および 240 個の頂点があります。その頂点図形は3 ₂₁多面体です。その頂点は単純リー群E ₈のルート ベクトルを表すため、この多面体はE ₈ルート多面体と呼ばれることもあります。

この多面体の頂点は、ノルム 1 の240 個の整八元数を取ることによっても得られます。八元数は非結合ノルム除算代数であるため、これらの 240 個の点には乗算演算があり、グループではなくループ、実際にはMoufang ループになります。

視覚化のために、この 8 次元多面体は、その 240 個の頂点が正三角形(ペトリー多角形と呼ばれる) 内に収まる特殊な歪んだ正投影方向で表示されることがよくあります。240 個の頂点の間には 6720 個の辺が描かれます。特定の高次の要素 (面、セルなど) を抽出して、この投影上に描画することもできます。

• この多面体はソロルド・ゴセットによって発見され、彼は1900年の論文でこれを8次元半正則図形として記述した。^{[1]これはゴセットが列挙した}最後の有限半正則図形であり、彼にとって半正則とは正則な面のみを含むことを意味した。
• ELエルテは1912年に半正多面体のリストの中で、この多面体をV _{240 （頂点数が240であることから）と名付けた。} ^[2]
• HSM Coxeter は、Coxeter-Dynkin 図に長さ 4、2、1 の 3 つの枝があり、4 の枝の終端ノードに 1 つのノードがあるため、これを4 _{21と呼びました。}
• ジスキリアヘクトヘキサコンタ-ミリアヘプタチリアジアコシオクタコンタ-ゼットン(頭字語 Fy) - 2160-17280 ファセットポリゼットン (ジョナサン・バワーズ) ^[3]

これは、8 次元空間内の 8 つの超平面ミラーのセットに基づくWythoff 構成によって作成されます。

4 ₂₁多面体の 240 個の頂点は、2 つの集合で構築できます。1 つは、任意の符号の組み合わせと任意の座標の順列を取ることによって から得られる座標を持つ 112 個 ( 2 ² × ⁸ C ₂ ) で、もう 1 つは、偶数個のマイナス符号を取ることによって から得られる座標を持つ128 個の根 (2 ⁷ ) です(または、同等に、8 つの座標の合計が 4 の倍数になることを要求します)。 ${\displaystyle (\pm 2,\pm 2,0,0,0,0,0,0)\,}$${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)\,}$

各頂点には 56 個の最近傍点があります。たとえば、頂点の最近傍点は、座標の合計が 4 になる点、つまり の座標を並べ替えて得られる 28 個と の座標を並べ替えて得られる 28 個です。これらの 56 点は、7 次元の 3 × ₂₁多面体の頂点です。${\displaystyle (1,1,1,1,1,1,1,1)}$${\displaystyle (2,2,0,0,0,0,0,0)\,}$${\displaystyle (1,1,1,1,1,1,-1,-1)}$

各頂点には 126 個の 2 番目に近い近傍点があります。たとえば、頂点に最も近い近傍点は、座標の合計が 0 になる点、つまり の座標を並べ替えて得られる 56 と の座標を並べ替えて得られる 70 です。これらの 126 点は、7 次元の 2 ₃₁多面体の頂点です。${\displaystyle (1,1,1,1,1,1,1,1)}$${\displaystyle (2,-2,0,0,0,0,0,0)\,}$${\displaystyle (1,1,1,1,-1,-1,-1,-1)}$

各頂点には、その最も近い頂点の負の数である 56 個の 3 番目に近い頂点と 1 つの反対側の頂点があり、合計で頂点の数は になります。 ${\displaystyle 1+56+126+56+1=240}$

もう1つの構築方法は、 8ビット拡張ハミングコード(8,4) の14コードワードの符号付き組み合わせを取り 、 14 × 2 ⁴ = 224頂点を得て、最後の16頂点に自明な符号付き軸を追加することです。この場合、頂点は ではなく、原点から の距離です。 ${\displaystyle (\pm 2,0,0,0,0,0,0,0)}$${\displaystyle {\sqrt {4}}}$${\displaystyle {\sqrt {8}}}$

ハミング8ビットコード
 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 1 1 1 1 1 0 0 0 0 ⇒ ± ± ± ± 0 0 0 0
 2 1 1 0 0 1 1 0 0 ⇒ ± ± 0 0 ± ± 0 0
 3 0 0 1 1 1 1 0 0 ⇒ 0 0 ± ± ± ± 0 0
 4 1 0 1 0 1 0 1 0 ⇒ ± 0 ± 0 ± 0 ± 0 ±2 0 0 0 0 0 0 0
 5 0 1 0 1 1 0 1 0 ⇒ 0 ± 0 ± ± 0 ± 0 0 ±2 0 0 0 0 0 0
 6 0 1 1 0 0 1 1 0 ⇒ 0 ± ± 0 0 ± ± 0 0 0 ±2 0 0 0 0 0
 7 1 0 0 1 0 1 1 0 ⇒ ± 0 0 ± 0 ± ± 0 0 0 0 ±2 0 0 0 0
 8 0 1 1 0 1 0 0 1 ⇒ 0 ± ± 0 ± 0 0 ± 0 0 0 0 ±2 0 0 0
 9 1 0 0 1 1 0 0 1 ⇒ ± 0 0 ± ± 0 0 ± 0 0 0 0 0 ±2 0 0
 1 0 1 0 0 1 0 1 ⇒ ± 0 ± 0 0 ± 0 ± 0 0 0 0 0 0 ±2 0
 Ｂ ０ １ ０ １ ０ １ ０ １ ⇒ ０ ± ０ ± ０ ± ０ ± ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ±２
 Ｃ １ １ ０ ０ ０ ０ １ １ ⇒ ± ± ０ ０ ０ ０ ± ±
 0 0 1 1 0 0 1 1 ⇒ 0 0 ± ± 0 0 ± ±
 E 0 0 0 0 1 1 1 1 ⇒ 0 0 0 0 ± ± ± ±
 1 1 1 1 1 1 1 1
                          ( 224 頂点 + 16 頂点 )

別の分解では、9次元の240点が拡張された8単体として与えられ、そして、2つの反対向きの2重平行化8次元単体、そして。

⁠ ⁠${\displaystyle (3,-3,0,0,0,0,0,0,0)}$  : 72頂点

⁠ ⁠${\displaystyle (-2,-2,-2,1,1,1,1,1,1)}$  : 84頂点

⁠ ⁠${\displaystyle (2,2,2,-1,-1,-1,-1,-1,-1)}$  : 84頂点

これは、A8 の 8 つのミラーを共有するA8 格子とE8 格子の関係と同様に生じます。

この多面体は、8次元空間の均一なタイル分割の頂点図形であり、記号5 ₂₁とコクセター・ディンキン図で表されます。

この多面体のファセット情報は、コクセター・ディンキン図から抽出できます。

短い枝のノードを削除すると、7 単体が残ります。

2長枝の末端の節を除去すると、7-オルソプレックスは交互形態（4 ₁₁）になる。

すべての 7 単体面は 7 正角面とのみ接しますが、正角面の交互面は単体または別の正角面のいずれかと接します。単体面は 17,280 個、正角面は 2160 個あります。

すべての 7 単体には 7 つの 6 単体面があり、それぞれは他の 6 単体と接していないため、4 ₂₁多面体には 7 単体の面である 6 単体面が 120,960 (7×17,280) 個あります。すべての 7 正複体には 128 (2 ⁷ ) 個の 6 単体面があり、その半分は 7 単体と接していないため、4 ₂₁多面体には 7 単体の面ではない 6 単体面が 138,240 (2 ^{6 ×2160) 個あります。したがって、4} ₂₁多面体には 2 種類の 6 単体面があり、この多面体の対称性によって入れ替わることはありません。6 単体面の総数は 259200 (120,960+138,240) です。

単環多面体の頂点図形は、環ノードを削除し、その隣接ノードを環化することで得られます。これにより、3 21多面体_が作成されます。

配置行列で見ると、要素数はミラー除去とコクセター群の順序の比によって導出できる。^[4]

これらのグラフは、E ₈、E ₇、E ₆、および B ₈、D ₈、D ₇、D _{6 、D 5}、D ₄、D ₃、A ₇、A ₅コクセター平面における正投影を表しています。頂点の色は、投影における重なり合う多重度によって決まります。つまり、重なり合う度合いが増す順に、赤、オレンジ、黄、緑と色分けされます。

4 ₂₁多面体は、 k ₂₁多面体と呼ばれるファミリーの最後です。このファミリーの最初の多面体は、3 つの正方形 (2 正多面体) と 2 つの三角形 (2 単体) から構成される半正三角柱です 。

4 ₂₁は、コクセター-ディンキン図の幾何学的折り畳みによって600 セルと関連しています。これは、E8/H4コクセター平面投影で確認できます。4 21多面体の 240 頂点は、600セルの 120 頂点の 2 つのコピーとして 4 次元空間に投影され、一方のコピーは同じ方向でもう一方のコピーよりも小さくなります (黄金比 で拡大縮小されます₎。E8 /H4 コクセター平面の 2D 正投影として見ると、600 セルの 120 頂点は、4 ₂₁で見られるのと同じ 4 つのリングに投影されます。4 ₂₁グラフの他の 4 つのリングも、600 セルの 4 つのリングの小さいコピーと一致します。

4次元複素幾何学では、 正則複素多面体 ₃ {3} ₃ {3} ₃ {3} ₃とコクセター図 4 ₂₁多面体と同じ頂点配置を持つ多面体が存在する。これは自己双対である。コクセターはアレクサンダー・ウィッティングにちなんでこれをウィッティング多面体と呼んだ。コクセターはそのシェパード群の対称性を₃ [3] ₃ [3] ₃ [3] ₃で表現した。^[7]

4 _21は、半正多面体の次元シリーズの 6 番目です。各進行一様多面体は、前の多面体の頂点図形として構築されます。1900 年にThorold Gosset は、このシリーズがすべての正多面体の面、すべての単体と正多面体を含むと特定しました。

平行化された 4 ₂₁は、 4 _{21多面体の}平行化と見ることができ、 4 ₂₁の辺の中心に新しい頂点を作成します。

• 整流ジスキリアヘクトヘキサコンタ-ミリアヘプタチリアジアコシオクタコンタ-ゼットン、整流2160-17280ポリゼットン（頭字語riffy）（ジョナサン・バワーズ）^[8]

これは、8 次元空間の8 つの超平面ミラーのセットにWythoff 構成によって作成されます。これは、 4 _21の平行化であることからその名前が付けられています。頂点は、4 ₂₁のすべての辺の中点に配置され、新しい辺がそれらを接続してい ます。

ファセット情報は、Coxeter-Dynkin 図から抽出できます。

短い枝のノードを削除すると、修正された 7 単体が残ります。

長さ 2 の枝の端にあるノードを削除すると、修正された 7 オルソプレックスが交互形式で残ります。

長さ4の枝の端にあるノードを削除すると、3 ₂₁が残ります。

頂点図形は、リングノードを削除し、隣接するノードにリングを追加することによって決定されます。これにより、2 _{21 の}プリズムが作成されます。

_{平行化された 4 21}の 6720 頂点の直交座標は、他の 3 つの一様多面体の座標のすべての順列によって与えられます。

• 六角形8立方体- 奇数の負数: ½(±1,±1,±1,±1,±1,±1,±3,±3) - 頂点数3584 ^[9]
• 8次元立方体- (0,0,±1,±1,±1,±1,±1,±1,±1) - 頂点数1792 ^[10]
• 8-オルソプレックス- (0,0,0,0,0,0,±1,±1,±2) - 1344頂点^[11]

これらのグラフは、E ₈、E ₇、E ₆、および B ₈、D ₈、D ₇、D _{6 、D 5}、D ₄、D ₃、A ₇、A ₅コクセター平面における正投影を表しています。頂点の色は、投影における重なり合う多重度によって決まります。つまり、重なり合う度合いが増す順に、赤、オレンジ、黄、緑と色分けされます。

双平行化 4 ₂₁は、一様 4 _{21多面体の 2 回目の}平行化として考えることができます。この多面体の頂点は、 4 ₂₁の 60480 個の三角形面すべての中心に配置されます。

• 二等分ジスキリアヘクトヘキサコンタ-ミリアヘプタチリアジアコシオクタコンタ-ゼットン、二等分2160-17280ポリゼットン（頭字語ボルフィー）（ジョナサン・バワーズ）^[12]

これは、8 次元空間の8 つの超平面ミラーのセットにWythoff 構成によって作成されます。これは、 4 _21の双平行化であることからその名前が付けられています。頂点は、4 ₂₁のすべての三角形の面の中心に配置されます。

ファセット情報は、Coxeter-Dynkin 図から抽出できます。

短い枝のノードを削除すると、2 重化された 7 単体が残ります。これらの面は 17280 個あります。

長さ 2 の枝の端にあるノードを削除すると、2 重化された 7 重正複合体が交互形式のまま残ります。これらのファセットは 2160 個あります。

長さ 4 の枝の端にあるノードを削除すると、修正された 3 ₂₁が残ります。これらのファセットは 240 個あります。

頂点図形は、リングノードを削除し、隣接するノードにリングを追加することによって決定されます。これにより、5 つの半立方体三角形のデュオプリズムが作成されます。

これらのグラフは、E ₈、E ₇、E ₆、および B ₈、D ₈、D ₇、D _{6 、D 5}、D ₄、D ₃、A ₇、A ₅コクセター平面における正投影を表しています。エッジは描画されません。頂点の色は、投影における重なり合う多重度によって決まります。つまり、重なり合う度合いが増す順に、赤、オレンジ、黄、緑などの色で表示されます。

• 三重整流化ジスキリアヘクトヘキサコンタ-ミリアヘプタチリアジアコシオクタコンタ-ゼットン、三重整流化2160-17280ポリゼットン（頭字語トルフィー）（ジョナサン・バワーズ）^[13]

これは、8 次元空間の8 つの超平面ミラーのセットにWythoff 構成によって作成されます。これは、 4 _21の双平行化であることからその名前が付けられています。頂点は、4 ₂₁のすべての三角形の面の中心に配置されます。

ファセット情報は、Coxeter-Dynkin 図から抽出できます。

短い枝のノードを削除すると、三重整流化された 7 単体が残ります。

2 長さの枝の端にあるノードを削除すると、3 重整流 7 オルソプレックスが交互形式になります。

長さ4の枝の端にあるノードを削除すると、2重化された3 ₂₁が残ります。

頂点図形は、リングノードを削除し、隣接するノードをリングすることによって決定されます。これにより、四面体-修正された 5 セルのデュオプリズムが作成されます。

これらのグラフは、 E ₇、 E ₆、 B ₈、 D ₈、 D ₇、 D ₆、 D ₅、 D ₄、 D ₃、 A ₇、および A ₅ コクセター平面における正投影を表しています。頂点の色は、投影における重なり合う多重度によって決まります。つまり、重なり合う度合いが増す順に、赤、オレンジ、黄、緑の順に色分けされます。

(E ₈とB ₈は大きすぎて表示できませんでした)

• E8多面体のリスト

• T. ゴセット：n 次元空間の正則図形と半正則図形について、数学のメッセンジャー、マクミラン、1900 年
• Elte, EL (1912)、「超空間の半正則多面体」、フローニンゲン：フローニンゲン大学
• Coxeter, HSM , Regular Complex Polytopes、ケンブリッジ大学出版局、(1974)。
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
  • (論文24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45] p347 (図3.8c) Peter McMullen著参照: (4 ₂₁の30角形ノードエッジグラフ)
• Klitzing、Richard。「8D 均一多面体 (ポリゼッタ)」。o3o3o3o *c3o3o3o3x - ファイ、o3o3o3o *c3o3o3x3o - リフィー、o3o3o3o *c3o3x3o3o - ボルフィー、o3o3o3o *c3x3o3o3o - トルフィー