シュヴァレー基準

数学において、単純複素リー代数のシュバレー基底は、すべての構造定数が整数であるという性質を持つ、クロード・シュバレーによって構築された基底です。シュバレーはこれらの基底を使用して、有限体上のリー群の類似体であるシュバレー群を構築しました。シュバレー基底はカルタン・ワイル基底ですが、正規化が異なります。

リー群の生成元は、単純根とその負数でインデックス付けされた生成元HとEに分割されます。カルタン-ワイル基底は次のように記述できます。 ${\displaystyle \pm \alpha _{i}}$

${\displaystyle [H_{i},H_{j}]=0}$

${\displaystyle [H_{i},E_{\alpha }]=\alpha _{i}E_{\alpha }}$

の双対根または共根を次のよう に定義する。${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle \alpha ^{\vee }={\frac {2\alpha }{(\alpha ,\alpha )}}}$

ここでユークリッド内積である。基底変換を行って定義することができる。 ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle H_{\alpha _{i}}=(\alpha _{i}^{\vee },H)}$

カルタン整数は

${\displaystyle A_{ij}=(\alpha _{i},\alpha _{j}^{\vee })}$

結果として、ジェネレータ間の関係は次のようになります。

${\displaystyle [H_{\alpha _{i}},H_{\alpha _{j}}]=0}$

${\displaystyle [H_{\alpha _{i}},E_{\alpha _{j}}]=A_{ji}E_{\alpha _{j}}}$

${\displaystyle [E_{-\alpha _{i}},E_{\alpha _{i}}]=H_{\alpha _{i}}}$

${\displaystyle [E_{\beta },E_{\gamma }]=\pm (p+1)E_{\beta +\gamma }}$

ここで、最後の関係式ではが根となる最大の正の整数であり、が根でない 場合を検討します。${\displaystyle p}$${\displaystyle \gamma -p\beta }$${\displaystyle E_{\beta +\gamma }=0}$${\displaystyle \beta +\gamma }$

最後の関係式の符号を決定するには、加法に従う根の順序、つまり、であれば となり、4 つすべてが根であるものとします。が両方とも正であり、を満たす正の根のペアで発生するすべてのものの中で が最小である場合、その根のペアを特別な根と呼びます。 が特別な根のペアである場合はいつでも、最後の関係式の符号を任意に選択できます。 これにより、残りの根のペアすべての符号が決定されます。 ${\displaystyle \beta \prec \gamma }$${\displaystyle \beta +\alpha \prec \gamma +\alpha }$${\displaystyle (\beta ,\gamma )}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \beta _{0}}$${\displaystyle (\beta _{0},\gamma _{0})}$${\displaystyle \beta _{0}+\gamma _{0}=\beta +\gamma }$${\displaystyle (\beta ,\gamma )}$

• カーター、ロジャー W. (1993)。リー型の有限群: 共役類と複素数キャラクター。ワイリークラシックスライブラリー。チチェスター: ワイリー。ISBN 978-0-471-94109-5。
• クロード・シュヴァレー（1955年）。 「確実なグループ、シンプル」。東北数学ジャーナル（フランス語）。7 (1-2): 14-66。土井：10.2748/tmj/1178245104。MR  0073602。Zbl 0066.01503  。
• ジャック、ティッツ（1966年）。 「半単純な嘘の存在の構造と理論の定数」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS (フランス語)。31：21～58。土井：10.1007/BF02684801。MR  0214638。Zbl 0145.25804  。