アイデンティティコンポーネント

数学、特に群論において、群Gの単位元成分(単位元成分とも呼ばれる) は、単位元を含む Gの最大の連結部分群のいくつかの密接に関連した概念を指します。

点集合位相では、位相群Gの単位元成分は 、群の単位元を含むGの連結成分G ⁰です。位相群Gの単位パス成分は、群の単位元を含む Gのパス成分です。

代数幾何学では、体k上の代数群Gの単位元成分は 、基礎となる位相空間の単位元成分である。基本スキームS上の群スキームGの単位元成分は、大まかに言えば、 Sの点s上のファイバーがファイバーG _sの連結成分(G _s ) ⁰である群スキームG ⁰であり、これは代数群である。^[1]

位相群または代数群Gの単位元成分G ^0は、 Gの閉じた正規部分群である。成分は常に閉じているので閉じている。位相群または代数群における乗法と反転は定義により連続写像なので部分群である。 さらに、 Gの任意の連続自己同型aに対して、

（G0）^＝G0です。^​

したがって、G ^{0 は}Gの特性部分群なので、正規群です。

位相群Gの恒等成分G ^0はGにおいて開いている必要はありません。実際、G ⁰ = { e } となることもあり、その場合G は完全に不連続になります。しかし、局所的にパス連結な空間(たとえばリー群)の恒等成分は、{ e } のパス連結な近傍を含むため常に開いており、したがって閉開集合です。

位相群の恒等パス成分は一般に恒等成分よりも小さくなる可能性がある (パス連結性は連結性よりも強い条件であるため) が、Gが局所的にパス連結である場合はこれらは一致します。

商群G / G ⁰は、 Gの成分群または成分群と呼ばれます。その元は、 Gの連結成分です。成分群G / G ^0が離散群となるのは、 G ⁰が開群である場合のみです。G が有限型の代数群、たとえばアフィン代数群である場合、G / G ^{0は実際には}有限群です。

同様に、パス成分群をパス成分の群（Gを単位パス成分で割ったもの）として定義することができ、一般に成分群はパス成分群の商であるが、Gが局所的にパス連結である場合、これらの群は一致する。パス成分群は、ゼロ次ホモトピー群としても特徴付けられる。${\displaystyle \pi _{0}(G,e).}$

• 乗算を伴う非ゼロの実数の群( R *,•)には2つの成分があり、その成分群は({1,−1},•)です。
• 分割複素数環の単位群 Uについて考えます。平面 { z = x + j y  : x , y ∈ R } の通常の位相では、U は直線y = xとy = − xによって 4 つの成分に分割されますが、 zには逆元がありません。 このとき、U ⁰ = { z  : | y | < x } です。 この場合、 Uの成分群はクラインの 4 元群と同型です。
• p進整数の加法群（ Z _p ,+）の恒等成分は、Z _{p が}完全に分離されているため、単集合{0}です。
• 簡約代数群Gのワイル群は、 Gの最大トーラスの正規化群の成分群です。
• 基本スキーム Spec( Z )上で定義された2 次単位根のグループ スキーム μ ₂ = Spec( Z [ x ]/( x ² - 1)) について考えます。位相的には、μ _{n は}、点 (つまり、素イデアル) 2で接着された曲線 Spec( Z )の 2 つのコピーで構成されます。したがって、μ _{n は}位相空間として接続されており、したがってスキームとして接続されています。ただし、 2 を除く Spec( Z ) のすべての点上のファイバーは 2 つの離散点で構成されるため、 μ _{2 は}その単位元成分と等しくありません。

位相体K上の代数群Gは、ザリスキ位相とKから継承された位相という2 つの自然な位相を許容します。 Gの恒等成分は、位相によって変わることがよくあります。たとえば、一般線型群GL _n ( R ) は、代数群としては連結ですが、リー群としては、正の行列式の行列と負の行列式の行列という 2 つの経路成分を持ちます。非アルキメデス局所体K上の連結な代数群は、 K位相では完全に連結されていないため、その位相では恒等成分が自明です。

• デマズレ、M. ;グロタンディーク、A .、ジル、P. Polo, P. (編)、Schemas en groupes (SGA 3)、I: Propriétés Genérales des Schémas en Groupes1970 年のオリジナルの改訂版および注釈付き版。