ポアソンカーネル

数学、特にポテンシャル理論において、ポアソン核は積分核であり、単位円上のディリクレ境界条件が与えられた2次元ラプラス方程式を解くために使用される。この核は、ラプラス方程式のグリーン関数の導関数として理解することができる。シメオン・ポアソンにちなんで名付けられた。

ポアソンカーネルは、制御理論や静電気学の 2 次元問題によく応用されています。実際には、ポアソンカーネルの定義はn次元問題にまで拡張されることがよくあります。

複素平面において、単位円板^[1]のポアソン核は次のように与えられる。 $${\displaystyle P_{r}(\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}e^{in\theta }={\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}=\operatorname {Re} \left({\frac {1+re^{i\theta }}{1-re^{i\theta }}}\right),\ \ \ 0\leq r<1.}$$

これはrとθの関数として考えることも、 rでインデックス付けされたθの関数の族として考えることもできます。

がC内の開単位円板、T が円板の境界、fがL ¹ ( T )内にあるT上の関数である場合、によって与えられる 関数u はD内で調和的 であり、円板の境界T上のほぼすべての場所でfと一致する半径極限を持ちます。 ${\displaystyle D=\{z:|z|<1\}}$$${\displaystyle u(re^{i\theta })={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }P_{r}(\theta -t)f(e^{it})\,\mathrm {d} t,\quad 0\leq r<1}$$

uの境界値がfであることは、 r → 1のとき、関数P _r ( θ ) が畳み込み代数L ¹ ( T )の近似単位を形成するという事実を使って議論することができます。線形演算子として、それらはL ^p ( T )上の点ごとにディラックのデルタ関数に近づきます。最大原理により、u はD上の唯一のそのような調和関数です。

この近似単位による畳み込みは、 L ¹ ( T )内の関数のフーリエ級数に対する総和可能性カーネルの例となります(Katznelson 1976)。f ∈ L ¹ ( T ) がフーリエ級数 { f _k } を持つものとします。フーリエ変換後、P _r ( θ ) による畳み込みは、数列 { r ^|k| } ∈ ℓ ¹ ( Z ) による乗算になります。^{[さらに説明が必要]}結果の積 { r ^|k| f _k } の逆フーリエ変換を行うと、 fのアーベル平均A _r f が得られます。 $${\displaystyle A_{r}f(e^{2\pi ix})=\sum _{k\in \mathbb {Z} }f_{k}r^{|k|}e^{2\pi ikx }.}$$

この絶対収束する級数を整理すると、 f がg + hの境界値であることが分かります。ここで、g (resp. h ) はD上の正則(resp.反正則) 関数です。

調和拡張が正則であることも要求する場合、解はハーディ空間の要素になります。これは、 fの負のフーリエ係数がすべてゼロになるときに当てはまります。特に、ポアソン核は、単位円と単位円上のハーディ空間の等価性を示すためによく使用されます。

H ^p ( z )の関数のT上の極限となる関数の空間は、H ^p ( T )と呼ばれることがあります。これは、 L ^p ( T )の閉じた部分空間です(少なくともp  ≥ 1 の場合)。L ^p ( T ) はバナッハ空間であるため(1 ≤  p ≤ ∞ の場合)、 H ^p ( T ) もバナッハ空間 です。

単位円板は、特定のメビウス変換によって上半平面に等角写像される。調和関数の等角写像も調和的であるため、ポアソン核は上半平面に持ち越される。この場合、ポアソン積分方程式は次の形になる。 $${\displaystyle u(x+iy)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{y}(xt)f(t)\,dt,\qquad y>0.}$$

カーネル自体は次のように与えられる。 $${\displaystyle P_{y}(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}.}$$

関数、つまり実数直線上の積分可能な関数のL ^p空間が与えられると、 u はfの上半平面への調和拡張として理解できる。円板の場合と同様に、u が上半平面で正則である場合、u はハーディ空間の要素であり、特に、 ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle H^{p},}$$${\displaystyle \|u\|_{H^{p}}=\|f\|_{L^{p}}}$$

したがって、上半平面上のハーディ空間H ^{p は}バナッハ空間であり、特に、実軸への制限は の閉じた部分空間です。状況は単位円の場合と類似しているだけです。単位円のルベーグ測度は有限ですが、実数直線のルベーグ測度は有限ではありません。 ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ).}$

半径 の球の場合、ポアソン核は の形をとります 。 ここで は( の表面) であり、 は単位 ( n  − 1) 球の表面積です。 ${\displaystyle r,B_{r}\subset \mathbb {R} ^{n},}$$${\displaystyle P(x,\zeta )={\frac {r^{2}-|x|^{2}}{r\omega _{n-1}|x-\zeta |^{n}}}}$$${\displaystyle x\in B_{r},\zeta \in S}$${\displaystyle B_{r}}$${\displaystyle \omega _{n-1}}$

このとき、u ( x ) がS上で定義された連続関数である場合、対応するポアソン積分は次のように定義される関数P [ u ]( x ) で ある。$${\displaystyle P[u](x)=\int _{S}u(\zeta )P(x,\zeta )\,d\sigma (\zeta ).}$$

P [ u ]( x ) は球面上で調和関数であり、P [ u ] ( x ) は半径rの閉じた球面上の連続関数に拡張され、境界関数は元の関数uと一致することが示されます 。 ${\displaystyle B_{r}}$

上半空間のポアソン核の式も得られる。 の標準直交座標を で表す。上 半空間は で定義される集合である。 H ^{n +1} のポアソン核はで与えられる。 ここ で${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$$${\displaystyle (t,x)=(t,x_{1},\dots ,x_{n}).}$$$${\displaystyle H^{n+1}=\left\{(t;x)\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid t>0\right\}.}$$$${\displaystyle P(t,x)=c_{n}{\frac {t}{\left(t^{2}+\left\|x\right\|^{2}\right)^{(n+1)/2}}}}$$$${\displaystyle c_{n}={\frac {\Gamma [(n+1)/2]}{\pi ^{(n+1)/2}}}.}$$

上半空間のポアソン核は、t が補助パラメータの役割を果たす アベル変換のフーリエ変換として自然に現れます。つまり、 特に、フーリエ変換の特性から、少なくとも形式的には、畳み込みは上半平面におけるラプラス方程式の解であることが明らかです 。また、 t → 0 のとき、適切な意味でP [ u ]( t , x ) → u ( x ) となることも示せます。 $${\displaystyle P(t,x)={\mathcal {F}}(K(t,\cdot ))(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\ pi t|\xi |}e^{-2\pi i\xi \cdot x}\,d\xi .}$$$${\displaystyle P[u](t,x)=[P(t,\cdot )*u](x)}$$

• シュワルツ積分公式

• カツネルソン、イツハク（1976）、調和解析入門、ドーバー、ISBN 0-486-63331-4
• コンウェイ、ジョン・B.（1978）、一複素変数関数I、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-90328-3。
• アクラー、S. ; ブルドン、ポール; レイミー、ウェイド (1992)、調和関数理論、シュプリンガー・フェアラグ、ISBN 0-387-95218-7。
• キング、フレデリック W. (2009)、ヒルベルト変換第 1 巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-88762-5。
• スタイン、エリアス、ワイス、グイド（1971）、ユークリッド空間上のフーリエ解析入門、プリンストン大学出版、ISBN 0-691-08078-X。
• Weisstein、Eric W.「ポアソンカーネル」。MathWorld。
• ギルバーグ、D .;トゥルーディンガー、N.（2001年1月12日）、2次楕円偏微分方程式、シュプリンガー、ISBN 3-540-41160-7。