微分形態測定

微分形態測定法は、医療用画像処理における計算解剖学(CA)の分野における画像、形状、形態の測定研究です。計算解剖学における画像の研究は、高次元微分同相写像群に依存しており、この群は形式の軌道を生成します 。この軌道では、画像は高密度スカラー磁気共鳴画像またはコンピュータ断層撮影画像になります。変形可能な形状の場合、これらは多様体、点、曲線、および面の集合です。微分同相写像は、画像と形状を軌道に沿って移動させます。この軌道は、計算解剖学のグループアクションとして定義されます。 ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}\doteq \{\varphi \cdot I\mid \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot M\mid \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$${\displaystyle (\varphi ,I)\mapsto \varphi \cdot I}$

図形や形式の軌道は、微分同相写像群に計量を導入することで計量空間になります。微分同相写像群の計量と多様体と曲面の間の計量に関する研究は、重要な研究分野となっています。^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]}計算解剖学では、微分形態測定計量は、2 つの図形または画像が互いにどれだけ近いか遠いかを測定します。非公式には、計量は、グループの要素を一方から他方に接続する 微分同相写像のフローを定義することによって構築されます。つまり、の場合です。2 つの座標系または微分同相写像間の計量は、それらを接続する最短の長さまたは測地線フローです。測地線に関連付けられた空間上の計量は で与えられます。軌道上の計量は、 微分同相写像群に導入された計量から継承されます。 ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t},t\in [0,1],\phi _{t}\in \operatorname {Diff} _{V}}$${\displaystyle \varphi ,\psi \in \operatorname {Diff} _{V}}$${\displaystyle \phi _{0}=\varphi ,\phi _{1}=\psi }$${\displaystyle \rho (\varphi ,\psi )=\inf _{\phi :\phi _{0}=\varphi ,\phi _{1}=\psi }\int _{0}^{1} \|{\dot {\phi }}_{t}\|_{\phi _{t}}\,dt}$${\displaystyle {\mathcal {I}},{\mathcal {M}}}$

したがって、群は 、すべての における接空間に関連付けられたリーマン計量を持つ滑らかなリーマン多様体になります。 リーマン計量は、多様体のすべての点で、 にわたって滑らかに変化する接空間上のノルムを誘導する内積が存在すること を満足します。 ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\varphi }}$${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$${\displaystyle \phi \in \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle \|{\dot {\phi }}_{t}\|_{\phi _{t}}}$${\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}}$

多くの場合、よく知られているユークリッド計量は直接適用できません。これは、図形や画像のパターンがベクトル空間を形成しないためです。計算解剖学のリーマン軌道モデルでは、形状に作用する微分同相写像は線形に作用しません。計量を定義する方法は多数あり、図形に関連付けられたセットの場合、ハウスドルフ計量は別の方法です。リーマン計量を誘導するために使用される方法は、フローに対する微分同相座標系変換間の計量の長さで定義することにより、図形の軌道上の計量を誘導することです。図形の軌道上の座標系間の測地線フローの長さを測定することを、微分形態測定法と呼びます。 ${\displaystyle \varphi \cdot I\in {\mathcal {I}},\varphi \in \operatorname {Diff} _{V},M\in {\mathcal {M}}}$

計算解剖学 における微分同相写像は、常微分方程式によって生成される流れ場、のラグランジアンおよびオイラー仕様を満たすように生成される。${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$

におけるオイラーベクトル場は である。流れの逆行列は で与えられ 、流れのヤコビ行列は で 与えられる。${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle v_{t}={\dot {\varphi }}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi _{t}^{-1}=-(D\varphi _{t}^{-1})v_{t},\ \varphi _{ 0}^{-1}=\オペレーター名 {id} ,}$${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \ D\varphi \doteq \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right).}$

逆写像を持つ微分同相写像の滑らかな流れを保証するために、ベクトル場は空間^{[10] [11]}で少なくとも1回連続微分可能でなければならない。これは、ソボレフの埋め込み定理を使用してヒルベルト空間の要素としてモデル化され 、各要素が3平方積分可能な導関数を持ち、したがって1回連続微分可能な関数に滑らかに埋め込まれることを意味する。^{[10] [11]} 微分同相写像群は、ソボレフノルムで絶対積分可能なベクトル場を持つ流れである。${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$

計算解剖学 (CA)における形状は、解剖学的座標系間の対応を確立するための微分同相写像の使用を通じて研究されます。この設定では、3 次元の医療画像は、テンプレートと呼ばれるいくつかの例の微分同相変換としてモデル化され、観察された画像はCA のランダム軌道モデルの要素になります。画像の場合、これらは と定義され、部分多様体を表すチャートの場合は と示されます。 ${\displaystyle I_{temp}}$${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}\doteq \{I=I_{temp}\circ \varphi ,\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot M_{temp}:\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$

計算解剖学における図形や形の軌道は、群作用 、 によって生成される。これらは、各点と関連する接空間に関連付けられた計量を導入することによってリーマン軌道になる。このために、軌道に計量を誘導する群に計量が定義される。微分同相写像群の 接空間の各要素における計算解剖学の計量として を取る。${\displaystyle {\mathcal {I}}\doteq \{\varphi \cdot I:\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot M:\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$

${\displaystyle \|{\dot {\varphi }}\|_{\varphi }\doteq \|{\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}\|_{V}=\| v\|_{V},}$

ベクトル場は、ノルムがヒルベルト空間 にあるヒルベルト空間 にあるとモデル化されます。 を、1-1 微分演算子 によって定義される再生核ヒルベルト空間 (RKHS)としてモデル化します。ここで、 は双対空間です。一般に、 は一般化された関数または分布であり、一般化された関数の内積とノルムに関連付けられた線形形式は、 について に従って部分積分によって解釈されます。 ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle \sigma \doteq Av\in V^{*}}$${\displaystyle v,w\in V}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle _{V}\doteq \int _{X}Av\cdot w\,dx,\ \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot v\,dx,\ v,w\in V\ .}$

のとき、ベクトル密度は、${\displaystyle Av\doteq \mu \,dx}$${\displaystyle \int Av\cdot v\,dx\doteq \int \mu \cdot v\,dx=\sum _{i=1}^{3}\mu _{i}v_{i}\,dx.}$

微分演算子は、逆関数に関連付けられたグリーン核が十分に滑らかで、ベクトル場が 1 連続導関数をサポートするように選択されます。ソボレフの埋め込み定理の議論は、滑らかな流れには 1 連続導関数が必要であることを実証するために行われました。微分演算子に関連付けられたグリーン関数(スカラーの場合)から生成されたグリーン演算子は滑らかになります。

の適切な選択に対しては、演算子 を持つ RKHS です。微分演算子に関連付けられたグリーン核は、平方積分の意味で十分な導関数を制御するために、核が 両方の変数で連続的に微分可能である ため、滑らかになります。${\displaystyle A}$${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$${\displaystyle K=A^{-1}:V^{*}\rightarrow V}$${\displaystyle k(\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle KAv(x)_{i}\doteq \sum _{j}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}k_{ij}(x,y)Av_{j}(y)\,dy\in V\ .}$

微分同相写像群上の計量は、微分同相写像群の要素のペアに定義される距離によって定義され、

この距離は、微分形態測定法の右不変計量を提供し、^{[12] [13] [14]}すべてのに対して、空間の再パラメータ化に対して不変であるため、 ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Diff} _{V}}$

${\displaystyle d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi ,\varphi )=d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi \circ \phi ,\varphi \circ \phi ).}$

画像上の距離、^[15] 、 ${\displaystyle d_{\mathcal {I}}:{\mathcal {I}}\times {\mathcal {I}}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$

形状と形態上の距離、^[16] 、 ${\displaystyle d_{\mathcal {M}}:{\mathcal {M}}\times {\mathcal {M}}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$

計量を計算するために、測地線は力学系であり、座標の流れとベクトル場の制御は ハミルトンの観点 ^{[17] [18] [19] [20] [21]}を介して関連しており、運動量分布をハミルトン運動量、ラグランジュ速度を制約するラグランジュ乗数で再パラメータ化する。したがって、 ${\displaystyle t\mapsto \phi _{t}\in \operatorname {Diff} _{V}}$${\displaystyle t\mapsto v_{t}\in V}$${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\cdot \phi _{t},\phi _{0}=\operatorname {id} .}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$${\displaystyle p:{\dot {\phi }}\mapsto (p\mid {\dot {\phi }})}$${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t}}$

${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t},v_{t})=\int _{X}p_{t}\cdot (v_{t}\circ \phi _{t})\,dx-{\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx.}$

ポンチャギンの最大値原理^[17]は、ダイナミクスを持つ 最適化ベクトル場であるハミルトニアンを与える。測地線に沿ってハミルトニアンは一定である: ^[22]。測地線を介して接続された座標系間の距離は、単位元と群元との間の誘導距離によって決定される: ${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})\doteq \max _{v}H(\phi _{t},p_{t},v)\ .}$${\displaystyle v_{t}\doteq \operatorname {argmax} _{v}H(\phi _{t},p_{t},v)}$${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}={\frac {\partial H(\phi _{t},p_{t})}{\partial p}},{\dot {p}}_{t}=-{\frac {\partial H(\phi _{t},p_{t})}{\partial \phi }}}$ ${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})=H(\operatorname {id} ,p_{0})={\frac {1}{2}}\int _{X}p_{0}\cdot v_{0}\,dx}$

${\displaystyle d_{\mathrm {Diff} _{V}}(\operatorname {id} ,\varphi )=\|v_{0}\|_{V}={\sqrt {2H(\operatorname {id} ,p_{0})}}}$

ランドマークの場合、ハミルトン運動量 ${\displaystyle x_{i},i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle p(i),i=1,\dots ,n}$

ハミルトン力学は次のような形をとる

${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})={\frac {1}{2}}\textstyle \sum _{j}\sum _{i}\displaystyle p_{t}(i)\cdot K(\phi _{t}(x_{i}),\phi _{t}(x_{j}))p_{t}(j)}$

と

${\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=\textstyle \sum _{i}\displaystyle K(\cdot ,\phi _{t}(x_{i}))p_{t}(i),\ \\{\dot {p}}_{t}(i)=-(Dv_{t})_{|_{\phi _{t}(x_{i})}}^{T}p_{t}(i),i=1,2,\dots ,n\\\end{cases}}}$

ランドマーク間のメトリック${\displaystyle d^{2}=\textstyle \sum _{i}p_{0}(i)\cdot \sum _{j}\displaystyle K(x_{i},x_{j})p_{0}(j).}$

これらの測地線に関連するダイナミクスは、添付の図に示されています。

表面の場合、ハミルトン運動量は表面を横切って定義され、ハミルトン運動量は

${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})={\frac {1}{2}}\int _{U}\int _{U}p_{t}(u)\cdot K(\phi _{t}(m(u)),\phi _{t}(m(v)))p_{t}(v)\,du\,dv}$

とダイナミクス

${\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=\textstyle \int _{U}\displaystyle K(\cdot ,\phi _{t}(m(u)))p_{t}(u)\,du\ ,\\{\dot {p}}_{t}(u)=-(Dv_{t})_{|_{\phi _{t}(m(u))}}^{T}p_{t}(u),u\in U\end{cases}}}$

表面座標間の距離${\displaystyle d^{2}=(p_{0}\mid v_{0})=\int _{U}p_{0}(u)\cdot \int _{U}K(m(u),m(u^{\prime }))p_{0}(u^{\prime })\,du\,du^{\prime }}$

体積の場合、ハミルトニアン

${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})={\frac {1}{2}}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}p_{t}(x)\cdot K(\phi _{t}(x),\phi _{t}(y))p_{t}(y)\,dx\,dy\displaystyle }$

ダイナミクス付き

${\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=\textstyle \int _{X}\displaystyle K(\cdot ,\phi _{t}(x))p_{t}(x)\,dx\ ,\\{\dot {p}}_{t}(x)=-(Dv_{t})_{|_{\phi _{t}(x)}}^{T}p_{t}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}\end{cases}}}$

ボリューム間のメトリック${\displaystyle \displaystyle d^{2}=(p_{0}\mid v_{0})=\int _{\mathbb {R} ^{3}}p_{0}(x)\cdot \int _{{\mathbb {R} }^{3}}K(x,y)p_{0}(y)\,dy\,dx.}$

さまざまな微分同相写像アルゴリズムを含む ソフトウェア スイートには、次のものがあります。

• デフォルメトリカ^[23]
• アリ^[24]
• DARTEL ^[25] ボクセルベース形態計測（VBM）
• 悪魔^[26]
• LDDMM ^[27]
• 定常LDDMM ^[28]

• MRIクラウド^[29]