スキュー座標

斜座標系は、直交座標系とは対照的に、座標面が直交しない曲線 座標系である^[1]。

斜座標は直交座標に比べて扱いが複雑になる傾向がある。これは計量テンソルが非ゼロの非対角成分を持ち、テンソル代数やテンソル計算の式の簡略化を妨げるためである。計量テンソルの非ゼロの非対角成分は、定義により座標の基底ベクトルの非直交性の直接的な結果である。^[2]

${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}}$

ここで、 は計量テンソル、 は（共変）基底ベクトルです。 ${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

これらの座標系は、問題の形状が歪んだシステムにうまく適合する場合に役立ちます。たとえば、平行四辺形のラプラス方程式を解くのは、適切に歪んだ座標で行うと最も簡単になります。

最も単純な 3D のスキュー座標系は、軸の 1 つ (たとえばx軸) が角度 だけ曲げられ、残りの 2 つの軸の 1 つと直交している直交座標系です。この例では、直交座標のx軸はz軸に向かって だけ曲げられ、 y軸と直交したままになっています。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi}$

、、をそれぞれ、、軸に沿った単位ベクトルとします。これらは共変基底を表します。それらのドット積を計算すると計量テンソルが得られます。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&\sin(\phi )\\0&1&0\\\sin(\phi )&0&1\end{pmatrix}},\qquad [g^{ij} ]={\frac {1}{\cos ^{2}(\phi )}}{\begin{pmatrix}1&0&-\sin(\phi )\\0&\cos ^{2}(\phi )&0\\-\sin(\phi )&0&1\end{pmatrix}}}$

どこ

${\displaystyle \quad g_{13}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\phi \right)=\sin(\phi )}$

そして

${\displaystyle {\sqrt {g}}=\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})=\cos(\phi )}$

これらは後で役立つ量です。

反変基底は^{[2]で与えられる。}

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\sqrt {g}}}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\cos(\phi )}}}$

${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\sqrt {g}}}=\mathbf { e} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\sqrt {g}}}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\cos(\phi )}}}$

反変基底はあまり使いやすくはありませんが、定義に出てくるので考慮する必要があります。共変基底に関して量を記述することを優先します。

基底ベクトルはすべて定数なので、ベクトルの加算と減算は、単に成分ごとの加算と減算と同じになります。

${\displaystyle \mathbf {a} =\sum _{i}a^{i}\mathbf {e} _{i}\quad {\mbox{and}}\quad \mathbf {b} =\sum _{i}b^{i}\mathbf {e} _{i}}$

ここで、合計はインデックスのすべての値（この場合、i = 1, 2, 3）の合計を示します。これらのベクトルの反変成分と共変成分は次のように関連しています。

${\displaystyle a^{i}=\sum _{j}a_{j}g^{ij}}$

つまり、明確に言えば、

${\displaystyle a^{1}={\frac {a_{1}-\sin(\phi )a_{3}}{\cos ^{2}(\phi )}},}$

${\displaystyle a^{2}=a_{2},}$

${\displaystyle a^{3}={\frac {-\sin(\phi )a_{1}+a_{3}}{\cos ^{2}(\phi )}}.}$

反変成分に関する ドット積は

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i}a^{i}b_{i}=a^{1}b^{1}+a^{2}b^{2}+a^{3}b^{3}+\sin(\phi )(a^{1}b^{3}+a^{3}b^{1})}$

共変成分の観点から見ると

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\frac {1}{\cos ^{2}(\phi )}}[a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}\cos ^{2}(\phi )+a_{3}b_{3}-\sin(\phi )(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1})].}$

定義によれば、[ ^3]スカラー関数fの勾配は

${\displaystyle \nabla f=\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {e} ^{1}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {e} ^{2}+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} ^{3}}$

ここで、座標x、y、z はインデックス付きです。これを反変基底で書かれたベクトルとして認識すると、次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle q_{i}}$

${\displaystyle \nabla f={\frac {{\frac {\partial f}{\partial x}}-\sin(\phi ){\frac {\partial f}{\partial z}}}{\cos(\phi )^{2}}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {-\sin(\phi ){\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}}{\cos(\phi )^{2}}}\mathbf {e} _{3}.}$

ベクトルの 発散は${\displaystyle \mathbf {a} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {a} ={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}a^{i}\right)={\frac {\partial a^{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial a^{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial a^{3}}{\partial z}}.}$

そしてテンソル${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}a^{ij}\mathbf {e} _{j}\right)=\sum _{i,j}\mathbf {e} _{j}{\frac {\partial a^{ij}}{\partial q^{i}}}.}$

fのラプラシアンは​

${\displaystyle \nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f={\frac {1}{\cos(\phi )^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}-2\sin(\phi ){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial z}}\right)+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$

そして、共変基底は正規かつ定数なので、ベクトルラプラシアンは共変基底で記述されたベクトルの成分ごとのラプラシアンと同じになります。

ドット積と勾配はどちらも、（直交座標系と比較して）余分な項があるためやや複雑ですが、ドット積と勾配を組み合わせた 移流演算子は非常に単純です。

${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \nabla )={\biggl (}\sum _{i}a^{i}e_{i}{\biggr )}\cdot {\biggl (}\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\mathbf {e} ^{i}{\biggr )}={\biggl (}\sum _{i}a^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\biggr )}}$

これは、共変基底で表現される場合、スカラー関数とベクトル関数の両方に成分ごとに適用できます。

最後に、ベクトルの 回転は

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {a} =\sum _{i,j,k}\mathbf {e} _{k}\epsilon ^{ijk}{\frac {\partial a_{j}}{\partial q^{i}}}=}$

${\displaystyle {\frac {1}{\cos(\phi )}}\left(\left(\sin(\phi ){\frac {\partial a^{1}}{\partial y}}+{\frac {\partial a^{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial a^{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{1}+\left({\frac {\partial a^{1}}{\partial z}}+\sin(\phi )\left({\frac {\partial a^{3}}{\partial z}}-{\frac {\partial a^{1}}{\partial x}}\right)-{\frac {\partial a^{3}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{2}+\left({\frac {\partial a^{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial a^{1}}{\partial y}}-\sin(\phi ){\frac {\partial a^{3}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{3}\right).}$