係数行列

線形代数において、係数行列は、一連の線形方程式内の変数の係数で構成される行列であり、線形方程式系を解く際に使用されます。

一般に、 m個の 線形方程式とn個の未知数を持つシステムは次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\&\;\;\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{aligned}}}$

ここで、は未知数であり、数字はシステムの係数である。係数行列は、係数a _{ij を}( i, j )番目の要素とするm × n行列である: ^[1]${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle a_{11},a_{12},\ldots ,a_{mn}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}}$

上記の式は次のように簡潔に表現できる。

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

ここで、Aは係数行列、b は定数項の列ベクトルです。

ルーシェ・カペリの定理によれば、増分行列（ベクトルbからなる追加の列で増分された係数行列）の階数が係数行列の階数よりも大きい場合、連立方程式は矛盾しており、つまり解が存在しません。一方、これら 2 つの行列の階数が等しい場合、連立方程式には少なくとも 1 つの解が存在する必要があります。階数r が変数の数nに等しい場合のみ、解は一意です。それ以外の場合、一般解はn – r 個の自由パラメータを持ちます。したがって、このような場合には、変数のn – rに任意の値を課し、結果として得られる連立方程式を解いて一意の解を求めることで、無限の解が見つかります。固定する変数の選択や変数の固定値を変えると、異なる連立方程式の解が得られます。

定数項を含む1階の行列差分方程式は次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {y} _{t+1}=A\mathbf {y} _{t}+\mathbf {c} ,}$

ここで、Aはn × n、yとc はn × 1です。このシステムは、 Aのすべてのn個の固有値の絶対値が1 未満の 場合にのみ、y の定常状態レベルに収束します。

定数項を持つ1階行列微分方程式は次のように書ける。

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {y} }{dt}}=A\mathbf {y} (t)+\mathbf {c} .}$

このシステムは、 Aのすべてのn個の固有値が負の実部を持つ場合にのみ安定します。