テンソル微分（連続体力学）

スカラー、ベクトル、および2次テンソルの2次テンソルに対する微分は、連続体力学において非常に有用である。これらの微分は、非線形弾性および塑性理論、特に数値シミュレーションのアルゴリズムの設計において使用される。^[1]

方向微分はこれらの微分を求める体系的な方法を提供する。^[2]

さまざまな状況での方向微分の定義を以下に示します。関数は十分に滑らかで、微分を取ることができるものと仮定します。

f ( v ) をベクトルvの実数値関数とする。すると、 f ( v ) のvに関する（またはvにおける）微分は、任意のベクトルuとのドット積によって定義されるベクトルとなる。

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =Df(\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f(\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}$$

すべてのベクトルuについて。上記のドット積はスカラーを生成し、u が単位ベクトルであれば、u方向のvにおけるfの方向微分を生成します。

プロパティ:

1. もしそうなら${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )+f_{2}(\mathbf {v} )}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} }$
2. もしそうなら${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )~f_{2}(\mathbf {v} )}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)~f_{2}(\mathbf {v} )+f_{1}(\mathbf {v} )~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}$
3. もしそうなら${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(f_{2}(\mathbf {v} ))}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} }$

f ( v ) をベクトルvのベクトル値関数とする。すると、 f ( v ) のvに関する（またはvにおける）微分は、任意のベクトルuとのドット積で定義される2次テンソルとなる。

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =D\mathbf {f} (\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~\mathbf {f} (\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}$$

すべてのベクトルuに対して、上記のドット積はベクトルを生成し、u が単位ベクトルであれば、方向uにおけるvでのfの方向微分が得られます。

プロパティ:

1. もしそうなら${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )}$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} }$
2. もしそうなら${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )}$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}$
3. もしそうなら${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} ))}$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {f} _{2}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}$

を2次テンソル の実数値関数とします。 の（または における）方向の微分は、 すべての2次テンソル に対してとして定義される 2次テンソルです。 ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=Df({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

プロパティ:

1. もしそうなら${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})+f_{2}({\boldsymbol {S}})}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}}$
2. もしそうなら${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})~f_{2}({\boldsymbol {S}})}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)~f_{2}({\boldsymbol {S}})+f_{1}({\boldsymbol {S}})~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$
3. もしそうなら${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}(f_{2}({\boldsymbol {S}}))}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$

を2次テンソル の2次テンソル値関数とします。 の（または における）方向の微分は、 すべての2次テンソル に対してとして定義される 4次テンソルです。 ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=D{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

プロパティ:

1. もしそうなら${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})}$${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}}$
2. もしそうなら${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})}$${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot \left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$
3. もしそうなら${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))}$${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$
4. もしそうなら${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$

任意の定数ベクトルcの方向のテンソル場の勾配 、は次のように定義されます。 次数n のテンソル場の勾配は、次数n +1のテンソル場です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {T}}(\mathbf {x} )}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}}\cdot \mathbf {c} =\lim _{\alpha \rightarrow 0}\quad {\cfrac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {T}}(\mathbf {x} +\alpha \mathbf {c} )}$$

が直交座標系の基底ベクトルで、点の座標が（）で示される場合、テンソル場の勾配は次のように表される。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial x_{i}}}\otimes \mathbf {e} _{i}}$$

基底ベクトルは直交座標系では変化しないため、スカラー場、ベクトル場v、および2次テンソル場の勾配には次の関係が成り立ちます。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\phi &={\cfrac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{i}=\phi _{,i}~\mathbf {e} _{i}\\{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &={\cfrac {\partial (v_{j}\mathbf {e} _{j})}{\partial x_{i}}}\otimes \mathbf {e} _{i}={\cfrac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{i}=v_{j,i}~\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{i}\\{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}&={\cfrac {\partial (S_{jk}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k})}{\partial x_{i}}}\otimes \mathbf {e} _{i}={\cfrac {\partial S_{jk}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{i}=S_{jk,i}~\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{i}\end{aligned}}}$$

が曲線座標系の反変基底ベクトルであり、点の座標が（）で示される場合、テンソル場の勾配は次のように表される（証明については ^{[3]を参照）。}${\displaystyle \mathbf {g} ^{1},\mathbf {g} ^{2},\mathbf {g} ^{3}}$ ${\displaystyle \xi ^{1},\xi ^{2},\xi ^{3}}$${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial \xi ^{i}}}\otimes \mathbf {g} ^{i}}$$

この定義から、スカラー場、ベクトル場v、および2次テンソル場の勾配について次の関係が得られます。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\phi &={\frac {\partial \phi }{\partial \xi ^{i}}}~\mathbf {g} ^{i}\\{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &={\frac {\partial \left(v^{j}\mathbf {g} _{j}\right)}{\partial \xi ^{i}}}\otimes \mathbf {g} ^{i}=\left({\frac {\partial v^{j}}{\partial \xi ^{i}}}+v^{k}~\Gamma _{ik}^{j}\right)~\mathbf {g} _{j}\otimes \mathbf {g} ^{i}=\left({\frac {\partial v_{j}}{\partial \xi ^{i}}}-v_{k}~\Gamma _{ij}^{k}\right)~\mathbf {g} ^{j}\otimes \mathbf {g} ^{i}\\{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial \left(S_{jk}~\mathbf {g} ^{j}\otimes \mathbf {g} ^{k}\right)}{\partial \xi ^{i}}}\otimes \mathbf {g} ^{i}=\left({\frac {\partial S_{jk}}{\partial \xi _{i}}}-S_{lk}~\Gamma _{ij}^{l}-S_{jl}~\Gamma _{ik}^{l}\right)~\mathbf {g} ^{j}\otimes \mathbf {g} ^{k}\otimes \mathbf {g} ^{i}\end{aligned}}}$$

ここでクリストッフェル記号 は次のように定義される。 ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$$${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}~\mathbf {g} _{k}={\frac {\partial \mathbf {g} _{i}}{\partial \xi ^{j}}}\quad \implies \quad \Gamma _{ij}^{k}={\frac {\partial \mathbf {g} _{i}}{\partial \xi ^{j}}}\cdot \mathbf {g} ^{k}=-\mathbf {g} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {g} ^{k}}{\partial \xi ^{j}}}}$$

円筒座標では、勾配は次のように表される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\phi ={}\quad &{\frac {\partial \phi }{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}~{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\\{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} ={}\quad &{\frac {\partial v_{r}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}-v_{\theta }\right)~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial v_{r}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\{}+{}&{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+v_{r}\right)~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\{}+{}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial v_{z}}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\\{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={}\quad &{\frac {\partial S_{rr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{rr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{rr}}{\partial \theta }}-(S_{\theta r}+S_{r\theta })\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{rz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{rz}}{\partial \theta }}-S_{\theta z}\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial \theta }}+(S_{r\theta }+S_{\theta r})\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial \theta }}+S_{rz}\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{zr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{zr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{zr}}{\partial \theta }}-S_{z\theta }\right]~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial \theta }}+S_{zr}\right]~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{zz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}~{\frac {\partial S_{zz}}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\end{aligned}}}$$

テンソル場の発散は再帰関係を用いて定義される。 ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}(\mathbf {x} )}$$${\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {T}})\cdot \mathbf {c} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(\mathbf {c} \cdot {\boldsymbol {T}}^{\textsf {T}}\right)~;\qquad {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\text{tr}}({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )}$$

ここで、cは任意の定数ベクトル、v はベクトル場です。がn > 1 の位数のテンソル場である場合、場の発散はn − 1 位数のテンソルになります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

デカルト座標系では、ベクトル場vと 2 次テンソル場の間に次の関係が成り立ちます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} &={\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}=v_{i,i}\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial S_{ik}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{k}=S_{ik,i}~\mathbf {e} _{k}\end{aligned}}}$$

ここで、右端の式では偏微分に対する テンソル指数表記が使用されている。$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}\neq {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}^{\textsf {T}}.}$$

対称2次テンソルの場合、発散は次のように表記されることが多い^[4]。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&={\cfrac {\partial S_{ki}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{k}=S_{ki,i}~\mathbf {e} _{k}\end{aligned}}}$$

上記の式は、直交座標成分形式（ と表記されることも多い）における の定義として使用されることがあります 。このような定義はこの記事の残りの部分と一致しないことに注意してください（曲線座標のセクションを参照）。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {S}}}$

違いは、微分が の行に関して実行されるか、列に関して実行されるかによって生じ、 は慣例的です。これは例で示されます。直交座標系では、2 次テンソル (行列)はベクトル関数 の勾配です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \right)&={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(v_{i,j}~\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\right)=v_{i,ji}~\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}=\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)_{,j}~\mathbf {e} _{j}={\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left[\left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \right)^{\textsf {T}}\right]&={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(v_{j,i}~\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\right)=v_{j,ii}~\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}={\boldsymbol {\nabla }}^{2}v_{j}~\mathbf {e} _{j}={\boldsymbol {\nabla }}^{2}\mathbf {v} \end{aligned}}}$$

最後の式は、代替定義/解釈^{[4]と同等である。}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \right)_{\text{alt}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \right)=\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \right)_{\text{alt}}\left(v_{i,j}~\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\right)=v_{i,jj}~\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{j}={\boldsymbol {\nabla }}^{2}v_{i}~\mathbf {e} _{i}={\boldsymbol {\nabla }}^{2}\mathbf {v} \end{aligned}}}$$

曲線座標では、ベクトル場vと2次テンソル場の発散は ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} &=\left({\cfrac {\partial v^{i}}{\partial \xi ^{i}}}+v^{k}~\Gamma _{ik}^{i}\right)\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&=\left({\cfrac {\partial S_{ik}}{\partial \xi _{i}}}-S_{lk}~\Gamma _{ii}^{l}-S_{il}~\Gamma _{ik}^{l}\right)~\mathbf {g} ^{k}\end{aligned}}}$$

より一般的には、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}~S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}~S_{il}\right]~g^{ik}~\mathbf {b} ^{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S^{ij}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{il}^{i}~S^{lj}+\Gamma _{il}^{j}~S^{il}\right]~\mathbf {b} _{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{~j}^{i}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{il}^{i}~S_{~j}^{l}-\Gamma _{ij}^{l}~S_{~l}^{i}\right]~\mathbf {b} ^{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{i}^{~j}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ik}^{l}~S_{l}^{~j}+\Gamma _{kl}^{j}~S_{i}^{~l}\right]~g^{ik}~\mathbf {b} _{j}\end{aligned}}}$$

円筒極座標では $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} =\quad &{\frac {\partial v_{r}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+v_{r}\right)+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}=\quad &{\frac {\partial S_{rr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\\{}+{}&{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial \theta }}+(S_{r\theta }+S_{\theta r})\right]~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial \theta }}+S_{rz}\right]~\mathbf {e} _{z}\\{}+{}&{\frac {\partial S_{zr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}$$

n > 1次テンソル場の回転も、cが任意の定数ベクトル、v がベクトル場 である再帰関係を使用して定義されます 。${\displaystyle {\boldsymbol {T}}(\mathbf {x} )}$$${\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {T}})\cdot \mathbf {c} ={\boldsymbol {\nabla }}\times (\mathbf {c} \cdot {\boldsymbol {T}})~;\qquad ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} )\cdot \mathbf {c} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {c} )}$$

ベクトル場vと任意の定数ベクトルc を考えます。インデックス表記では、外積は次のように表されます。 ここでは置換記号、別名レヴィ・チヴィタ記号です。したがって 、 $${\displaystyle \mathbf {v} \times \mathbf {c} =\varepsilon _{ijk}~v_{j}~c_{k}~\mathbf {e} _{i}}$$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {c} )=\varepsilon _{ijk}~v_{j,i}~c_{k}=(\varepsilon _{ijk}~v_{j,i}~\mathbf {e} _{k})\cdot \mathbf {c} =({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} )\cdot \mathbf {c} }$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}~v_{j,i}~\mathbf {e} _{k}}$$

2階テンソルの場合 、1階テンソル場の回転の定義を用いると 、 ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ $${\displaystyle \mathbf {c} \cdot {\boldsymbol {S}}=c_{m}~S_{mj}~\mathbf {e} _{j}}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times (\mathbf {c} \cdot {\boldsymbol {S}})=\varepsilon _{ijk}~c_{m}~S_{mj,i}~\mathbf {e} _{k}=(\varepsilon _{ijk}~S_{mj,i}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{m})\cdot \mathbf {c} =({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {S}})\cdot \mathbf {c} }$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {S}}=\varepsilon _{ijk}~S_{mj,i}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{m}}$$

テンソル場の回転に関する最もよく使われる恒等式は、この 恒等式はあらゆる次数のテンソル場に対して成り立つ。2次テンソルの重要なケースである、この恒等式は、 ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}})={\boldsymbol {0}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {0}}\quad \implies \quad S_{mi,j}-S_{mj,i}=0}$$

2階テンソルの行列式の導関数は次のように表される。 ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}\det({\boldsymbol {A}})=\det({\boldsymbol {A}})~\left[{\boldsymbol {A}}^{-1}\right]^{\textsf {T}}~.}$$

正規直交基底では、 の成分は行列Aとして表すことができます。その場合、右辺は行列の補因子に対応します。 ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$