回転参照フレーム

回転参照フレームは、慣性参照フレームに対して回転する非慣性参照フレームの特殊なケースです。回転参照フレームの日常的な例としては、地球の表面が挙げられます。(この記事では、固定軸を中心に回転するフレームのみを取り上げます。より一般的な回転については、オイラー角を参照してください。)

すべての非慣性系は架空の力を示すが、回転系は以下の3つの特徴を持つ：^[1]

• 遠心力、
• コリオリの力、

そして、非一様回転参照フレームの場合、

• オイラー力。

回転する箱の中にいる科学者は、これらの架空の力を測定して、回転速度と回転軸を測定できます。たとえば、レオン・フーコーはフーコーの振り子を使用して、地球の自転によって生じるコリオリの力を示すことができました。地球が何倍も速く回転すると、回転するメリーゴーランドに乗っているときのように、これらの架空の力が人間に感じられるようになります。

古典力学では、遠心力は回転に関連する外向きの力です。遠心力は、いわゆる疑似力（慣性力とも呼ばれる）の1つであり、実際の力とは異なり、作用する粒子の環境にある他の物体との相互作用によって発生するものではないことから、このように呼ばれています。代わりに、遠心力は、観測が行われる基準フレームの回転によって発生します。^{[2] [3] [4] [5] [6] [7]}

コリオリの力の数学的表現は、1835 年にフランスの科学者ガスパール＝ギュスターヴ・コリオリが流体力学に関連して発表した論文や、 1778 年にピエール＝シモン・ラプラスが発表した潮汐方程式にも登場しています。20 世紀初頭には、コリオリの力という用語は気象学に関連して使われるようになりました。

おそらく最も一般的に見られる回転座標系は地球です。地球の表面を移動する物体はコリオリの力を受け、北半球では右に、南半球では左に向きを変えるように見えます。大気中の空気や海洋中の水の動きは、この動作の顕著な例です。自転しない惑星のように高圧領域から低圧領域に直接流れるのではなく、風や海流は赤道の北ではこの方向よりも右側に、赤道の南ではこの方向よりも左側に流れる傾向があります。この効果により、大きなサイクロンが自転します(気象学におけるコリオリの効果を参照)。

古典力学において、オイラー加速度（レオンハルト・オイラーにちなんで名付けられた）は、方位加速度^[8]または横加速度^{[9]としても知られ、運動の解析に不均一に回転する参照フレームが使用され、}参照フレームの軸の角速度に変化がある場合に現れる加速度 である。この記事は、固定軸を中心に回転する参照フレームに限定されています。

オイラー力は物体に働く架空の力であり、オイラー加速度とF  =  m aの関係にある。ここでaはオイラー加速度、mは物体の質量である。^{[10] [11]}

以下は、回転フレームにおける加速度と架空の力の公式の導出です。これは、回転フレームにおける粒子の座標と慣性 (静止) フレームにおける座標の関係から始まります。次に、時間微分を取ることで、2 つのフレームで見られる粒子の速度と各フレームに対する加速度を関連付ける公式が導出されます。これらの加速度を使用して、2 つの異なるフレームで定式化されたニュートンの第 2 法則を比較することで、架空の力が特定されます。

これらの架空の力を導くには、回転座標系の座標と、同じ原点を持つ慣性座標系の座標を変換できると便利です。 ^{[注 1]} 回転が一定の角速度で軸の周りを回転している場合（つまり、ある定数に対してとなり、ここで は時刻に -平面でと-軸によって形成される角度を表します）、2 つの座標系が時刻に一致する場合（つまり、が または の他の整数倍のとき）、回転座標から慣性座標への変換は次のように表すことができます が、逆変換は次のように表されます。 ${\displaystyle \left(x',y',z'\right)}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle z'=z}$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\equiv \Omega ,}$${\displaystyle \theta (t)=\Omega t+\theta _{0}}$${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle \theta (t)}$${\displaystyle x-y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \left(x',y'\right)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \left(x',y',z'\right)=(x,y,z)}$${\displaystyle t=0,}$${\displaystyle \theta _{0}=0}$${\displaystyle 2\pi }$$${\displaystyle x=x'\cos(\theta (t))-y'\sin(\theta (t))}$$ $${\displaystyle y=x'\sin(\theta (t))+y'\cos(\theta (t))}$$$${\displaystyle x'=x\cos(-\theta (t))-y\sin(-\theta (t))}$$ $${\displaystyle y'=x\sin(-\theta (t))+y\cos(-\theta (t))\ .}$$

この結果は回転行列から得られます。

回転フレームにおける標準単位基底ベクトルを表す単位ベクトルを導入します。これらの単位ベクトルの時間微分は次に求められます。フレームが に整列し、 - 軸が回転軸であると仮定します。次に、 角度 の反時計回りの回転について、次のようになります。 ここで、成分は静止フレームで表現されます。同様に、 ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Omega t}$$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))}$$${\displaystyle (x,y)}$$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=(-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))\ .}$$

したがって、大きさを変えずに回転するこれらのベクトルの時間微分は、 次のようになります。この結果は、回転ベクトルを回転のz軸に向け、ベクトル積 を使用して得られる結果と同じです。つまり、 次のように なります。または$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=\Omega (-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))=\Omega {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}\ ;}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=\Omega (-\cos \theta (t),\ -\sin \theta (t))=-\Omega {\hat {\boldsymbol {\imath }}}\ ,}$$${\displaystyle \Omega \equiv {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\theta (t).}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=(0,\ 0,\ \Omega ),}$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega \times }}{\hat {\boldsymbol {u}}}\ ,}$$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}.}$

単位ベクトル を導入します。これは、一般的な回転フレームにおける標準の単位基底ベクトルを表します。これらは回転しても、正規化され、互いに垂直なままです。これらが回転ベクトルに沿った軸の周りをの速度で回転する場合、回転座標系の各単位ベクトル(またはなど) は次の式に従います。 したがって、 が慣性 の基底ベクトルを回転フレームに取る変換を表し、行列の列が回転フレームの基底ベクトルに等しい場合、回転ベクトルによる外積の乗算は で与えられます。 ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}}$${\displaystyle \Omega (t)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}(t)}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {k}}}}$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\hat {u}}}\ .}$$${\displaystyle R(t)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times =R'(t)\cdot R(t)^{T}}$

がベクトル関数で^{[注 2]}のように書かれ 、その一次導関数を調べると（微分の積の法則を使って）次の式が得られます。^{[12] [13]} ここで、は回転座標系で観測されるの変化率を表します。簡略化して微分法は次のように表されます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {f}}(t)=f_{1}(t){\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{2}(t){\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{3}(t){\hat {\boldsymbol {k}}}\ ,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}&={\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}{\mathrm {d} t}}f_{1}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}}{\mathrm {d} t}}f_{2}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {k}}}}{\mathrm {d} t}}f_{3}\\&={\frac {\mathrm {d} f_{1}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{2}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{3}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+\left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \left(f_{1}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{2}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{3}{\hat {\boldsymbol {k}}}\right)\right]\\&=\left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {f}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {f}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {f}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }}$${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]{\boldsymbol {f}}\ .}$$

この結果は解析力学における輸送定理としても知られており、基本運動方程式と呼ばれることもあります。^[14]

物体の速度は物体の位置の時間微分なので、

${\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\ .}$

回転する基準フレームにおける位置の時間微分には2つの要素があり、1つは回転する基準フレームにおける物体自体の運動による明示的な時間依存性から、もう1つはフレーム自体の回転から生じます。前のサブセクションの結果を変位に適用すると、2つの基準フレームにおける速度は次の式で関連付けられます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t),}$

${\displaystyle \mathbf {v_{i}} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]{\boldsymbol {r}}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \ ,}$

ここで、下付き文字は慣性参照フレームを意味し、 は回転参照フレームを意味します。 ${\displaystyle \mathrm {i} }$${\displaystyle \mathrm {r} }$

加速度は位置の2次微分、または速度の1次微分である。

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)_{\mathrm {i} }=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {i} }=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]\left[\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \right]\ ,}$

ここで、下付き文字は慣性参照フレーム、回転参照フレームを意味し、ここでも、左側の括弧内の式は、右側の括弧内の式に作用する 演算子として解釈されます。${\displaystyle \mathrm {i} }$${\displaystyle \mathrm {r} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times }$

として、いずれかのフレーム内の の一次微分は、例えば慣性フレームの基底に関して表されるとき、一致する。微分を実行し、いくつかの項を並べ替えると、回転基準フレームに対する加速度が得られる。${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\Omega }}={\boldsymbol {0}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }=\mathbf {a} _{\mathrm {i} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )-{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$

ここで、は回転基準フレームにおける見かけの加速度、 項は遠心加速度、 項はコリオリの加速度を表します。最後の項 はオイラー加速度であり、等速回転フレームではゼロになります。 ${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\tfrac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)_{\mathrm {r} }}$${\displaystyle -{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )}$${\displaystyle -2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }}$${\displaystyle -{\tfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$

加速度の式に粒子の質量を掛けると、右側の 3 つの追加項によって、回転基準系における架空の力、つまり物体間の物理的な相互作用から生じる力ではなく、非慣性基準系にあることから生じる見かけの力が生じます。

ニュートンの運動の第二法則 を用いると次の式が得られる: ^{[1] [12] [13] [15] [16]}${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$

• コリオリの力 $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }}$$
• 遠心力 $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {centrifugal} }=-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )}$$
• そしてオイラー力 $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=-m{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$$

ここで、これらの架空の力によって作用される物体の質量です。フレームが回転していないとき、つまり${\displaystyle m}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=0\ .}$

完全を期すために、外力による慣性加速度は、慣性系（非回転系）における全物理的力（例えば、電磁力などの物理的相互作用による力）から、慣性系における ニュートンの第2法則を用いて決定する ことができる。回転系におけるニュートンの法則は、 ${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {i} }}$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {imp} }}$$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {imp} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {i} }}$$

${\displaystyle \mathbf {F_{\mathrm {r} }} =\mathbf {F} _{\mathrm {imp} }+\mathbf {F} _{\mathrm {centrifugal} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=m\mathbf {a_{\mathrm {r} }} \ .}$

言い換えれば、回転基準系における運動の法則を扱うには：^{[16] [17] [18]}

架空の力を実際の力のように扱い、慣性系にいると仮定します。

— ルイス・N・ハンド、ジャネット・D・フィンチ『解析力学』 267ページ

明らかに、回転する基準フレームは非慣性フレームの例です。したがって、粒子には実際の力に加えて架空の力も作用します...粒子に作用する全力が実際の力と架空の力の合計であるとすると、粒子はニュートンの運動の第 2 法則に従って動きます。

—  HS ハンス & SP プイ:力学; p. 341

この方程式は、慣性系で特定されるすべての力の合計であるFに加えて、右側に追加の項があることを除けば、ニュートンの第 2 法則とまったく同じ形式になっています。つまり、非慣性系では慣性力と呼ばれる追加の力のような項を追加する必要があることに同意すれば、非慣性系でもニュートンの第 2 法則を引き続き使用できます。

— ジョン・R・テイラー：古典力学、328ページ

スピンのラーモア周波数で回転するフレームで磁気共鳴を考慮すると便利です。これは下のアニメーションで示されています。回転波近似も使用できます。

• 絶対回転
• 遠心力（回転基準フレーム）固定軸を中心に回転するシステムから見た遠心力
• 平面粒子運動の力学平面運動中の粒子が示す架空の力。粒子自身と、共回転参照系内の観測者から見た場合の力。
• コリオリの力地球や他の回転系に対するコリオリの力の影響
• 慣性座標系
• 非慣性系
• 虚構の力この記事の主題のより一般的な扱い

• 慣性フレームと回転参照フレームの両方から見たシーンを示すアニメーション クリップ。コリオリの力と遠心力を視覚化します。