確率振幅

量子力学では、確率振幅はシステムの挙動を記述するために使用される複素数です。この量の絶対値の2乗は確率密度を表します。

確率振幅は、システムの量子状態ベクトルとそのシステムの観測結果との関係を提供します。この関係は、1926 年にマックス ボルンによって初めて提案されました。波動関数の値を確率振幅として解釈することは、量子力学のコペンハーゲン解釈の柱です。実際、波動関数の空間の特性は、特定の関数の物理的な解釈が提示される前から、物理的な予測 (特定の離散エネルギーにある原子からの放射など) を行うために使用されていました。ボルンはこの理解により 1954 年のノーベル物理学賞の半分を授与され、このようにして計算された確率は「ボルン確率」と呼ばれることがあります。これらの確率的概念、つまり確率密度と量子測定は、当時、シュレーディンガーやアインシュタインなど、理論に取り組んでいた当初の物理学者によって激しく論争されました。これは、量子力学の解釈における神秘的な帰結と哲学的な困難の源であり、今日でも議論が続いているテーマです。

いくつかの技術的な複雑さを無視すると、量子測定の問題は、測定される観測量 Qの値が不確定な量子状態の振る舞いです。このような状態は、観測量のさまざまな可能な値に対して、観測量の値が一意に定義される状態の観測量の固有状態の首尾一貫した重ね合わせであると考えられています。

Qの測定が行われると、システムは（コペンハーゲン解釈の下で）固有状態の 1 つにジャンプし、その固有状態に属する固有値を返します。システムは常に、不等な「重み」を持つこれらの固有状態の線形結合または重ね合わせによって記述できます。直感的に、より重い「重み」を持つ固有状態がより「発生しそう」であることは明らかです。実際、システムが上記のどの固有状態にジャンプするかは、確率法則によって与えられます。つまり、システムがその状態にジャンプする確率は、対応する数値重みの絶対値の 2 乗に比例します。これらの数値重みは確率振幅と呼ばれ、与えられた純粋な量子状態（波動関数など）から確率を計算するために使用されるこの関係は、ボルンの規則と呼ばれます。

明らかに、確率の合計は確率振幅の絶対値の二乗の合計に等しく、1 に等しくなければなりません。これが正規化の要件です。

システムがQの何らかの固有状態にあることが分かっている場合 (たとえば、 Qの対応する固有値の観測後)、その固有値を観測する確率は、その後のすべての Q の測定で 1 (確実) に等しくなります(測定間に他の重要な力が作用しない限り)。言い換えると、確率振幅は他のすべての固有状態ではゼロであり、将来の測定でもゼロのままです。Qの測定時にシステムがジャンプできる固有状態の集合が、 Rの測定の固有状態の集合と同じである場合、 QまたはRの後続の測定は、適用される順序に関係なく、常に確率 1 で同じ値を生成します。確率振幅はどちらの測定によっても影響を受けず、観測可能量は交換可能であると言われます。

対照的に、QとRの固有状態が異なる場合、Rの測定はQの固有状態ではない状態へのジャンプを生成します。したがって、システムがQの何らかの固有状態（1 つの固有状態を除いてすべての確率振幅がゼロ）にあることがわかっている場合、R が観測されると確率振幅が変更されます。Qの 2 回目の後続の観測では、開始状態に対応する固有値が確実に生成されなくなります。言い換えると、Qの 2 回目の測定の確率振幅は、それがRの測定の前か後かによって異なり、2 つの観測値は交換されません。

正式な設定では、量子力学における孤立した物理システムの状態は、固定された時間 において、可分複素ヒルベルト空間に属する状態ベクトル|Ψ⟩によって表される。ブラケット記法を用いると、状態ベクトルとヒルベルト空間の「位置基底」の関係は次のように表される^[1]。${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \{|x\rangle \}}$

${\displaystyle \psi (x)=\langle x|\Psi \rangle }$。

量子状態を測定可能な関数に一般化し、その定義域を与えられたσ有限測度空間に一般化することで、観測可能量との関係を解明することができる。これにより、ルベーグの分解定理を改良し、μを3つの互いに特異な部分に 分解することができる。${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$

${\displaystyle \mu =\mu _{\mathrm {ac} }+\mu _{\mathrm {sc} }+\mu _{\mathrm {pp} }}$

ここでμac_はルベーグ測度に関して絶対連続であり、μsc_はルベーグ測度に関して特異で原子を持たず、μpp_は純粋な点測度である。^{[2] [3]}

確率振幅の通常の表現は、（同値類の）平方可積分関数のL ²空間に属する波動関数 の表現である。つまり 、L ² ( X )に属するのは、${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \psi}$

${\displaystyle \|\psi \|^{2}=\int _{X}|\psi (x)|^{2}\,dx<\infty }$。

ノルムが1に等しく 、${\displaystyle |\psi (x)|^{2}\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$

${\displaystyle \int _{X}|\psi (x)|^{2}\,dx\equiv \int _{X}\,d\mu _{ac}(x)=1}$、

は、与えられた時間における粒子の位置の測定に対する確率密度関数であり、ルベーグ測度（例えば、すべての実数の集合R上）に関するラドン・ニコディム微分として定義されます。確率は無次元量なので、| ψ ( x ) | ^{2 は}積分変数xの逆次元を持たなければなりません。たとえば、上記の振幅は[L ^−1/2 ]の次元を持ちます。ここで、L は長さを表します。 ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$

ヒルベルト空間が可分なのは可算な正規直交基底を持つ場合のみであるのに対し、連続ランダム変数の値域は非可算集合である（つまり、システムが「位置」にある確率は常にゼロになる）。したがって、観測可能なものの固有状態は必ずしもL ² ( X )に属する測定可能な関数である必要はない（以下の正規化条件を参照）。典型的な例は、次のように定義される 位置演算子である。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}}$

${\displaystyle \langle x|{\hat {\mathrm {x} }}|\Psi \rangle ={\hat {\mathrm {x} }}\langle x|\Psi \rangle =x_{0}\psi (x),\quad x\in \mathbb {R} ,}$

その固有関数はディラックのデルタ関数である

${\displaystyle \psi (x)=\delta (x-x_{0})}$

これらは明らかにL ² ( X )には属さない。しかし、状態空間を適切なヒルベルト空間に置き換えることで、スペクトル定理とスペクトル分解からの厳密な固有状態の概念は保持される。^[4]

をアトミック（つまり、 の集合がアトム）とし、任意の離散変数x ∈ Aの測度が1に等しいことを指定します。振幅はAでインデックス付けされた状態ベクトル|Ψ⟩で構成され、その成分は前の場合と統一するためにψ ( x )で表されます。 |Ψ⟩のℓ ²ノルムが 1 に等しい場合、| ψ ( x ) | ²は確率質量関数です。 ${\displaystyle \mu _{pp}}$${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

便利な配置空間X は、各点x が観測可能なQの一意の値を生成するような空間です。離散Xの場合、これは標準基底のすべての要素がQの固有ベクトルであることを意味します。この場合、は固有状態| x ⟩の確率振幅です。これがQの非退化固有値に対応する場合、は初期状態|Ψ⟩のQの対応する値の確率を与えます。 ${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$

| ψ ( x ) | = 1となるのは、| x ⟩が|Ψ⟩と同じ量子状態である場合のみです。ψ ( x ) = 0となるのは、 | x ⟩と|Ψ⟩が直交する場合のみです。 それ以外の場合、 ψ ( x )の係数は0 と 1 の間です。

離散確率振幅は、M理論変換計算を簡略化するために、確率周波数領域（球面調和関数）の基本周波数と見なすことができます。 ^{[要出典]離散動的変数は、}理想化された反射ボックス内の粒子や量子調和振動子などの問題で使用されます。^[要説明]

離散的なケースの例としては、2つの状態をとることができる量子システム、例えば光子の偏光が挙げられます。偏光が測定されると、水平状態または垂直状態になります。偏光が測定されるまで、光子はこれら2つの状態の重ね合わせにある可能性があるため、その状態は次のように記述できます 。${\displaystyle |H\rangle }$${\displaystyle |V\rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |H\rangle +\beta |V\rangle }$、

およびはそれぞれ状態および状態の確率振幅です。光子の偏光を測定すると、結果として得られる状態は水平または垂直のいずれかになります。しかし、ランダムな実験では、水平偏光の確率は、垂直偏光の確率は です。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle |H\rangle }$${\displaystyle |V\rangle }$${\displaystyle |\alpha |^{2}}$${\displaystyle |\beta |^{2}}$

したがって、一連の測定を行った場合、ある状態の光子は水平偏光で出てくる確率と、垂直偏光で出てくる確率を持ちます。ただし、このような結果の順序は完全にランダムです。 ${\textstyle |\psi \rangle ={\sqrt {\frac {1}{3}}}|H\rangle -i{\sqrt {\frac {2}{3}}}|V\rangle }$${\textstyle {\frac {1}{3}}}$${\textstyle {\frac {2}{3}}}$

もう 1 つの例は量子スピンです。スピン測定装置が z 軸に沿って向いており、スピンの z 成分 ( ) を測定できる場合、スピンの「上」と「下」の測定については次のことが当てはまります。 ${\textstyle \sigma _{z}}$

${\displaystyle \sigma _{z}|u\rangle =(+1)|u\rangle }$

${\displaystyle \sigma _{z}|d\rangle =(-1)|d\rangle }$

システムが準備されていて、+1 が に登録され、次に装置が回転して を測定すると仮定すると、次の式が成り立ちます。 ${\textstyle \sigma _{x}}$${\textstyle \sigma _{z}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle r|u\rangle &=\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle u|+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle d|\right)\cdot |u\rangle \\&=\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}}$

スピンアップを測定する確率振幅は、システムの初期状態が であったため、で与えられる。 測定の確率は で与えられる。 ${\textstyle \langle r|u\rangle }$${\textstyle |r\rangle }$${\textstyle |u\rangle }$

${\displaystyle P(|u\rangle )=\langle r|u\rangle \langle u|r\rangle =\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}}$

それは実験と一致します。

上記の例では、測定によって|  H  ⟩または|  V  ⟩ のいずれかが得られる必要があるため、 |  H  ⟩または|  V  ⟩を測定する合計確率は1 でなければなりません。これにより、α ² + β ² = 1という制約が導かれます。より一般的には、すべての可能な状態の確率振幅の二乗係数の合計は 1 に等しくなります。「すべての可能な状態」を正規直交基底として理解すると、離散的なケースでは意味をなしますが、この条件は上で説明したノルム 1 の条件と同じです。

ヒルベルト空間の任意の非ゼロ要素をそのノルムで割ると、正規化された状態ベクトルが得られます。ただし、すべての波動関数がヒルベルト空間L ² ( X )に属するわけではありません。この制約を満たす波動関数は正規化可能と呼ばれます。

量子粒子の状態を記述するシュレーディンガー方程式には、システムを記述し、状態が時間とともにどのように変化するかを正確に決定する解があります。波動関数 ψ ( x ,  t )が粒子 (特定の時間tでの位置x )を記述するとします。波動関数が2乗積分可能であるのは、

${\displaystyle \int |\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}\,\mathrm {d\mathbf {x} } =a^{2}<\infty .}$

正規化後も波動関数は同じ状態を表し、したがって定義により^{[5] [6]}に等しい。

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t):={\frac {\psi (\mathbf {x} ,t)}{a}}.}$

標準的なコペンハーゲン解釈では、正規化された波動関数は粒子の位置の確率振幅を与える。したがって、ρ ( x ) = | ψ ( x ,  t ) | ^{2 は}確率密度関数であり、粒子が固定時刻tに体積V内にある確率は次のように与えられる。

${\displaystyle P_{\mathbf {x} \in V}(t)=\int _{V}|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}\,\mathrm {d\mathbf {x} } =\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\,\mathrm {d\mathbf {x} } .}$

確率密度関数は時間とともに変化せず、波動関数の発展はシュレーディンガー方程式によって決定され、したがって完全に決定論的である。^[7]これは、この解釈の重要性を理解するための鍵となる。与えられた粒子の一定質量、初期ψ ( x、  t ₀ )およびポテンシャルに対して、シュレーディンガー方程式は後続の波動関数を完全に決定する。上記は、その後のすべての時間における粒子の位置の確率を与える。

確率振幅は、量子力学において、上述のように多くの類似した法則を持つ従来の確率と同等のものとして作用するため、特別な意味を持つ。例えば、古典的な二重スリット実験では、電子が 2 つのスリットにランダムに発射され、スリットの後ろに置かれた大きなスクリーン上のすべての部分で電子が検出される確率分布が問題となる。直感的な答えは、P (いずれかのスリットを通過) = P (最初のスリットを通過) + P (2 番目のスリットを通過)であり、ここでP (イベント)はそのイベントの確率である。電子がいずれかのスリットを通過すると仮定すれば、これは明らかである。電子がどちらのスリットを通過するかを決定する測定装置が設置されていない場合、スクリーン上で観測される確率分布は、光波に共通する干渉パターンを反映している。上記の法則が真実であると仮定すると、このパターンは説明できない。粒子がどちらのスリットも通過しているとは言えず、単純な説明は機能しない。しかし、正しい説明は、各イベントに確率振幅を関連付けることです。各スリットを通過する電子を表す複素振幅 ( ψ _firstとψ _second ) は、まさに予想される形式の法則に従います: ψ _total = ψ _first + ψ _second 。これが量子重ね合わせの原理です。確率振幅の係数の2 乗である確率は、振幅が複素数であるという要件の下で干渉パターンに従います: ここで、と はそれぞれψ _firstとψ _secondの引数 です。純粋に実数形式の定式化では、重ね合わせを考慮した場合のシステムの状態を記述するには次元が少なすぎます。つまり、振幅の引数がなければ、位相依存の干渉を記述することはできません。重要な項は「干渉項」と呼ばれ、確率を追加した場合はこの項が欠落します。 $${\displaystyle P=\left|\psi _{\text{first}}+\psi _{\text{second}}\right|^{2}=\left|\psi _{\text{first}}\right|^{2}+\left|\psi _{\text{second}}\right|^{2}+2\left|\psi _{\text{first}}\right|\left|\psi _{\text{second}}\right|\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2}).}$$${\displaystyle \varphi _{1}}$${\displaystyle \varphi _{2}}$${\textstyle 2\left|\psi _{\text{first}}\right|\left|\psi _{\text{second}}\right|\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}$

しかし、各電子がどのスリットを通過するかを観察する実験を考案することもできます。その場合、波動関数の崩壊により、干渉パターンはスクリーン上で観察されません。

さらに進んで、実験者が「量子消去装置」によってこの「どの経路の情報」を取り除く実験を考案することもできる。すると、コペンハーゲン解釈によれば、ケースAが再び適用され、干渉パターンが復元される。^[8]

直感的には、正規化された波動関数は波動方程式に従って進化しながら正規化されたままなので、粒子の位置の確率密度の変化とこれらの位置での振幅の変化の間には関係があることになります。

確率電流（またはフラックス）jを次のように 定義する。

${\displaystyle \mathbf {j} ={\hbar \over m}{1 \over {2i}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)={\hbar \over m}\operatorname {Im} \left(\psi ^{*}\nabla \psi \right),}$

(確率)/(面積×時間)の単位で測定されます。

すると電流は次の式を満たす。

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} +{\partial \over \partial t}|\psi |^{2}=0.}$

確率密度は であり、この方程式はまさに連続方程式であり、局所的な量の保存を記述する必要がある物理学の多くの状況で登場します。最も良い例は古典電気力学で、j は電荷に対応する電流密度に対応し、密度は電荷密度です。対応する連続方程式は、局所的な電荷の保存を記述します。 ${\displaystyle \rho =|\psi |^{2}}$

空間L ² ( X ₁ )とL ² ( X ₂ )を持つ 2 つの量子システムについて、それぞれ状態|Ψ ₁ ⟩と|Ψ ₂ ⟩が与えられている場合、それらの合成状態|Ψ ₁ ⟩  ⊗  |Ψ ₂ ⟩は、 X ₁ × X 2上の関数ψ ₁ ( x ₁ )  ψ ₂ ( x ₂ )として表すことができ、これはそれぞれの確率測度の積を与えます 。 言い換えれば、エンタングルされていない複合状態の振幅は元の振幅の積であり、システム 1 と₂上のそれぞれの観測可能量は、これらの状態では独立したランダム変数として動作します。 これにより、上で説明した確率的解釈が強化されます。   

振幅の概念は散乱理論の文脈でも使用され、特にS 行列の形で使用されます。与えられたベクトルに対してベクトル成分の二乗の係数は固定の確率分布を与えますが、行列要素の二乗の係数はランダム過程の場合と同様に遷移確率として解釈されます。有限次元単位ベクトルが有限の確率分布を指定するのと同様に、有限次元ユニタリ行列は有限数の状態間の遷移確率を指定します。

「遷移的」解釈は、非離散空間上のL ²にも適用できます。 ^{[説明が必要]}

• 期待値（量子力学）
• 自由粒子
• 有限ポテンシャル障壁
• 物質波
• 位相空間定式化
• 不確定性原理
• ウォードの確率振幅
• 波束

• Bäuerle, Gerard GA; de Kerf, Eddy A. (1990)。リー代数、パート 1: 有限次元および無限次元リー代数と物理学への応用。数理物理学研究。アムステルダム: 北ホラント。ISBN 0-444-88776-8。
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• ガダー、スタンリー P. (1988)。量子確率。サンディエゴ：アカデミックプレス。ISBN 0-12-305340-4。
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