二状態量子システム

量子力学において、2状態系（ 2準位系とも呼ばれる）は、2つの独立した（物理的に区別可能な）量子状態の任意の量子重ね合わせで存在できる量子系である。このような系を記述するヒルベルト空間は2次元である。したがって、空間に広がる完全な基底は、2つの独立した状態から構成される。^[1]任意の2状態系は、量子ビットとして見ることもできる。

2 状態システムは、1 状態システムのダイナミクスが自明であるため (システムが存在できる他の状態がないため)、興味深い最も単純な量子システムです。2 状態システムの解析に必要な数学的フレームワークは、 2 次元空間の線形微分方程式と線形代数です。その結果、2 状態システムのダイナミクスは、近似なしで解析的に解くことができます。システムの一般的な動作は、波動関数の振幅が 2 つの状態間で振動することです。

2状態システムのよく知られた例としては、スピン1/2粒子のスピン（例えば電子）が挙げられます。電子のスピンは+ ħ /2または−ħ / 2の値を取ることができます。ここで、ħは縮小プランク定数です。

2 状態システムは、吸収や減衰の記述には使用できません。なぜなら、そのようなプロセスには連続体への結合が必要だからです。そのようなプロセスには振幅の指数関数的減衰が伴いますが、2 状態システムの解は振動的です。

システムの2つの利用可能な基本状態がとであると仮定すると、一般に状態は確率振幅を持つこれら2つの状態の重ね合わせとして表すことができ、${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |2\rangle }$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$$${\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|1\rangle +c_{2}|2\rangle .}$$

基底状態は正規直交であり、ここでと はクロネッカーのデルタなのでとなる。これら2つの複素数は、 2次元複素ヒルベルト空間の座標とみなすことができる。^[2]したがって、状態に対応する状態ベクトルは であり、基底状態は基底ベクトルに対応し、${\displaystyle \langle i|j\rangle =\delta _{ij}}$${\displaystyle i,j\in {1,2}}$${\displaystyle \delta_{ij}}$${\displaystyle c_{i}=\langle i|\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$$${\displaystyle |\psi \rangle \equiv {\begin{pmatrix}\langle 1|\psi \rangle \\\langle 2|\psi \rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}} +c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=\mathbf {c} ,}$$$${\displaystyle |1\rangle \equiv {\begin{pmatrix}\langle 1|1\rangle \\\langle 2|1\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end {pマトリックス}}}$$$${\displaystyle |2\rangle \equiv {\begin{pmatrix}\langle 1|2\rangle \\\langle 2|2\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end {pマトリックス}}.}$$

状態が正規化されている場合、状態ベクトルのノルムは 1、つまり になります。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle {|c_{1}|}^{2}+{|c_{2}|}^{2}=1}$

エネルギーなどの観測可能な物理量はすべて、エルミート演算子に関連付けられています。エネルギーと対応するハミルトニアンHの場合、これは つまり、およびが実数であり、であることを意味します。したがって、これらの 4 つの行列要素は、2×2エルミート行列を生成します。 $${\displaystyle H_{ij}=\langle i|H|j\rangle =\langle j|H|i\rangle ^{*}=H_{ji}^{*},}$$${\displaystyle H_{11}}$${\displaystyle H_{22}}$${\displaystyle H_{12}=H_{21}^{*}}$${\displaystyle H_{ij}}$$${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\langle 1|H|1\rangle &\langle 1|H|2\rangle \\\langle 2|H|1\rangle &\langle 2| H|2\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}}.}$$

時間に依存しないシュレーディンガー方程式は、 であると述べています。 を上記の基底状態に関して代入し、両辺にまたはを掛けると、行列形式で記述できる2 つの線形方程式のシステム、 またはが生成されます。これは、2×2 行列の固有値と固有ベクトルの問題です。 上で述べたように、この方程式は、一般状態を時間に依存しないシュレーディンガー方程式に代入することで得られます。時間に依存しないシュレーディンガー方程式は、固有状態を指定するために使用される制約条件であることに注意してください。したがって、一般状態をこれに代入すると、一般状態が固有状態になるためにどのような形式を取らなければならないかがわかります。 これを実行して分配すると、 が得られます。これは、または がゼロになることを必要とします (は、個々の状態のエネルギーであると の両方に等しくなることはできません。これらは定義により異なります)。またはを 0 に設定すると、1 つの状態だけが残り、 が生き残った状態のエネルギーになります。この結果は、時間に依存しないシュレーディンガー方程式は H の固有状態によってのみ満たされ、固有状態とは (状態ベクトルの定義により) 1 つの係数を除くすべての係数がゼロである状態である、ということを冗長に思い出させるものです。ここで、同じ導出に従いますが、個々の状態にハミルトニアンを作用させる前に、両辺にまたはを乗算すると、上記の行列方程式に組み合わせることができる 2 つの線形方程式のシステムが得られます。前と同様に、これはまたはがゼロの場合にのみ満たされ、この場合、定数は残りの状態のエネルギーになります。したがって、上記の行列方程式は、一般状態ベクトルに対する制限条件として解釈され、時間に依存しないシュレーディンガー方程式とまったく同様に、 の固有ベクトルを生成します。 ${\displaystyle H|\psi \rangle =E|\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \langle 1|}$${\displaystyle \langle 2|}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=E{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}},}$$${\displaystyle \mathbf {Hc} =E\mathbf {c} }$${\displaystyle c_{1}H|1\rangle +c_{2}H|2\rangle =c_{1}E|1\rangle +c_{2}E|2\rangle }$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \varepsilon_{1}}$${\displaystyle \varepsilon_{2}}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \langle 1|}$${\displaystyle \langle 2|}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H}$

もちろん、一般に、行列を状態ベクトルと交換しても、同じベクトルに定数Eを掛けたものにはなりません。一般的な妥当性を得るには、個々の固有状態エネルギーが積ベクトルの内側にある形式で方程式を記述する必要があります。どちらの場合でも、ハミルトニアン行列は、上で指定した方法、または境界条件を使用して行列を構築するより伝統的な方法を使用して導出できます。具体的には、いずれかの基底状態に作用するときに、その状態にその状態のエネルギーを掛けたものを返す必要があるという要件を使用します。(一般状態にどのように作用するかについての境界条件はありません。) これにより、対角要素が固有状態のエネルギーであり、非対角要素がゼロである対角行列が生成されます。ブラケットで囲まれたハミルトニアンを使用する上記の行列の形式は、この行列のより一般化されたバージョンです。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}c_{1}\\\varepsilon _{2}c_{2}\end{pmatrix}},}$$

は常にゼロで、常に に等しいはずなのに、なぜハミルトニアン行列をブラケットで囲まれたハミルトニアンでそのような一般的な形式で書く必要があるのか​​と疑問に思う人もいるかもしれません。その理由は、より複雑な問題では、状態ベクトルが行列で使用されるハミルトニアンの固有状態ではない場合があるからです。これが発生する場所の 1 つは、問題が対角化によって解決されるまで、非対角要素がゼロでない退化摂動論です。 ${\displaystyle H_{ij},i\neq j}$${\displaystyle H_{ii}}$${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

の隠蔽性により、固有値は実数です。または、むしろ逆に、エネルギーが実数であるという要件が の隠蔽性を意味します。固有ベクトルは定常状態、つまり確率振幅の二乗の絶対値が時間とともに変化しない状態を表します。 ${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle \mathbf {H} }$

2 状態システムのハミルトニアンなどの 2×2 エルミート行列の最も一般的な形式は、 と γ がエネルギー単位を持つ実数である、 で与えられます 。システムの許容エネルギー レベル、つまりハミルトニアン行列の固有値は、通常の方法で見つけることができます。 $${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}&\beta -i\gamma \\\beta +i\gamma &\varepsilon _{2}\end{pmatrix}},}$$${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\beta }$

同様に、この行列は次のように分解できます。ここで、およびは実数です。行列は2×2 単位行列で、の行列はパウリ行列です。この分解により、特に、およびの値が定数である時間に依存しないケースで、システムの解析が簡素化されます。 $${\displaystyle \mathbf {H} =\alpha \cdot \sigma _{0}+\beta \cdot \sigma _{1}+\gamma \cdot \sigma _{2}+\delta \cdot \sigma _{3}={\begin{pmatrix}\alpha +\delta &\beta -i\gamma \\\beta +i\gamma &\alpha -\delta \end{pmatrix}}.}$$${\textstyle \alpha ={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}\right)}$${\textstyle \delta ={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2}\right)}$${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle \sigma _{k}}$${\displaystyle k=1,2,3}$${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$${\displaystyle \delta }$

ハミルトニアンはさらに次のように凝縮される。$${\displaystyle \mathbf {H} =\alpha \cdot \sigma _{0}+\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}.}$$

ベクトルは で与えられ、は で与えられます。この表現はシステムの時間発展の解析を簡素化し、ブロッホ球などの他の特殊な表現と一緒に使用しやすくなります。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle (\beta ,\gamma ,\delta )}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$

2状態システムの時間に依存しないハミルトニアンHが上記のように定義されると、その固有値は で与えられます。明らかに、α は2 つのレベルの平均エネルギーであり、のノルムはそれらの間の分裂です。対応する固有ベクトルはおよびとして表されます。 ${\displaystyle E_{\pm }=\alpha \pm |\mathbf {r} |}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle |+\rangle }$${\displaystyle |-\rangle }$

ここで、確率振幅は時間依存であるが、基底状態は時間依存ではないと仮定します。時間依存のシュレーディンガー方程式は と表し、前と同じように進めると（ を代入し、 を前置乗算すると再び 1 組の連立線形方程式が生成されますが、今回は 1 階偏微分方程式になります。が時間に依存しない場合、の時間依存性を見つけるには、通常モードなど、いくつかの方法があります。結果は となり、はにおける状態ベクトルです。ここで、行列の指数は級数展開から見つけることができます。行列は時間発展行列と呼ばれ（対応する時間発展演算子 の行列要素で構成されます）、 がユニタリ であることは簡単に証明できます。つまり です。 ${\textstyle i\hbar \partial _{t}|\psi \rangle =H|\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \langle 1|,\langle 2|}$${\textstyle i\hbar \partial _{t}\mathbf {c} =\mathbf {Hc} }$${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$$${\displaystyle \mathbf {c} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }\mathbf {c} _{0}=\mathbf {U} (t)\mathbf {c} _{0}.}$$${\displaystyle \mathbf {c} _{0}=\mathbf {c} (0)}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$${\displaystyle U(t)}$${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$${\displaystyle \mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {U} =1}$

次のようなことが示せる。$${\displaystyle \mathbf {U} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }=e^{-i\alpha t/\hbar }\left(\cos \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right)\sigma _{0}-i\sin \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right){\hat {r}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right),}$$${\textstyle {\hat {r}}={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}.}$

基底をハミルトニアンの固有ベクトルに変更すると、言い換えると、基底状態が固有ベクトルとして選択されると、となり、ハミルトニアンは対角となり、つまり、およびは次の形式となる。${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle }$${\displaystyle \epsilon _{1}=H_{11}=\langle 1|H|1\rangle =E_{1}\langle 1|1\rangle =E_{1}}$${\displaystyle \beta +i\gamma =H_{21}=\langle 2|H|1\rangle =E_{1}\langle 2|1\rangle =0}$${\displaystyle |\mathbf {r} |=\delta }$$${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}E_{1}&0\\0&E_{2}\end{pmatrix}}.}$$

ここで、ユニタリ時間発展演算子は次のように簡単に表すことができます。この係数は演算子の全体的な位相にのみ寄与し、通常は無視して、元の演算子と物理的に区別できない新しい時間発展演算子を得ることができます。さらに、システムへの摂動(ハミルトニアンと同じ形式になります) は、摂動されていないハミルトニアンの固有基底でシステムに追加でき、上記と同じ方法で分析できます。したがって、どのような摂動に対しても、摂動を受けたシステムの新しい固有ベクトルは、導入部で述べたように正確に解くことができます。 ${\displaystyle U}$$${\displaystyle \mathbf {U} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }={\begin{pmatrix}e^{-iE_{1}t/\hbar }&0\\0&e^{-iE_{2}vt/\hbar }\end{pmatrix}}=e^{-i\alpha t/\hbar }{\begin{pmatrix}e^{-i\delta t/\hbar }&0\\0&e^{i\delta t/\hbar }\end{pmatrix}}=e^{-i\alpha t/\hbar }\left(\cos \left({\frac {\delta }{\hbar }}t\right)\sigma _{0}-i\sin \left({\frac {\delta }{\hbar }}t\right){\boldsymbol {\sigma }}_{3}\right).}$$${\displaystyle e^{-i\alpha t/\hbar }}$

システムが の基底状態の 1 つで開始し、となると仮定します。また、 が時間に依存しないハミルトニアンであるとき、時間の関数として各基底状態の占有確率に関心があります。${\displaystyle t=0}$${\displaystyle |1\rangle }$${\textstyle \mathbf {c} _{0}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {H} }$$${\displaystyle \mathbf {c} (t)=\mathbf {U} (t)\mathbf {c} _{0}={\begin{pmatrix}U_{11}(t)&U_{12}(t)\\U_{21}(t)&U_{22}(t)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}U_{11}(t)\\U_{21}(t)\end{pmatrix}}.}$$

状態iの占有確率は です。開始状態の場合は、であり、上記から、したがって、${\displaystyle P_{i}(t)=|c_{i}(t)|^{2}=|U_{i1}(t)|^{2}}$${\displaystyle P_{1}(t)=|c_{1}(t)|^{2}=|U_{11}(t)|^{2}}$$${\displaystyle U_{11}(t)=e^{\frac {-i\alpha t}{\hbar }}\left(\cos \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right)-i\sin \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right){\frac {\delta }{|\mathbf {r} |}}\right).}$$$${\displaystyle P_{1}(t)=\cos ^{2}(\Omega t)+\sin ^{2}(\Omega t){\frac {\Delta ^{2}}{\Omega ^{2}}}.}$$

明らかに、初期条件によるものです。周波数は一般化ラビ周波数と呼ばれ、ラビ周波数と呼ばれ、離調と呼ばれます。 ${\displaystyle P_{1}(0)=1}$$${\displaystyle \Omega ={\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}={\frac {1}{\hbar }}{\sqrt {\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}}}={\sqrt {|\Omega _{R}|^{2}+\Delta ^{2}}}}$$${\displaystyle \Omega _{R}=(\beta +i\gamma )/\hbar }$${\displaystyle \Delta =\delta /\hbar }$

デチューニングがゼロの場合、つまり、周波数 で、状態 1 の保証された占有から状態 2 の保証された占有へ、そして状態 1 へ戻るなど、ラビ フロッピングが発生します。デチューニングがゼロから増加すると、フロッピングの周波数は ( Ωまで) 増加し、電子を励起する振幅は まで減少します。 ${\displaystyle P_{1}(t)=\cos ^{2}(|\Omega _{R}|t)}$${\displaystyle |\Omega _{R}|}$${\displaystyle \Omega ^{2}/\Delta ^{2}}$

光波によって誘起される時間依存ハミルトニアンについては、ラビサイクルと回転波近似に関する記事を参照してください。

磁場 内のスピン 1/2粒子の場合を考えてみましょう。このシステムの相互作用ハミルトニアンは、ここで は粒子の磁気モーメントの大きさ、 はパウリ行列のベクトルです。時間依存シュレーディンガー方程式を解くと、次式が得られます。ここで、 および です。物理的には、これはブロッホベクトルが角周波数 で歳差運動することに対応します。一般性を失うことなく、磁場が均一で を指していると仮定すると、時間発展演算子は次のように与えられます。${\displaystyle \mathbf {B} =B\mathbf {\hat {n}} }$$${\displaystyle H=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} ,}$$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle H\psi =i\hbar \partial _{t}\psi }$$${\displaystyle \psi (t)=e^{i\omega t{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {\hat {n}} }\psi (0),}$$${\displaystyle \omega =\mu B/\hbar }$${\displaystyle e^{i\omega t{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {\hat {n}} }=\cos {\left(\omega t\right)}I+i\;\mathbf {\hat {n}} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\sin {\left(\omega t\right)}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$${\displaystyle 2\omega }$${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$$${\displaystyle e^{i\omega t{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {\hat {n}} }={\begin{pmatrix}e^{i\omega t}&0\\0&e^{-i\omega t}\end{pmatrix}}.}$$

このような時間発展演算子がスピン1/2粒子の一般的なスピン状態に作用すると、印加磁場によって定義される軸の周りの歳差運動が生じることがわかる（これはラーモア歳差運動の量子力学的等価物である）^[3]

上記の方法は、相互作用が磁気モーメントに類似した適切な結合項によって与えられる場合、何らかの場（前の場合の磁場に相当）と相互作用する任意の一般的な 2 状態システムの解析に適用できます。状態ベクトルの歳差運動（前の場合のように物理的な回転である必要はありません）は、ブロッホ球面上の状態ベクトルの歳差運動として考えることができます。

状態ベクトルのブロッホ球面上の表現は、単に期待値のベクトルになります。例として、とを正規化した重ね合わせである状態ベクトル、つまり基底で次のように表現できるベクトルを考えてみましょう。${\displaystyle \psi (0)}$${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\langle \sigma _{x}\rangle ,\langle \sigma _{y}\rangle ,\langle \sigma _{z}\rangle \right)}$${\displaystyle \psi (0)}$${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$${\displaystyle \sigma _{z}}$$${\displaystyle \psi (0)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$$

ブロッホ球面上のの成分は、単に となります。これは、 に沿って始まり、 の周りを左手で歳差運動する単位ベクトルです。一般に、 の周りの回転により、任意の状態ベクトルは、実係数およびを持つとして表すことができます。このような状態ベクトルは、z軸と角度をなすxz平面内のブロッホベクトルに対応します。このベクトルは、 の周りを歳差運動します。理論的には、システムが特定の方向と強度のフィールドと正確な期間相互作用できるようにすることで、ブロッホベクトルの任意の方向を取得できます。これは、任意の複素重ね合わせを取得することと同等です。これは、量子コンピューティングやMRI を含む多くの技術の基礎となっています。 ${\displaystyle \psi (t)}$${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\cos {2\omega t},-\sin {2\omega t},0\right)}$${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$${\displaystyle \psi (0)}$${\displaystyle a\left|\uparrow \right\rangle +b\left|\downarrow \right\rangle }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \tan(\theta /2)=b/a}$${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$

核磁気共鳴(NMR) は、時間依存ハミルトニアンの正確な解を伴うため、2 状態システムのダイナミクスにおける重要な例です。NMR 現象は、原子核を強い静的磁場B ₀ (「保持磁場」) に配置し、次に、ある無線周波数ω _rで振動する弱い横磁場B ₁を適用することによって実現されます。^[4]具体的には、保持磁場と横方向の rf 磁場B ₁内のスピン 1/2粒子が、 B _{0 の}周りを右回りにxy平面で回転する場合を考えます。${\displaystyle B_{0}\mathbf {\hat {z}} }$$${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{1}\cos \omega _{\mathrm {r} }t\\B_{1}\sin \omega _{\mathrm {r} }t\\B_{0}\end{pmatrix}}.}$$

自由歳差運動の場合と同様に、ハミルトニアンは であり、状態ベクトルの発展は時間依存のシュレーディンガー方程式 を解くことによって求められます。いくつかの操作 (以下の折りたたまれたセクションに示されています) の後、シュレーディンガー方程式はとなり、 となることが示されます。 ${\displaystyle H=-\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} }$${\displaystyle \psi (t)}$${\displaystyle H\psi =i\hbar \,\partial \psi /\partial t}$$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\left(\omega _{1}\sigma _{x}+\left(w_{0}+{\frac {\omega _{r}}{2}}\right)\sigma _{z}\right)\psi ,}$$${\displaystyle \omega _{0}=\mu B_{0}/\hbar }$${\displaystyle \omega _{1}=\mu B_{1}/\hbar }$

前のセクションに従って、この方程式の解は、ベクトルの大きさの 2 倍の周波数で歳差運動するブロッホ ベクトルを持つ。が十分に強い場合、回転磁場の導入前に、ある割合のスピンが真下を向いているだろう。 回転磁場の角周波数が となるように選択される場合、回転フレームで状態ベクトルは周波数 で歳差運動し、下から上に反転して、検出可能な光子の形でエネルギーを放出する。^{[要出典]これは}NMRの基本的な基礎であり、実際には、サンプルが光を放出する共鳴周波数が見つかるまでスキャンすることによって達成される。 同様の計算が原子物理学で行われ、磁場が回転しておらず、複雑な振幅で振動している場合は、回転波近似を使用してそのような結果を導き出す。 ${\displaystyle (\omega _{1},0,\omega _{0}+\omega _{r}/2)}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle \omega _{r}=-2\omega _{0}}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle 2\omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{r}}$

スピン1/2粒子の集合に対する光ブロッホ方程式は、2準位系の時間依存シュレーディンガー方程式から導くことができる。前述のハミルトニアンから始めて、いくつかの整理を行った後、和の表記法で次のように書くことができる。${\displaystyle i\hbar \partial _{t}\psi =-\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \psi }$$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i{\frac {\mu }{\hbar }}\sigma _{i}B_{i}\psi }$$

パウリ行列 と波動関数の共役転置を掛け合わせ、さらに2つのパウリ行列の積を展開すると、${\displaystyle \sigma _{i}}$$${\displaystyle \psi ^{\dagger }\sigma _{j}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\sigma _{j}\sigma _{i}B_{i}\psi =i{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(I\delta _{ij}-i\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi ={\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(iI\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi }$$

この式を共役転置に加えると、左辺は次のようになる。$${\displaystyle \psi ^{\dagger }\sigma _{j}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {\partial \psi ^{\dagger }}{\partial t}}\sigma _{j}\psi ={\frac {\partial \left(\psi ^{\dagger }\sigma _{j}\psi \right)}{\partial t}}}$$

そしてフォームの右側には$${\displaystyle {\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(iI\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi +{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(-iI\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi ={\frac {2\mu }{\hbar }}\left(\psi ^{\dagger }\sigma _{k}\psi \right)B_{i}\varepsilon _{ijk}}$$

前述のように、各パウリ行列の期待値はブロッホベクトルの要素です。左辺と右辺を等しくし、 が磁気回転比 であることに留意すると、という事実が使用されているブロッホベクトルの運動方程式の別の形式が得られます。ベクトル形式では、これらの 3 つの方程式は外積で表すことができます。古典的には、この方程式は磁場内のスピンのダイナミクスを記述します。理想的な磁石は、独立して動作する同一のスピンの集合で構成されているため、総磁化はブロッホベクトルに比例します。光学ブロッホ方程式の最終形式を得るために残っているのは、現象論的緩和項を含めることだけです。 ${\displaystyle \langle \sigma _{i}\rangle =\psi ^{\dagger }\sigma _{i}\psi =R_{i}}$${\displaystyle {\frac {2\mu }{\hbar }}}$ ${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle {\frac {\partial R_{j}}{\partial t}}=\gamma R_{k}B_{i}\varepsilon _{kij}}$$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}=\varepsilon _{kij}}$$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {R} }{\partial t}}=\gamma \mathbf {R} \times \mathbf {B} }$$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

最後に余談ですが、上記の式はハイゼンベルク描像における角運動量演算子の時間発展を考慮することで導くことができます。 $${\displaystyle i\hbar {\frac {d\sigma _{j}}{dt}}=\left[\sigma _{j},H\right]=\left[\sigma _{j},-\mu \sigma _{i}B_{i}\right]=-\mu \left(\sigma _{j}\sigma _{i}B_{i}-\sigma _{i}\sigma _{j}B_{i}\right)=\mu [\sigma _{i},\sigma _{j}]B_{i}=2\mu i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}B_{i}}$$

という事実と組み合わせると、この式は前の式と同じになります。 ${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\langle \sigma _{i}\rangle }$

2 状態システムは、自然界で発生する最も単純な非自明な量子システムですが、上記の分析方法は単純な 2 状態システムだけに有効なわけではありません。観測可能なものに 2 つの固有値がある限り、一般的な多状態量子システムは 2 状態システムとして扱うことができます。たとえば、スピン 1/2 粒子は実際には追加の並進自由度や回転自由度を持っている可能性がありますが、それらの自由度は前述の分析とは無関係です。数学的には、無視された自由度はスピン固有値の縮退に対応します。

有効 2 状態形式が有効な別のケースは、検討中のシステムがシステムから効果的に分離された 2 つのレベルを持つ場合です。これは、原子による光の自発放出または誘導放出、および電荷量子ビットの解析の場合です。この場合、摂動 (外部フィールドとの相互作用) が適切な範囲内にあり、関心のある状態以外の状態への遷移を引き起こさないことを念頭に置く必要があります。

教育的には、2状態形式は量子システムの解析に使用される最も単純な数学的手法の1つです。これは、光子の偏光状態の粒子によって示される干渉などの基本的な量子力学的現象を説明するために使用できますが、 ^[5]ニュートリノ振動や中性K中間子振動などのより複雑な現象を説明するためにも使用できます。

2 状態形式は、共鳴安定化やその他のレベル交差関連の対称性などの現象につながる状態の単純な混合を説明するために使用できます。このような現象は、化学においてさまざまな用途があります。メーザーやレーザーなど、産業用途が非常に大きい現象は、2 状態形式を使用して説明できます。

2 状態形式は量子コンピューティングの基礎も形成します。量子コンピューターの構成要素である量子ビットは、2 状態システムに他なりません。量子コンピューティング操作はすべて、ブロッホ球面上の状態ベクトルを回転させるユニタリ操作です。

• ファインマン物理学講義の第 3 巻に掲載されている 2 状態形式論の扱い。
• 講義ノート:
• MITの量子力学 IIコースより、http://web.mit.edu/8.05/handouts/Twostates_03.pdf
  • 中性粒子振動を扱う同じコースから、http://web.mit.edu/8.05/handouts/nukaon_07.pdf
  • TIFRで提供される量子力学Iコースから、http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand4.pdfは基本的な数学をカバーしています
  • http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand5.pdf; 同じコースから、いくつかの物理的な2状態システムと形式論の他の重要な側面を扱っています。
  • 最初のセクションの数学的な部分は、コロンビア大学で提供される「数学者のための量子力学」コースのノート http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qubit.pdf と同様の方法で行われます。
  • 同じものの書籍版 ; http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qmbook.pdf
  • 二国家システムと二球面、RJ プリメン、Il Nuovo Cimento B 13 (1973)、pp. 55–58

• ラビサイクル
• ダブレット
• 核磁気共鳴
• 量子光学
• キュービット