長方形のポテンシャル障壁

量子力学において、 長方形（あるいは正方形）のポテンシャル障壁は、波動力学的トンネル効果（「量子トンネル効果」とも呼ばれる）と波動力学的反射の現象を示す標準的な一次元問題である。この問題は、長方形のポテンシャルエネルギー障壁に遭遇する粒子に対する一次元時間独立シュレーディンガー方程式を解くことから構成される。通常、ここで示されているように、自由粒子が障壁の左側から衝突すると仮定される。

古典的には点質量として振る舞う粒子は、そのエネルギーが以下であれば反射されるが、${\displaystyle V_{0}}$粒子が実際に物質波として振る舞う場合、障壁を透過して反対側で波として伝播を続ける確率はゼロではない。古典的な波動物理学では、この効果はエバネッセント波結合として知られている。粒子が障壁を通過する確率は透過係数で表され、反射される確率は反射係数で表される。 シュレーディンガーの波動方程式を用いることで、これらの係数を計算することができる。

波動関数に対する時間独立シュレーディンガー方程式${\displaystyle \psi (x)}$読む $${\displaystyle {\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x)}$$ どこ${\displaystyle {\hat {H}}}$ハミルトニアンとは、${\displaystyle \hbar }$は（換算） プランク定数である。${\displaystyle m}$質量は、${\displaystyle E}$ 粒子のエネルギーと $${\displaystyle V(x)=V_{0}[\Theta (x)-\Theta (xa)]}$$ 高さに対する障壁ポテンシャル${\displaystyle V_{0}>0}$幅${\displaystyle a}$。${\displaystyle \Theta (x)=0,\;x<0;\;\Theta (x)=1,\;x>0}$ はヘヴィサイド階段関数、すなわち、 $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<0\\V_{0}&{\text{if }}0<x<a\\0&{\text{if }}a<x\end{cases}}}$$

障壁は、${\displaystyle x=0}$そして${\displaystyle x=a}$障壁は任意の位置に移動できます${\displaystyle x}$結果を変えずに位置を調整する。ハミルトニアンの最初の項は、${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$は運動エネルギーです。

障壁は空間を３つの部分に分割します（${\displaystyle x<0,0<x<a,x>a}$これらのいずれの部分においても、ポテンシャルは一定であり、粒子は準自由粒子であることを意味し、シュレーディンガー方程式の解は左向き波と右向き波の重ね合わせとして表すことができる（自由粒子を参照）。${\displaystyle E>V_{0}}$$${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ik_{0}x}+A_{l}e^{-ik_{0}x}&x<0\\\psi _{C}(x)=B_{r}e^{ik_{1}x}+B_{l}e^{-ik_{1}x}&0<x<a\\\psi _{R}(x)=C_{r}e^{ik_{0}x}+C_{l}e^{-ik_{0}x}&x>a\end{cases}}}$$ ここで波数とエネルギーの関係は次の通りである $${\displaystyle {\begin{cases}k_{0}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}&x<0\quad {\text{or}}\quad x>a\\k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}&0<x<a.\end{cases}}}$$

インデックス${\displaystyle r/l}$係数について${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$は速度ベクトルの方向を表します。粒子のエネルギーが障壁の高さより低い場合、${\displaystyle k_{1}}$は虚数になり、波動関数は障壁内で指数関数的に減衰します。それでも、表記法は維持します。${\displaystyle r/l}$この場合、波はもはや伝播していないにもかかわらず、${\displaystyle E\neq V_{0}}$事件${\displaystyle E=V_{0}}$下記で詳述する。

係数${\displaystyle A,B,C}$波動関数の境界条件から見つける必要がある${\displaystyle x=0}$そして${\displaystyle x=a}$波動関数とその導関数は至るところで連続でなければならないので 、$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{L}(0)&=\psi _{C}(0)\\\left.{\frac {d\psi _{L}}{dx}}\right|_{x=0}&=\left.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=0}\\\psi _{C}(a)&=\psi _{R}(a)\\\left.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=a}&=\left.{\frac {d\psi _{R}}{dx}}\right|_{x=a}.\end{aligned}}}$$

波動関数を挿入すると、境界条件は係数に対して以下の制約を与える。

$${\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}}$$$${\displaystyle ik_{0}(A_{r}-A_{l})=ik_{1}(B_{r}-B_{l})}$$$${\displaystyle B_{r}e^{iak_{1}}+B_{l}e^{-iak_{1}}=C_{r}e^{iak_{0}}+C_{l}e^{-iak_{0}}}$$$${\displaystyle ik_{1}\left(B_{r}e^{iak_{1}}-B_{l}e^{-iak_{1}}\right)=ik_{0}\left(C_{r}e^{iak_{0}}-C_{l}e^{-iak_{0}}\right).}$$

ここで、状況を古典的な場合と比較すると有益である。どちらの場合も、粒子は障壁領域の外側では自由粒子のように振る舞う。エネルギーを持つ古典的な粒子${\displaystyle E}$障壁の高さよりも大きい${\displaystyle V_{0}}$常に障壁を通過し、${\displaystyle E<V_{0}}$障壁に衝突した場合、必ず反射されるだろう。

量子の場合を研究するために、次の状況を考えます。左側から障壁に入射する粒子（${\displaystyle A_{r}}$)それは反映されるかもしれない(${\displaystyle A_{l}}$）または伝達された（${\displaystyle C_{r}}$)

左側からの入射に対する反射と透過の振幅を求めるには、上記の式に代入します。${\displaystyle A_{r}=1}$（入射粒子）${\displaystyle A_{l}=r}$（反射）、${\displaystyle C_{l}=0}$（右側からの粒子は入射しない）、${\displaystyle C_{r}=t}$（伝送）。次に係数を消去します。${\displaystyle B_{l},B_{r}}$方程式から解いて${\displaystyle r}$そして${\displaystyle t}$。

結果は以下の通りです。

$${\displaystyle t={\frac {4k_{0}k_{1}e^{-ia(k_{0}-k_{1})}}{(k_{0}+k_{1})^{2}-e^{2iak_{1}}(k_{0}-k_{1})^{2}}}}$$$${\displaystyle r={\frac {(k_{0}^{2}-k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}{2ik_{0}k_{1}\cos(ak_{1})+(k_{0}^{2}+k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}}.}$$

モデルの鏡面対称性により、右側からの入射の振幅は左側からの入射の振幅と同じになります。これらの式は任意のエネルギーに対して成り立つことに注意してください。${\displaystyle E>0}$、${\displaystyle E\neq V_{0}}$。もし${\displaystyle E=V_{0}}$、それから${\displaystyle k_{1}=0}$つまり、これら二つの表現にはどちらも特異点が存在する。

上記の計算は、一見すると非現実的でほとんど役に立たないように思えるかもしれません。しかし、これは様々な実世界のシステムに適したモデルであることが証明されています。その一例として、2つの導電性材料間の界面が挙げられます。材料内部では、電子の運動は準自由であり、上記のハミルトニアンの運動項と有効質量によって記述できます。${\displaystyle m}$多くの場合、このような材料の表面は酸化物層で覆われていたり、その他の理由で理想的ではない。この薄い非導電性層は、上記のように障壁電位でモデル化することができる。電子は一方の材料から他方の材料へトンネル効果によって移動し、電流が発生する。

走査型トンネル顕微鏡（STM）の動作は、このトンネル効果に基づいています。この場合、障壁はSTMの探針と対象物との間の隙間によって生じます。トンネル電流は障壁の幅に指数関数的に依存するため、この装置は検査対象試料の高さの変化に非常に敏感です。

上記のモデルは一次元ですが、空間は三次元です。したがって、シュレーディンガー方程式は三次元で解く必要があります。一方、多くのシステムは一方向の座標に沿ってのみ変化し、他の方向には並進不変です。つまり、分離可能です。この場合、シュレーディンガー方程式は、波動関数に対する次のタイプの仮説によって、ここで考察するケースに簡略化できます。${\displaystyle \Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)}$。

障壁の別の関連モデルについては、有限ポテンシャル障壁の特殊な場合とみなせるデルタポテンシャル障壁（QM）を参照してください。この記事のすべての結果は、極限を取ることでデルタポテンシャル障壁に直接適用できます。${\displaystyle V_{0}\to \infty ,\;a\to 0}$維持しながら${\displaystyle V_{0}a=\lambda }$絶え間ない。

• モース/長距離ポテンシャル
• ステップ電位
• 有限ポテンシャル井戸

• グリフィス、デイビッド・J. (2004).量子力学入門（第2版） . プレンティス・ホール. ISBN 0-13-111892-7。
• コーエン・タンヌージ、クロード。ディウ、バーナード。ラロエ、フランク。他 。 （1996年）。量子力学。翻訳。スーザン・リード・ヘムリーによるフランス語より。ワイリー・インターサイエンス: ワイリー。231 ～233ページ。ISBN  978-0-471-56952-7。