行列要素（物理学）

物理学、特に量子摂動論において、行列要素はディラック記法を用いた修正ハミルトニアンの線形演算子を指します。実際には、異なる量子状態間の遷移確率を計算する目的で使用されるハミルトニアン演算子の行列要素を指します。

行列要素は、新しく修正されたハミルトニアン（つまり、摂動を受けていないハミルトニアンと相互作用ポテンシャルの線形重ね合わせ）が量子状態に与える影響を考慮します。

行列要素は原子物理学、核物理学、粒子物理学において重要です。

簡単に言えば、次の条件が満たされる場合、ハミルトニアンまたはその他の演算子/観測可能変数は、初期量子状態から最終量子状態への遷移を引き起こすと言えます。ここで、最後の行は、ある演算子によって引き起こされる遷移の確率振幅と、この情報をカプセル化する行列要素です。実際には、計算には、2 つの状態間の遷移に関する情報を提供する H 演算子の行列要素を見つけることが含まれます。この例は、ベータ崩壊遷移、ニュートリノなしの二重ベータ崩壊、二重ベータ崩壊などの原子核物理学で見ることができます。 ${\displaystyle |i\rangle}$${\displaystyle |f\rangle }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f|{\hat {H}}|i\rangle =M^{i,f}\neq 0\\|\langle f|{\hat {H}}|i\rangle |^{2}=|M^{i,f}|^{2},\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle M^{i,f}}$

次のハミルトニアン演算子によって表される、摂動を受けていない初期システムについて考えます。ここで、V はシステムの位置エネルギー、m は粒子の質量です。可分解の集合に対する波動関数のシュレーディンガー方程式を解くと、時間に依存しないシュレーディンガー方程式の次の固有方程式が得られます。ここで、上付き文字は摂動補正レベルを表します。0 は摂動を受けていないシステムを表し、n > 0 の任意の整数はシステムに対する補正レベルを表します (例:摂動による固有エネルギーへの 1 次補正を表します)。ハミルトニアン演算子の下付き文字は、ハミルトニアン行列が表される基底を示します。この場合、基底セットによって表されます。これにより、ハミルトニアンを対角行列形式にすることができ、対角要素はこの演算子の唯一の非ゼロ行列要素となります。 $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V,}$$${\displaystyle |\Psi \rangle }$$${\displaystyle {\hat {H}}_{\psi }^{(0)}|\psi _{n}^{0}\rangle =E_{n}^{0}|\psi _{n} ^{0}\rangle .}$$${\displaystyle E_{n}^{1}}$${\displaystyle \{|\psi _{n}^{0}\rangle |n\in \mathbb {N} \}}$

の固有状態の正規直交性により、非対角行列要素がゼロであることが容易にわかります。物理的には、ここでの行列要素は、非摂動ハミルトニアンによって支配される相互作用により、固有状態 n の粒子が固有状態 m に遷移する遷移確率振幅を表します。非摂動ハミルトニアン システムではこれらの固有状態は分離されているため、このような遷移は発生しません。数学的には、すべての非対角要素が 0 であるため、上記の期待値によって計算される行列要素は常に 0 を返します。 ${\displaystyle \langle \psi _{m}^{0}|\psi _{n}^{0}\rangle =\delta _{nm}}$$${\displaystyle \langle \psi _{m}^{0}|{\hat {H}}_{\psi }^{0}|\psi _{n}^{0}\rangle =E_{m} \デルタ _{nm}.}$$${\displaystyle {\hat {H}}_{\psi }^{(0)}}$

新しい相互作用ハミルトニアンまたは摂動ハミルトニアン を線形追加してシステムを摂動すると、新しいハミルトニアンは次の形式になります。ここで、 は摂動の強度を表し、0 から 1 までの値をとります。この新しい相互作用ハミルトニアンは、非ゼロの非対角要素 V' を持つ場合があり、したがって、上記と同じ計算を行列要素に対して行うと、次のようになります。この結果は、摂動を加えていないハミルトニアンに摂動を加えると、固有状態が相互に遷移する確率がゼロではないことを示しています。この例として、水素原子の電子波動関数とヘリウムの電子が挙げられます。電子波動関数の固有状態を摂動されていないハミルトニアンで表すことができる場合、- ポテンシャルエネルギーは陽子と電子の相互作用を表します。ヘリウム原子のハミルトニアンは、水素のハミルトニアンのようになりますが、ヘリウムは水素よりも電子が 1 つ多いため、新しい電子間相互作用を表す追加の項が追加されます。実際、この電子間相互作用は、新しい相互作用項で簡潔に表すことができます。初期の水素システムへのこの追加のエネルギー摂動 (新しい電子の追加) により、電磁相互作用によって電子間の結合が発生するため、固有状態が遷移します。 ${\displaystyle {\hat {H}}^{int}}$$${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{\psi }^{(0)}+\lambda {\hat {H}}^{int},}$$${\displaystyle \lambda}$$${\displaystyle \langle \psi _{m}^{0}|{\hat {H}}^{int}|\psi _{n}^{0}\rangle =V'.}$$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\hat {H}}^{int}=V'}$

このため、相互作用ハミルトニアンの行列要素を計算することは、さまざまな原子元素や核種の粒子のエネルギー レベルと波動関数を見つけるために非常に重要です。この多体ハミルトニアンの問題は、周期表の他の元素に進むにつれて、より多くの電子、陽子、中性子が追加され、非常に複雑になります。

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