上図：正弦 関数を隠した100個の乱数系列のグラフ。下図：相関図 は、x軸上の各ラグに対して、y軸上に系列の自己相関関数（ACF）をプロットしたものです。ピークは、系列が自己相関の高いラグで発生します。ラグ0の最初のピークの右側にあるピークは、系列の周期性を示しており、隠された正弦関数の周期を推定するのに役立ちます。畳み込み、相互相関 、自己相関の視覚的比較。関数 f を含む演算では、f の高さが 1.0 であると仮定すると、5 つの異なる点での結果の値は、各点の下の網掛け領域で示されます。また、f の対称性は、g * f {\displaystyle g*f} f ⋆ g {\displaystyle f\star g} 自己相関（ 離散時間 の場合、シリアル相関 とも呼ばれる）は、信号 とそれ自身の遅延コピーとの相関 を測定するものです。本質的には、ランダム変数の定義 域 （一般的には時間 ）内の異なる時点における観測値間の類似性を定量化します。自己相関の分析は、ノイズ によって隠された信号内の繰り返しパターンや隠れた周期性を特定するための数学的ツールです。自己相関は 、信号処理 、時間領域 、時系列分析 において、データの時間経過に伴う挙動を理解するために広く用いられています。
研究分野によって自己相関の定義は異なり、それらの定義はすべて同等ではありません。一部の分野では、自己相関という用語は自己共分散 と互換的に使用されます。
さまざまな時系列モデルには、単位根 過程、トレンド定常過程 、自己回帰過程 、移動平均過程 など、自己相関が組み込まれています。
確率過程の自己相関 統計学 において、実数または複素数の確率過程の自己相関とは、異なる時点における過程の値間の ピアソン相関 係数であり、2つの時点または時間差の関数として表される。{ X t } {\displaystyle \left\{X_{t}\right\}} X t {\displaystyle X_{t}} t {\displaystyle t} t {\displaystyle t} （離散時間 プロセスの場合は整数、 連続時間 プロセスの場合は実数 となる。）次に、時間間の自己相関関数 の定義は次のようになる。t 1 t1 t 2 t2 1 ] : 388 [ 2 ] : 165
R X X （ t 1 、 t 2 ） = E [ X t 1 X ¯ t 2 ] {\displaystyle \operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} \left[X_{t_{1}}{\overline {X}}_{t_{2}}\right]}
どこE {\displaystyle \operatorname {E} } は期待値 演算子であり、バーは複素共役 を表します。期待値は必ずしも明確に定義され ない場合があることに注意してください。
プロセスが平均を持っていると仮定します μ t \displaystyle \mu _{t}} 分散 σ t 2 \displaystyle \sigma _{t}^{2}} t {\displaystyle t} t {\displaystyle t} 自己共分散関数が得られます。 t 1 t1 t 2 t2 [ 1 ] : [ 2 ] :
K X X （ t 1 、 t 2 ） = E [ （ X t 1 − μ t 1 ） （ X t 2 − μ t 2 ） ¯ ] = E [ X t 1 X ¯ t 2 ] − μ t 1 μ ¯ t 2 = R X X （ t 1 、 t 2 ） − μ t 1 μ ¯ t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})&=\operatorname {E} \left[(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}){\overline {(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})}}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X_{t_{1}}{\overline {X}}_{t_{2}}\right]-\mu _{t_{1}}{\overline {\mu }}_{t_{2}}\\&=\operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})-\mu _{t_{1}}{\overline {\mu }}_{t_{2}}\end{aligned}}}
この式は、すべての時系列やプロセスに対して適切に定義されているわけではないことに注意してください。なぜなら、平均が存在しない場合や、分散がゼロ（定数プロセスの場合）または無限大（特定の種類のべき乗則 など、適切なモーメントを持たない分布を持つプロセスの場合）になる可能性があるからです。
広義定常確率過程の定義 もし{ X t } {\displaystyle \left\{X_{t}\right\}} が広義の定常過程 である場合、平均μ {\displaystyle \mu } σ 2 \displaystyle \sigma ^{2}} t 1 t1 t 2 t2 偶関数となることを意味する。 τ = t 2 − t 1 \displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}} これにより、自己相関関数 のより馴染みのある形式が得られます[ 1 ] ：
R X X （ τ ） = E [ X t + τ X ¯ t ] {\displaystyle \operatorname {R} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} \left[X_{t+\tau }{\overline {X}}_{t}\right]}
そして自己共分散関数 ：
K X X （ τ ） = E [ （ X t + τ − μ ） （ X t − μ ） ¯ ] = E [ X t + τ X ¯ t ] − μ μ ¯ = R X X （ τ ） − μ μ ¯ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{XX}(\tau )&=\operatorname {E} \left[(X_{t+\tau }-\mu ){\overline {(X_{t}-\mu )}}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X_{t+\tau }{\overline {X}}_{t}\right]-\mu {\overline {\mu }}\\&=\operatorname {R} _{XX}(\tau )-\mu {\overline {\mu }}\end{aligned}}}
特に、以下の点に注意してください。
K X X （ 0 ） = σ 2 。 \displaystyle \operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}.}
正規化 統計学や時系列分析 などの一部の分野では、自己共分散関数を正規化して時間依存のピアソン相関係数 を得るのが一般的です。しかし、工学などの他の分野では、通常、正規化は行われず、「自己相関」と「自己共分散」という用語は同義語として使用されます。
確率過程の自己相関係数の定義は[ 2 ] ：
ρ X X （ t 1 、 t 2 ） = K X X （ t 1 、 t 2 ） σ t 1 σ t 2 = E [ （ X t 1 − μ t 1 ） （ X t 2 − μ t 2 ） ¯ ] σ t 1 σ t 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{XX}(t_{1},t_{2})&={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}\\&={\frac {\operatorname {E} \left[\left(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}\right){\overline {\left(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}}\right)}}\right]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}.\end{aligned}}}
関数がρ X X {\displaystyle \rho _{XX}} [ − 1 、 1 ] {\displaystyle [-1,1]} 1は完全な相関関係、-1は完全な反相関関係 を示す。
広義定常 （WSS）過程の定義は
ρ X X （ τ ） = K X X （ τ ） σ 2 = E [ （ X t + τ − μ ） （ X t − μ ） ¯ ] σ 2 。 {\displaystyle \rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X_{t+\tau }-\mu ){\overline {(X_{t}-\mu )}}\right]}{\sigma ^{2}}}.}
正規化は、自己相関を相関として解釈することで統計的依存性 の強さをスケールフリーな尺度で表すことができるという点と、正規化が推定された自己相関の統計的特性に影響を与えるという点の両方において重要である。
物件
対称性 自己相関関数がR X X {\displaystyle \operatorname {R} _{XX}} 偶関数 は次のように表すことができます[ 2 ] ： R X X （ t 1 、 t 2 ） = R X X （ t 2 、 t 1 ） ¯ {\displaystyle \operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {R} _{XX}(t_{2},t_{1})}}} [ 2 ] ： R X X （ τ ） = R X X （ − τ ） ¯ 。 {\displaystyle \operatorname {R} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {R} _{XX}(-\tau )}}.}
ゼロで最大 WSSプロセスの場合：[ 2 ] ： | R X X （ τ ） | ≤ R X X （ 0 ） {\displaystyle \left|\operatorname {R} _{XX}(\tau )\right|\leq \operatorname {R} _{XX}(0)} R X X （ 0 ） {\displaystyle \operatorname {R} _{XX}(0)}
コーシー・シュワルツの不等式 、確率過程の不等式：[ 1 ] ： | R X X （ t 1 、 t 2 ） | 2 ≤ E [ | X t 1 | 2 ] E [ | X t 2 | 2 ] {\displaystyle \left|\operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})\right|^{2}\leq \operatorname {E} \left[|X_{t_{1}}|^{2}\right]\operatorname {E} \left[|X_{t_{2}}|^{2}\right]}
ホワイトノイズの自己相関 連続時間白色雑音 信号の自己相関は、次の点で強いピーク（ディラックのデルタ関数 で表される）を持つ。τ = 0 {\displaystyle \tau =0} 0 {\displaystyle 0} τ {\displaystyle \tau }
ウィーナー・ヒンチン定理は 自己相関関数を関連付けるR X X {\displaystyle \operatorname {R} _{XX}} パワースペクトル密度 へS X X {\displaystyle S_{XX}} フーリエ変換を 介して：
R X X （ τ ） = ∫ − ∞ ∞ S X X （ ω ） e 私 ω τ d ω S X X （ ω ） = ∫ − ∞ ∞ R X X （ τ ） e − 私 ω τ d τ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {R} _{XX}(\tau )&=\int _{-\infty }^{\infty }S_{XX}(\omega )e^{i\omega \tau }\,{\rm {d}}\omega \\[1ex]S_{XX}(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {R} _{XX}(\tau )e^{-i\omega \tau }\,{\rm {d}}\tau .\end{aligned}}}
実数値関数の場合、対称自己相関関数は実対称変換を持つため、ウィーナー・ヒンチン定理は 実コサインのみを用いて再表現できる。
R X X （ τ ） = ∫ − ∞ ∞ S X X （ ω ） コス （ ω τ ） d ω S X X （ ω ） = ∫ − ∞ ∞ R X X （ τ ） コス （ ω τ ） d τ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {R} _{XX}(\tau )&=\int _{-\infty }^{\infty }S_{XX}(\omega )\cos(\omega \tau )\,{\rm {d}}\omega \\[1ex]S_{XX}(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {R} _{XX}(\tau )\cos(\omega \tau )\,{\rm {d}}\tau .\end{aligned}}}
決定論的信号の自己相関 信号処理 では、上記の定義は正規化なし、つまり平均を減算して分散で割らずに使用されることが多い。自己相関関数が平均と分散で正規化されている場合、自己相関係数 [ 4 ]
離散時間信号の自己相関 離散自己相関R {\displaystyle R} ℓ {\displaystyle \ell } y （ n ） {\displaystyle y(n)}
R y y （ ℓ ） = ∑ n ∈ Z y （ n ） y （ n − ℓ ） ¯ {\displaystyle R_{yy}(\ell )=\sum _{n\in Z}y(n)\,{\overline {y(n-\ell )}}}
上記の定義は、二乗可積分または二乗和可能、すなわち有限エネルギーの信号に適用されます。「永遠に続く」信号は、代わりにランダム過程として扱われ、その場合は期待値に基づいた異なる定義が必要となります。広義定常ランダム過程 の場合、自己相関は次のように定義されます。
R f f （ τ ） = E [ f （ t ） f （ t − τ ） ¯ ] R y y （ ℓ ） = E [ y （ n ） y （ n − ℓ ） ¯ ] 。 {\displaystyle {\begin{aligned}R_{ff}(\tau )&=\operatorname {E} \left[f(t){\overline {f(t-\tau )}}\right]\\R_{yy}(\ell )&=\operatorname {E} \left[y(n)\,{\overline {y(n-\ell )}}\right].\end{aligned}}}
定常 でないプロセスの場合、これらも以下の関数になります。t {\displaystyle t} n {\displaystyle n}
エルゴード的 でもあるプロセスの場合、期待値は時間平均の極限に置き換えることができます。エルゴード的プロセスの自己相関は、次のように定義されるか、または次のように等しいとされます[ 4 ] 。
R f f （ τ ） = リム T → ∞ 1 T ∫ 0 T f （ t + τ ） f （ t ） ¯ d t R y y （ ℓ ） = リム N → ∞ 1 N ∑ n = 0 N − 1 y （ n ） y （ n − ℓ ） ¯ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}R_{ff}(\tau )&=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t+\tau ){\overline {f(t)}}\,{\rm {d}}t\\R_{yy}(\ell )&=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}y(n)\,{\overline {y(n-\ell )}}.\end{aligned}}}
これらの定義の利点は、周期関数が定常エルゴード過程の出力ではない場合でも、それらの関数に対して合理的で明確な単一パラメータの結果を与えることである。
あるいは、永久に続く 信号は、有限時間積分を用いた短時間自己相関関数解析によって処理することができる。（関連する処理については、短時間フーリエ変換を参照のこと。）
多次元自己相関 多次元自己相関も同様に定義されます。例えば、3次元 の場合、二乗和可能な離散信号 の自己相関は次のようになります。
R （ j 、 k 、 ℓ ） = ∑ n 、 q 、 r x n 、 q 、 r x ¯ n − j 、 q − k 、 r − ℓ 。 {\displaystyle R(j,k,\ell )=\sum _{n,q,r}x_{n,q,r}\,{\overline {x}}_{n-j,q-k,r-\ell }.}
自己相関関数を計算する前に信号から平均値を差し引くと、結果として得られる関数は通常、自己共分散関数と呼ばれます。
効率的な計算 離散 シーケンスとして表現されたデータの場合、高い計算効率 で自己相関を計算する必要が生じることが多い。信号処理の定義に基づく総当たり法 R x x （ j ） = ∑ n x n x ¯ n − j {\textstyle R_{xx}(j)=\sum _{n}x_{n}\,{\overline {x}}_{n-j}} x = （ 2 、 3 、 − 1 ） {\displaystyle x=(2,3,-1)} x 0 = 2 、 x 1 = 3 、 x 2 = − 1 {\displaystyle x_{0}=2,x_{1}=3,x_{2}=-1} x 私 = 0 {\displaystyle x_{i}=0} i の他のすべての値については、手作業で、まず、先ほど定義した式が「通常の」乗算と同じであることを認識します。ただし、右シフトがあり、各垂直加算によって特定のラグ値の自己相関が得られます。 2 3 − 1 × 2 3 − 1 − 2 − 3 1 6 9 − 3 + 4 6 − 2 − 2 3 14 3 − 2 {\displaystyle {\begin{array}{rrrrrr}&2&3&-1\\\times &2&3&-1\\\hline &-2&-3&1\\&&6&9&-3\\+&&&4&6&-2\\\hline &-2&3&14&3&-2\end{array}}}
したがって、必要な自己相関系列は次のようになる。R x x = （ − 2 、 3 、 14 、 3 、 − 2 ） {\displaystyle R_{xx}=(-2,3,14,3,-2)} R x x （ 0 ） = 14 、 {\displaystyle R_{xx}(0)=14,} R x x （ − 1 ） = R x x （ 1 ） = 3 、 {\displaystyle R_{xx}(-1)=R_{xx}(1)=3,} R x x （ − 2 ） = R x x （ 2 ） = − 2 、 {\displaystyle R_{xx}(-2)=R_{xx}(2)=-2,} x = （ … 、 2 、 3 、 − 1 、 2 、 3 、 − 1 、 … ） 、 {\displaystyle x=(\ldots ,2,3,-1,2,3,-1,\ldots ),} すると、円形自己相関（円形畳み込み に類似）が得られ、前の自己相関シーケンスの左端と右端が重なり、R x x = （ … 、 14 、 1 、 1 、 14 、 1 、 1 、 … ） {\displaystyle R_{xx}=(\ldots ,14,1,1,14,1,1,\ldots )} x 。 {\displaystyle x.} Z変換 の畳み込み特性を応用したものと考えることができる。
総当たりアルゴリズムはn 2 の オーダーですが、 n log( n ) のオーダーで自己相関を計算できる効率的なアルゴリズムがいくつかあります。たとえば、ウィーナー・ヒンチン定理では 、2 つの高速フーリエ変換 (FFT)を使用して生データX ( t )から自己相関を計算できます。 [ 6 ]
F R （ f ） = FFT [ X （ t ） ] S （ f ） = F R （ f ） F R * （ f ） R （ τ ） = IFFT [ S （ f ） ] {\displaystyle {\begin{aligned}F_{R}(f)&=\operatorname {FFT} [X(t)]\\S(f)&=F_{R}(f)F_{R}^{*}(f)\\R(\tau )&=\operatorname {IFFT} [S(f)]\end{aligned}}}
ここで、IFFTは逆高速フーリエ変換を 表します。アスタリスクは複素共役 を表します。
あるいは、τ の 値が小さい場合は総当たり計算を使用し、次にX ( t ) データを対数密度で段階的にビン化してより高い値を計算すると、複数の τ 相関を実行できます。これにより、同じn log( n ) の効率が得られますが、メモリ要件は少なくなります。[ 7 ] [ 8 ]
推定 平均と分散が既知の離散 プロセスについて、我々はそれを観測する。n {\displaystyle n} { X 1 、 X 2 、 … 、 X n } {\displaystyle \{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n}\}}
R ^ （ k ） = 1 （ n − k ） σ 2 ∑ t = 1 n − k （ X t − μ ） （ X t + k − μ ） {\displaystyle {\hat {R}}(k)={\frac {1}{(n-k)\sigma ^{2}}}\sum _{t=1}^{n-k}(X_{t}-\mu )(X_{t+k}-\mu )}
任意の正の整数に対してk < n {\displaystyle k<n} μ {\displaystyle \mu } σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} 不偏 分散が不明な場合は、いくつかの可能性が考えられます。
もしμ {\displaystyle \mu } σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} 偏りのある推定値に 周期図 に基づく推定値はn − k {\displaystyle n-k} n {\displaystyle n} 平均二乗誤差 が小さくなります。[ 9 ] [ 10 ] その他の可能性は、データの2つの部分を扱うことから生じる。{ X 1 、 X 2 、 … 、 X n − k } {\displaystyle \{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n-k}\}} { X k + 1 、 X k + 2 、 … 、 X n } {\displaystyle \{X_{k+1},\,X_{k+2},\,\ldots ,\,X_{n}\}} 最後のタイプの推定値の利点は、推定された自己相関のセットが、k {\displaystyle k} X {\displaystyle X} [ 11 ]
時系列分析において、ハッサーニの−1/2定理は、 標本自己相関関数 （ACF）の従来の推定量に関する有限標本恒等式である。長さの時系列の場合T ≥ 2 {\displaystyle T\geq 2} ρ ^ （ h ） {\displaystyle {\hat {\rho }}(h)} [ 12 ]
∑ h = 1 T − 1 ρ ^ （ h ） = − 1 2 。 {\displaystyle \sum _{h=1}^{T-1}{\hat {\rho }}(h)=-{\tfrac {1}{2}}.}
この恒等式は、標本自己共分散が標本平均を差し引いた後に計算されるという事実から導かれる。結果として、中心化された観測値の合計はゼロとなり、標本自己相関の全体集合に代数的な制約が課される。したがって、この定理は、基礎となる確率過程の性質ではなく、推定量と有限標本の性質である。
この結果は、ラグ間の標本自己相関が独立ではないことを示唆している。また、すべての正のラグにわたって合計した場合、標本自己相関は全体として正にはなり得ないことも示している。このことから、推定された自己相関の合計を、完全なラグの合計が固定されているため、総依存性、持続性、または長期記憶挙動の直接的な尺度として解釈することには注意が必要である。− 1 / 2 {\displaystyle -1/2} [ 12 ] [ 13 ]
この定理は、時系列分析における診断チェックとモデル選択に関連して議論されてきた。特に、後の研究では、Ljung–Box統計量を含む標本自己相関に基づく検定、および短期記憶過程と長期記憶過程における経験的ACFパターンの解釈に対するその意味が検討されている。[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]
この定理は、標準的な標本平均補正ACF推定量に適用されます。これは、モデルとそのパラメータによって変化する可能性のある、基礎となるプロセスの理論的な自己相関関数の合計に関する記述と混同してはなりません。[ 13 ]
回帰分析 時系列データ を用いた回帰分析 では、対象となる変数の自己相関は、通常、自己回帰モデル （AR）、移動平均モデル （MA）、それらを組み合わせた自己回帰移動平均モデル （ARMA）、または後者の拡張である自己回帰積分移動平均モデル （ARIMA）のいずれかでモデル化されます。複数の相互に関連するデータ系列の場合、ベクトル自己回帰 （VAR）またはその拡張が使用されます。
最小二乗法 (OLS)では、回帰残差 の自己相関の有無を調べることで、モデル仕様の妥当性を部分的に確認できます。観測できない誤差の自己相関が問題となる場合、観測可能な残差に自己相関が生じるため、一般的に検出できます。(誤差は計量経済学 では「誤差項」とも呼ばれます。) 誤差の自己相関は、誤差項が無相関であるという最小二乗法の仮定に違反するため、ガウス・マルコフ定理が 適用されず、OLS 推定量はもはや最良線形不偏推定量 ( BLUE ) ではなくなります。低ラグにおける誤差の自己相関が正の場合、OLS 係数推定値にバイアスは生じませんが、標準誤差 は過小評価され ( t 値は 過大評価される) 傾向があります。
一次自己相関の存在を検定する従来の方法は、ダービン・ワトソン統計量 、または説明変数にラグ付き従属変数が含まれる場合はダービンの h 統計量 です。ただし、ダービン・ワトソンは、値とそのラグ間のピアソン相関に線形にマッピングできます。[ 17 ] ブルッシュ・ゴッドフリー検定 です。これは、補助回帰を含み、関心のあるモデルを推定して得られた残差を (a) 元の回帰変数と (b)残差のk ラグに回帰します。ここで、「k」は検定の次数です。この補助回帰からの検定統計量の最も単純なバージョンは TR 2 で、T はサンプルサイズ、R 2は 決定係数 です。自己相関がないという帰無仮説 の下では、この統計量は漸近的に次のように分布します。χ 2 {\displaystyle \chi ^{2}} k個 の自由度を持つ。
非ゼロ自己相関への対応策としては、一般化最小二乗法 やニューイ・ウェストHAC推定量 （異分散性と自己相関に一貫性のある推定量）などがある。[ 18 ]
移動平均モデル （MA）の推定では、自己相関関数を用いて、含めるべき適切なラグ付き誤差項の数を決定します。これは、次数q の MA プロセスの場合、次の式が成り立つという事実に基づいています。R （ τ ） ≠ 0 {\displaystyle R(\tau )\neq 0} τ = 0 、 1 、 … 、 q {\displaystyle \tau =0,1,\ldots ,q} R （ τ ） = 0 {\displaystyle R(\tau )=0} τ > q {\displaystyle \tau >q}
アプリケーション 自己相関はデータ 内の繰り返しパターンを見つける能力があり、以下のような多くの応用例があります。
直列依存性 系列依存性 は自己相関の概念と密接に関連していますが、異なる概念です（「相関と依存性 」を参照）。特に、系列依存性は存在するものの、（線形）相関が存在しない場合もあります。ただし、分野によっては、これら2つの用語が同義語として用いられることもあります。
確率変数 の時 系列は 、ある時点での値がt {\displaystyle t} 統計的に依存している。 s {\displaystyle s}
時系列データ{ X t } {\displaystyle \left\{X_{t}\right\}} 定常 であれば、ペア間の統計的依存性は（ X t 、 X s ） {\displaystyle (X_{t},X_{s})} τ = s − t {\displaystyle \tau =s-t}
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![{\displaystyle \operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} \left[X_{t_{1}}{\overline {X}}_{t_{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84a9862bb3aaaa68d29f45a6cc77b4b0d0e3460)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})&=\operatorname {E} \left[(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}){\overline {(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})}}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X_{t_{1}}{\overline {X}}_{t_{2}}\right]-\mu _{t_{1}}{\overline {\mu }}_{t_{2}}\\&=\operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})-\mu _{t_{1}}{\overline {\mu }}_{t_{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/800692489128f13785cc8d1fcf1721847d720472)
![{\displaystyle \operatorname {R} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} \left[X_{t+\tau }{\overline {X}}_{t}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/830d6f1ea7cb62d6790d77b5a04877e3613d2692)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{XX}(\tau )&=\operatorname {E} \left[(X_{t+\tau }-\mu ){\overline {(X_{t}-\mu )}}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X_{t+\tau }{\overline {X}}_{t}\right]-\mu {\overline {\mu }}\\&=\operatorname {R} _{XX}(\tau )-\mu {\overline {\mu }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/006d0e00de99565689fcf1e67dce19ce28d3d18b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{XX}(t_{1},t_{2})&={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}\\&={\frac {\operatorname {E} \left[\left(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}\right){\overline {\left(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}}\right)}}\right]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/531673cb028a280efae62218073f13cee52a5d57)
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle \rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X_{t+\tau }-\mu ){\overline {(X_{t}-\mu )}}\right]}{\sigma ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e6fea875ae595079538c89a12bbb1ed3b1ae2e8)
![\displaystyle \left|\operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})\right|^{2}\leq \operatorname {E} \left[|X_{t_{1}}|^{2}\right]\operatorname {E} \left[|X_{t_{2}}|^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00682241c888f821066dbada50a6de92cee5b2da)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {R} _{XX}(\tau )&=\int _{-\infty }^{\infty }S_{XX}(\omega )e^{i\omega \tau }\,{\rm {d}}\omega \\[1ex]S_{XX}(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {R} _{XX}(\tau )e^{-i\omega \tau }\,{\rm {d}}\tau .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d65a428fe02bafd8b6159b83e3916e0afa1717d5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {R} _{XX}(\tau )&=\int _{-\infty }^{\infty }S_{XX}(\omega )\cos(\omega \tau )\,{\rm {d}}\omega \\[1ex]S_{XX}(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {R} _{XX}(\tau )\cos(\omega \tau )\,{\rm {d}}\tau .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9de8b8861c6384edfde04f164037369f85161416)
![{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\triangleq \ \operatorname {E} \left[\mathbf {X} \mathbf {X} ^{\rm {T}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd4b50b7462ceb819a9f913fea12361b9b2a20d1)
![{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}X_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}X_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{n}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{n}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{n}X_{n}]\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e0c88223ec43ff8bee025ec9ccfa99d8358036)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}X_{j}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27fa4ebe0098de97ee434ad8822ecf345788517a)
![{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\rm {H}}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0d819f3a82b20386912c8e63bf5f0cccb9b698)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }&=\operatorname {E} \left[(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\rm {T}}\right]\\&=\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{\rm {T}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8af22f899c385d1422d3e71cbce42edfea520025)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }&=\operatorname {E} \left[(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])^{\rm {H}}\right]\\&=\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]^{\rm {H}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1003d3888b67af886b8e9c3c96ab6913b90f5754)
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{ff}(\tau )&=\operatorname {E} \left[f(t){\overline {f(t-\tau )}}\right]\\R_{yy}(\ell )&=\operatorname {E} \left[y(n)\,{\overline {y(n-\ell )}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca6241a9c2555cf79ca4684619d3197e317578e5)
![{\displaystyle [t_{0},t_{0}+T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42861c0e088bf0086b4c7ca5bbd5c05f5b625955)
![{\displaystyle {\begin{aligned}F_{R}(f)&=\operatorname {FFT} [X(t)]\\S(f)&=F_{R}(f)F_{R}^{*}(f)\\R(\tau )&=\operatorname {IFFT} [S(f)]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ba8c3c366062d1c22b4ad97968f52961a40e82)
