パターソン関数

パターソン関数は、 X線結晶学における位相問題を解決するために用いられる。これは、1935年にアーサー・リンド・パターソンがMITのバートラム・ユージン・ウォーレンの研究室に客員研究員として滞在していた際に導入された。^{[ 1 ] [ 2 ]}

パターソン関数は次のように定義される。

$${\displaystyle P(u,v,w)=\sum _{h,k,\ell \in \mathbb {Z} }\left|F_{h,k,\ell }\right|^{2}\;e^{-2\pi i(hu+kv+\ell w)}.}$$

これは本質的には構造因子ではなく強度のフーリエ変換である。パターソン関数は電子密度とその逆関数との畳み込みにも等しい。

${\displaystyle P\left({\vec {u}}\right)=\rho \left({\vec {r}}\right)*\rho \left(-{\vec {r}}\right).}$

さらに、 N点のパターソンマップには、中心 (原点) ピークと重なりを除いて、N ( N − 1) 個のピークがあります。

パターソン関数におけるピークの位置は原子間距離ベクトルであり、ピークの高さは関係する原子の電子数の積に比例する。

原子iとjの間の各ベクトルに対して、同じ長さで反対方向のベクトル (原子jとiの間) が存在するため、パターソン関数は常に中心対称性を持つ。

次式で与えられるデルタ関数の系列を考えてみよう。

${\displaystyle f(x)=\デルタ (x)+3\デルタ (x-2)+\デルタ (x-5)+3\デルタ (x-8)+5\デルタ (x-10).\,}$

パターソン関数は、次のデルタ関数と単位ステップ関数の系列で与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}P(u)={}&5\デルタ (u+10)+18\デルタ (u+8)+9\デルタ (u+6)+6\デルタ (u+5)+6\デルタ (u+3)\\&+18\デルタ (u+2)+45\デルタ (u)+18\デルタ (u-2)+6\デルタ(u-3)+6\デルタ (u-5)\\&+9\デルタ (u-6)+18\デルタ (u-8)+5\デルタ (u-10).\end{aligned}}}$

• 「構造的解像。パターソン関数とパターソン法」