t統計量

統計学において、t統計量とは、数値の推定値と想定値の差とその標準誤差の比率です。これは、スチューデントのt検定による仮説検定で使用されます。t統計量は、 t検定で帰無仮説を支持するか棄却するかを決定するために使用されます。これはz スコアと非常によく似ていますが、 t統計量はサンプル サイズが小さい場合や母集団の標準偏差が不明な場合に使用されるという違いがあります。たとえば、母集団の標準偏差が不明な場合に、 t統計量はサンプル平均の標本分布から母集団の平均を推定するのに使用されます。また、仮説検定を実行するときにp 値とともに使用され、p 値によって結果が発生する確率がわかります。

をある統計モデルにおけるパラメータβの推定量とする。このパラメータのt統計量は、次の形式の量である。 ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$

${\displaystyle t_{\hat {\beta }}={\frac {{\hat {\beta }}-\beta _{0}}{\operatorname {se} ({\hat {\beta }})}},}$

ここで、β _{0 は}非ランダムな既知の定数であり、実際の未知のパラメータ値βと一致する場合も一致しない場合もあります。また、βの推定値の標準誤差です。 ${\displaystyle \operatorname {se} ({\hat {\beta }})}$${\displaystyle {\hat {\beta }}}$

デフォルトでは、統計パッケージはβ ₀ = 0のt統計を報告します(これらのt統計は、対応する回帰変数の有意性をテストするために使用されます)。ただし、H ₀ : β = β ₀の形式の仮説をテストするためにt統計が必要な場合は、ゼロ以外のβ _{0 を}使用できます。

が古典的な線型回帰モデル（つまり、正規分布し等分散な誤差項を持つ）における通常の最小二乗推定量であり、パラメータβの真の値がβ ₀に等しい場合、t統計量の標本分布は自由度が( n − k )のスチューデントのt分布になります。ここで、 nは観測値の数、k は回帰変数の数（切片を含む）です^{[出典が必要]}。 ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$

ほとんどのモデルでは、推定量はβに対して一貫しており、漸近的に正規分布します。パラメータβの真の値がβ ₀に等しく、量がこの推定量の漸近分散を正しく推定する場合、t統計量は漸近的に標準正規分布になります。 ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$${\displaystyle \operatorname {se} ({\hat {\beta }})}$

一部のモデルでは、 t統計量の分布は、漸近的にも正規分布とは異なります。たとえば、単位根を持つ時系列が拡張ディッキー・フラー検定で回帰される場合、検定t統計量は漸近的にディッキー・フラー分布の 1 つを持ちます (検定設定によって異なります)。

t統計量は、統計的仮説検定の一種であるスチューデントのt検定や、特定の信頼区間の計算に最もよく使用されます。

t統計量の重要な特性は、それが極めて重要な量であるということです。つまり、標本平均によって定義される一方で、その標本分布は母集団パラメータに依存しないため、これらが何であっても使用することができます。

残差を標本標準偏差で割ることもできます。

${\displaystyle g(x,X)={\frac {x-{\overline {X}}}{s}}}$

与えられた標本が平均から何標準偏差離れているかの推定値を、母集団パラメータを必要とする z スコアの標本バージョンとして計算します。

平均と分散が不明な正規分布の場合、 n 回の観測を行った後の将来の観測のt統計量は補助統計量、つまり統計量（観測から計算される）である重要な量（ μとσ ²の値に依存しない）です。これにより、次の t 分布を介して 頻度主義予測区間（予測信頼区間）を計算できます。${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle X_{n+1},}$

${\displaystyle {\frac {X_{n+1}-{\overline {X}}_{n}}{s_{n}{\sqrt {1+n^{-1}}}}}\sim T^{n-1}.}$

を解くと予測分布が得られる。 ${\displaystyle X_{n+1}}$

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}+s_{n}{\sqrt {1+n^{-1}}}\cdot T^{n-1},}$

そこから予測信頼区間を計算できます。確率pが与えられた場合、次の観測値が 100 p % の確率でその区間内に入るような区間を計算できます。 ${\displaystyle X_{n+1}}$

「 t統計量」という用語は「仮説検定統計量」の略です。^{[1] [要出典]}統計学において、t分布は1876年にヘルメルト^{[2] [3] [4]}とリュロス[ 5] によって事後分布として初めて導き出されました。^{[6 ] [7] t分布は、}カール・ピアソンの1895年の論文でピアソンIV型分布としてより一般的な形でも登場しました。 ^[8]しかし、t分布はスチューデントのt分布としても知られ、その名前はウィリアム・シーリー・ゴセットに由来しています。彼は1908年に「平均値の誤差」（バイオメトリカ誌）という論文の中で、英語で初めてこの結果を発表しました。彼はペンネームの「スチューデント」を使用していました。[ ^{9] [10]}これは、彼の雇用主が、科学論文を発表する際にはスタッフに本名ではなくペンネームを使用することを望んだため、彼は身元を隠すために「スチューデント」という名前を使用したためです。^{[11]ゴセットは}アイルランドのダブリンにあるギネスビール醸造所で働いており、小さなサンプルの問題、たとえばサンプルサイズが3つしかない大麦の化学的性質の問題に興味を持っていました。したがって、「スチューデント」という用語の語源の2番目のバージョンは、ギネスが競合他社にt検定を使用して原材料の品質を判断していることを知られたくなかったというものです。 「スチューデント」という用語の由来はウィリアム・ゴセットであるが、この分布が「スチューデントの分布」^{[12] [13]}や「スチューデントのt検定」 として広く知られるようになったのは、実際にはロナルド・フィッシャーの研究によるものである。

• zスコア (標準化) : 母集団パラメータがわかっている場合は、 t 統計量を計算する代わりに、 z スコアを計算できます。同様に、 t検定を使用する代わりに、 z検定を使用します。これは標準化されたテスト以外ではまれです。
• スチューデント化残差:回帰分析では、異なるデータ ポイントでの推定値の標準誤差は異なります (単純な線形回帰の中間点と終点を比較してください)。そのため、異なる残差を異なる誤差推定値で割る必要があり、スチューデント化残差と呼ばれるものが生成されます。

• F検定
• t ²統計量
• スチューデントのT分布
• スチューデントのt検定
• 仮説検定
• 折り畳みt分布と半t分布
• カイ二乗分布