自己共分散

確率論と統計学では、確率過程が与えられた場合、自己共分散は、時点のペアにおける過程自体の共分散を与える関数です。自己共分散は、問題の過程の自己相関と密接に関連しています。

期待値演算子の通常の表記法を用いると、確率過程が平均関数を持つ場合、自己共分散は次のように表される^{[1] :p.162}${\displaystyle \operatorname {E} }$${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$${\displaystyle \mu _{t}=\operatorname {E} [X_{t}]}$

ここで、 と は時間における 2 つのインスタンスです。 ${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle t_{2}}$

が弱定常（WSS）過程である場合、以下が成り立つ：^{[1] ：p. 163}${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$

${\displaystyle \mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu }$全ての${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

そして

${\displaystyle \operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty }$全ての${\displaystyle t}$

そして

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1},0)\triangleq \operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1})=\operatorname {K} _{XX}(\tau ),}$

ここで、遅延時間、つまり信号がシフトされた時間の量です。 ${\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}$

したがって、WSSプロセスの自己共分散関数は次のように表される: ^{[2] : p. 517}

これは次の式と同等である。

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{t+\tau })(X_{t}-\mu _{t})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }X_{t}]-\mu ^{2}}$。

一部の分野 (統計学や時系列分析など) では、自己共分散関数を正規化して時間依存のピアソン相関係数を取得するのが一般的です。ただし、他の分野 (工学など) では通常、正規化は省略され、「自己相関」と「自己共分散」という用語は同じ意味で使用されます。

確率過程の正規化された自己相関の定義は

${\displaystyle \rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}}$。

関数が明確に定義されている場合、その値は の範囲内にある必要があり、1 は完全な相関を示し、-1 は完全な反相関を示します。 ${\displaystyle \rho _{XX}}$${\displaystyle [-1,1]}$

WSSプロセスの場合、定義は

${\displaystyle \rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t}-\mu )(X_{t+\tau }-\mu )]}{\sigma ^{2}}}}$。

どこ

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}}$。

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {K} _{XX}(t_{2},t_{1})}}}$^{[3] : p.169}

それぞれWSSプロセスの場合:

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {K} _{XX}(-\tau )}}}$^{[3] : p.173}

線形フィルタリングプロセスの自己共分散${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}X_{t+k}\,}$

は

${\displaystyle K_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\infty }^{\infty }a_{k}a_{l}K_{XX}(\tau +k-l).\,}$

自己共分散は乱流拡散率を計算するために使用できます。^[4]流れの乱流は、空間と時間における速度の変動を引き起こす可能性があります。したがって、これらの変動の統計を通じて乱流を特定することができます^[要出典]。

レイノルズ分解は速度変動を定義するために使用されます(現在 1D の問題を扱っており、 は 方向に沿った速度であると仮定します)。 ${\displaystyle u'(x,t)}$${\displaystyle U(x,t)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle U(x,t)=\langle U(x,t)\rangle +u'(x,t),}$

ここで、 は真の速度、 は速度 の期待値です。正しい を選択すると、乱流速度のすべての確率的成分が に含まれます。 を決定するには、空間内の点、時間内の瞬間、または繰り返しの実験から集められた一連の速度測定値が必要です。 ${\displaystyle U(x,t)}$${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$${\displaystyle u'(x,t)}$${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$

乱流フラックス（、cは濃度項）がランダムウォークによって発生すると仮定すると、フィックの拡散法則を使用して乱流フラックス項を次のように表すことができます。 ${\displaystyle \langle u'c'\rangle }$${\displaystyle c'=c-\langle c\rangle }$

${\displaystyle J_{{\text{turbulence}}_{x}}=\langle u'c'\rangle \approx D_{T_{x}}{\frac {\partial \langle c\rangle }{\partial x}}.}$

速度の自己共分散は次のように定義される。

${\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\rangle }$または${\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\rangle ,}$

ここで、は遅延時間、は遅延距離です。 ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle r}$

乱流拡散率は、次の 3 つの方法で計算できます。 ${\displaystyle D_{T_{x}}}$

• 自己回帰過程
• 相関
• 相互共分散
• 相互相関
• ノイズ共分散推定（応用例として）

• Hoel, PG (1984)。『数理統計学』（第 5 版）。ニューヨーク: Wiley。ISBN 978-0-471-89045-4。
• WHOI による自己共変性に関する講義ノート