移動平均モデル

時系列分析において、移動平均モデル（MAモデル）、または移動平均プロセスと呼ばれるものは、単変量時系列をモデル化するための標準的なアプローチである。^{[ 1 ] [ 2 ]}

移動平均モデルは、時系列の現在の値を、有限のラグ長を持つ現在および過去のランダムショック（誤差項）の線形関数として表現します。変数を過去の値に回帰させる自己回帰モデルとは対照的に、移動平均モデルは誤差項の依存構造のみに依存します。

移動平均モデルは、自己回帰（AR）モデルとともに、より複雑な確率構造を持つ時系列のより一般的なARMAおよびARIMAモデルの特殊なケースであり、重要な構成要素です^{[ 3 ]}。ARモデルとは異なり、有限MAモデルは常に定常です。

移動平均モデルは、いくつかの類似点はあるものの、異なる概念である移動平均と混同してはならない。 ^{[ 4 ]}

MA( q )という表記は、次数qの移動平均モデルを表します。

${\displaystyle X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\theta _{1}\varepsilon _{t-1}+\cdots +\theta _{q}\varepsilon _{tq}=\mu +\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{ti}+\varepsilon _{t},}$

どこ${\displaystyle \mu }$は系列の平均であり、${\displaystyle \theta _{1},...,\theta _{q}}$はモデルの係数であり、${\displaystyle \varepsilon _{t},\varepsilon _{t-1},...,\varepsilon _{tq}}$は誤差項です。qの値は MA モデルの次数と呼ばれます。これはバックシフト演算子Bを用いて次のように表すことができます^{[ 5 ]}

${\displaystyle X_{t}=\mu +(1+\theta _{1}B+\cdots +\theta _{q}B^{q})\varepsilon _{t}.}$

したがって、移動平均モデルは概念的には、系列の現在の値を、現在および過去の（観測された）白色ノイズ誤差項またはランダムショックに対して線形回帰したものです。各時点におけるランダムショックは互いに独立しており、同じ分布（通常は正規分布）から発生し、位置はゼロでスケールは一定であると仮定されます。

移動平均モデルは、本質的にはホワイトノイズに適用される有限インパルス応答フィルタであり、いくつかの追加的な解釈が加えられています。MA モデルにおけるランダムショックの役割は、自己回帰 (AR) モデルにおける役割と2 つの点で異なります。まず、それらは時系列の将来の値に直接伝播されます。たとえば、${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$の等式の右辺に直接現れる${\displaystyle X_{t}}$対照的に、ARモデルでは${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$右側には表示されません${\displaystyle X_{t}}$方程式の右側に現れるが、${\displaystyle X_{t-1}}$方程式、そして${\displaystyle X_{t-1}}$右側に現れる${\displaystyle X_{t}}$方程式は、間接的な効果のみを与える${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$の上${\displaystyle X_{t}}$第二に、MAモデルではショックが${\displaystyle X}$値は現在の期間と将来のq期間のみに適用されます。対照的に、AR モデルではショックが影響します。${\displaystyle X}$無限に遠い未来の価値、なぜなら${\displaystyle \varepsilon _{t}}$影響する${\displaystyle X_{t}}$これは、${\displaystyle X_{t+1}}$これは、${\displaystyle X_{t+2}}$などなど、永遠に続きます（インパルス応答を参照）。

移動平均モデルの適合は、一般的に自己回帰モデルの適合よりも複雑です。^{[ 6 ]}これは、ラグ付き誤差項が観測できないためです。つまり、線形最小二乗法の代わりに反復非線形適合手順を使用する必要があります。移動平均モデルは過去のホワイトノイズ項の線形結合ですが、自己回帰モデルは過去の時系列値の線形結合です。^{[ 7 ]} ARMA モデルは、自己回帰と移動平均の両方の要素を組み合わせるため、純粋な AR モデルや MA モデルよりも複雑です。^{[ 6 ]}

MA( q )過程の自己相関関数( ACF)は、ラグq +1以上ではゼロになります。したがって、推定に適した最大ラグは、標本自己相関関数を調べて、ある特定のラグ（最大ラグqと指定される）を超えるすべてのラグでゼロと有意に異ならなくなる点を確認することによって決定します。

自己相関関数（ACF）と偏自己相関関数（PACF）によっては、MAモデルの方がより良いモデル選択であると示唆される場合もあれば、AR項とMA項の両方を同じモデルで使用すべきである場合もある（Box–Jenkins法を参照）。

自己回帰和分移動平均（ARIMA）モデルは、セグメント回帰の代替手段であり、移動平均モデルの適合にも使用できます。^{[ 8 ]}

• 自己回帰移動平均モデル
• 自己回帰和分移動平均
• 自己回帰モデル
• 有限インパルス応答
• 無限のインパルス応答

• エンダース、ウォルター（ 2004）。「定常時系列モデル」。応用計量経済学時系列（第2 版）。ニューヨーク：ワイリー。48-107頁。ISBN  0-471-45173-8。

• 単変量時系列に対する一般的なアプローチ

 この記事には、米国国立標準技術研究所（NIST）のパブリックドメイン資料が含まれています。