トレンド定常過程

時系列の統計分析において、トレンド定常過程とは、基礎となるトレンド（時間のみの関数）を除去することで定常過程を残すことができる確率過程である。^[1]トレンドは線形である必要はない。

逆に、差分を定常化するために必要なプロセスは差分定常と呼ばれ、1つ以上の単位根を持ちます。^{[2] [3]}これら2つの概念は混同されることがあります。しかし、多くの特性を共有している一方で、多くの側面で異なります。時系列が非定常でありながら単位根を持たず、トレンド定常である可能性があります。単位根プロセスとトレンド定常プロセスの両方で、平均は時間の経過とともに増加または減少する可能性があります。ただし、ショックがある場合、トレンド定常プロセスは平均回帰（つまり、一時的であり、時系列はショックの影響を受けなかった増加する平均に向かって再び収束する）しますが、単位根プロセスは平均に永続的な影響を及ぼします（つまり、時間の経過とともに収束しない）。^[4]

プロセス{ Y }がトレンド定常であるとは、^[5]

${\displaystyle Y_{t}=f(t)+e_{t},}$

ここで、tは時間、fは実数から実数への任意の関数マッピング、 { e } は定常プロセスです。値は、時刻tにおけるプロセスのトレンド値と呼ばれます 。 ${\displaystyle f(t)}$

変数Yが次のように変化すると 仮定する。

${\displaystyle Y_{t}=a\cdot t+b+e_{t}}$

ここでtは時間、e _tは誤差項であり、これは白色ノイズ、またはより一般的には定常プロセスによって生成されたと仮定される。次に、^{[5] [6] [7]} の線形回帰を使用して、真の基底トレンドの傾きの推定値と基底切片項bの推定値を得ることができます。推定値がゼロと有意に異なる場合、これは変数Yが非定常であることを高い信頼性で示すのに十分です。この回帰からの残差は次のように与えられます。 ${\displaystyle {\hat {a}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\hat {b}}}$${\displaystyle {\hat {a}}}$

${\displaystyle {\hat {e}}_{t}=Y_{t}-{\hat {a}}\cdot t-{\hat {b}}.}$

これらの推定残差が統計的に定常であることが示される場合（より正確には、真の根本的な誤差が非定常であるという仮説を棄却できる場合）、残差はトレンド除去データと呼ばれ_、 [ 8 ^]元の系列{ Yt }は定常ではないにもかかわらずトレンド定常であると言われます。

多くの経済時系列は指数関数的成長を特徴とします。例えば、国内総生産が一定の成長率を伴う傾向からの定常偏差を特徴とすると仮定します。その場合、次のようにモデル化できます。

${\displaystyle {\text{GDP}}_{t}=Be^{at}U_{t}}$

U _{t は}定常誤差過程であると仮定される。パラメータとBを推定するために、まず^[8]この式の両辺の自然対数（ln） を取る。${\displaystyle a}$

${\displaystyle \ln({\text{GDP}}_{t})=\ln B+at+\ln(U_{t}).}$

この対数線形方程式は、前の線形トレンド方程式と同じ形式であり、同じ方法でトレンド除去することができ、非定常であるという仮説を棄却できると仮定すると、のトレンド除去値として推定値が得られ、したがって のトレンド除去値として暗示される が得られます。 ${\displaystyle (\ln U)_{t}}$${\displaystyle (\ln {\text{GDP}})_{t}}$${\displaystyle U_{t}}$${\displaystyle {\text{GDP}}_{t}}$${\displaystyle (\ln U)_{t}}$

傾向は必ずしも線形または対数線形である必要はありません。たとえば、変数は二次傾向を持つ場合があります。

${\displaystyle Y_{t}=a\cdot t+c\cdot t^{2}+b+e_{t}.}$

これは、 tとt ^{2 を}回帰変数として使用して係数で線形回帰することができます。この場合も、残差が定常であることが示される場合、それらは のトレンド除去された値です。 ${\displaystyle Y_{t}}$

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